電磁波が 減衰する媒質（これを「不透明 媒質」または「減衰 媒質」と呼ぶ）を通過する際、ベール・ランバートの法則 に従って指数関数的に減衰 します。しかし、波の特性や減衰速度を表す方法は数多く存在します。この記事では、以下の数学的関係について説明します。
なお、これらの事例の多くには、複数の矛盾する定義や慣習が一般的に用いられていることに注意してください。この記事は必ずしも網羅的または普遍的なものではありません。
背景：減衰していない波
説明 + z 方向に伝搬する電磁波は、慣例的に次の式で表されます。 E （ z 、 t ） = 再 [ E 0 e 私 （ k z − ω t ） ] 、 {\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}
E 0は x - y 平面上のベクトルであり、電場の単位を持ちます (このベクトルは一般に複素ベクトル であり、あらゆる可能な分極と位相を考慮に入れます)。ω は波の角周波数 である。k は波の角波数 である。Reは実数部 を表します。 eは オイラー数 です。波長は 定義により、 λ = 2 π k 。 {\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.} 真空 波長（この周波数の波が真空中を伝搬する場合の波長）は λ 0 = 2 π c ω 、 {\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi \mathrm {c} }{\omega }},} 光速 である。
減衰がない場合、屈折率 （屈折率 とも呼ばれる）は、これら 2 つの波長の比、つまり、 n = λ 0 λ = c k ω 。 {\displaystyle n={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.} さは 、波の多くの振動にわたって時間平均した振幅の二乗に比例し、それは次のようになる。 私 （ z ） ∝ | E 0 e 私 （ k z − ω t ） | 2 = | E 0 | 2 。 {\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}.}
この強度は位置zに依存しないことに注目してください。これは、 この 波が距離によって減衰しないことを示しています。I 0 を この一定の強度と定義します。 私 （ z ） = 私 0 ∝ | E 0 | 2 。 {\displaystyle I(z)=I_{0}\propto |\mathbf {E} _{0}|^{2}.}
複素共役曖昧性 なぜなら 再 [ E 0 e 私 （ k z − ω t ） ] = 再 [ E 0 * e − 私 （ k z − ω t ） ] 、 {\displaystyle \operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,} [ 1 ] e − iωt を使用) を使用し、電気技師は右側の慣例 ( e + iωt を使用、例えば電気インピーダンスを 参照) を使用します。減衰していない波の場合、この区別は関係ありませんが、以下のいくつかのケースでは関係するようになります。たとえば、複素屈折率 には、2 つの異なる慣例から導出された、正の虚部を持つものと負の虚部を持つものの 2 つの定義があります。[ 2 ] 複素共役です。
減衰係数 波の数学的記述に減衰を組み込む方法の1つは、減衰係数を [ 3 ] E （ z 、 t ） = e − α z / 2 再 [ E 0 e 私 （ k z − ω t ） ] 、 {\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=e^{-\alpha z/2}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,} α は減衰係数である。
すると、波の強度は以下を満たす。 私 （ z ） ∝ | e − α z / 2 E 0 e 私 （ k z − ω t ） | 2 = | E 0 | 2 e − α z 、 {\displaystyle I(z)\propto \left|e^{-\alpha z/2}\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-\alpha z},} 私 （ z ） = 私 0 e − α z 。 {\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-\alpha z}.}
減衰係数は、さらにいくつかの他の量と単純に関連している。
浸透深度と表皮深度
浸透深さ 非常によく似たアプローチでは、浸透深さ [ 4 ] E （ z 、 t ） = e − z / （ 2 δ p e n ） 再 [ E 0 e 私 （ k z − ω t ） ] 、 私 （ z ） = 私 0 e − z / δ p e n 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/(2\delta _{\mathrm {pen} })}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-z/\delta _{\mathrm {pen} }},\end{aligned}}} δpen は 侵入深さである。
皮膚の深さ 表皮深さ [ 5 ] [ 6 ] E （ z 、 t ） = e − z / δ s k 私 n 再 [ E 0 e 私 （ k z − ω t ） ] 、 私 （ z ） = 私 0 e − 2 z / δ s k 私 n 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (z,t)&=e^{-z/\delta _{\mathrm {skin} }}\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,\\I(z)&=I_{0}e^{-2z/\delta _{\mathrm {スキン} }},\end{整列}}} δskin は 表皮深さである。
物理的には、浸透深さとは、波の強度が 1/ e ≈ 0.37 分の 1 に減少するまでに波が進むことができる距離のことである。表皮深さとは、波の振幅が 同じ係数に減少するまでに波が進むことができる距離のことである。
吸収係数は浸透深さと表皮深さに関係しており、 α = 1 / δ p e n = 2 / δ s k 私 n 。 {\displaystyle \alpha =1/\delta _{\mathrm {ペン} }=2/\delta _{\mathrm {スキン} }。
複素角波数と伝搬定数
複素角波数 減衰を取り入れるもう1つの方法は、複素角波数 [ 5 ] [ 7 ] E （ z 、 t ） = 再 [ E 0 e 私 （ k _ z − ω t ） ] 、 {\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right]\!,} k
すると、波の強度は以下を満たす。 私 （ z ） ∝ | E 0 e 私 （ k _ z − ω t ） | 2 = | E 0 | 2 e − 2 私は （ k _ ） z 、 {\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i({\underline {k}}z-\omega t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z},} 私 （ z ） = 私 0 e − 2 私は （ k _ ） z 。 {\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Im} ({\underline {k}})z}。}
したがって、これを吸収係数アプローチと比較すると、[ 3 ] 再 （ k _ ） = k 、 私は （ k _ ） = α / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=\alpha /2.\end{aligned}}}
上記の曖昧さ に従って、一部の著者は複素共役の 定義を使用しています: [ 8 ] 再 （ k _ ） = k 、 私は （ k _ ） = − α / 2. {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {k}})&=k,&\operatorname {Im} ({\underline {k}})&=-\alpha /2.\end{aligned}}}
伝搬定数 伝送線路 の理論で特によく用いられる、密接に関連するアプローチでは、伝搬定数 [ 9 ] [ 10 ] E （ z 、 t ） = 再 [ E 0 e − γ z + 私 ω t ] 、 {\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right]\!,} γ は伝播定数である。
すると、波の強度は以下を満たす。 私 （ z ） ∝ | E 0 e − γ z + 私 ω t | 2 = | E 0 | 2 e − 2 再 （ γ ） z 、 {\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{-\gamma z+i\omega t}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z},} 私 （ z ） = 私 0 e − 2 再 （ γ ） z 。 {\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\operatorname {Re} (\gamma )z}.}
2つの式を比較すると、伝搬定数と複素角波数には次の関係があることがわかる。 γ = 私 k _ * 、 {\displaystyle \gamma =i{\underline {k}}^{*},} 再 （ γ ） = 私は （ k _ ） = α / 2. {\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\operatorname {Im} ({\underline {k}})=\alpha /2.} 減衰定数 [ 8 ] [ 11 ] α と表記される。 私は （ γ ） = 再 （ k _ ） = k 。 {\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\operatorname {Re} ({\underline {k}})=k.} 位相定数 β と表記されることもある。[ 11 ]
残念ながら、表記法は必ずしも一貫しているとは限りません。例えば、k _ {\displaystyle {\underline {k}}} γ の代わりに「伝播定数」と呼ばれることもあり、これは実部と虚部を入れ替えたものである。[ 12 ]
複素屈折率 非減衰媒質では、屈折率 と角波数には次の関係があることを思い出してください。 n = c v = c k ω 、 {\displaystyle n={\frac {\mathrm {c} }{v}}={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }},}
n は媒質の屈折率である。cは真空中における光速 である。 v は媒質中の光速である。したがって、複素屈折率は、 上述の複素角波数を用いて定義することができる。 n _ = c k _ ω 。 {\displaystyle {\underline {n}}={\frac {\mathrm {c} {\underline {k}}}{\omega }}.} n
言い換えれば、波は以下を満たす必要がある。 E （ z 、 t ） = 再 [ E 0 e 私 ω （ n _ z / c − t ） ] 。 {\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right]\!.}
すると、波の強度は以下を満たす。 私 （ z ） ∝ | E 0 e 私 ω （ n _ z / c − t ） | 2 = | E 0 | 2 e − 2 ω 私は （ n _ ） z / c 、 {\displaystyle I(z)\propto \left|\mathbf {E} _{0}e^{i\omega ({\underline {n}}z/\mathrm {c} -t)}\right|^{2}=|\mathbf {E} _{0}|^{2}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} },} 私 （ z ） = 私 0 e − 2 ω 私は （ n _ ） z / c 。 {\displaystyle I(z)=I_{0}e^{-2\omega \operatorname {Im} ({\underline {n}})z/\mathrm {c} }.}
前のセクションと比較すると、 再 （ n _ ） = c k ω 。 {\displaystyle \operatorname {Re} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} k}{\omega }}.} 屈折率 と呼ばれる。 私は （ n _ ） = c α 2 ω = λ 0 α 4 π 。 {\displaystyle \operatorname {Im} ({\underline {n}})={\frac {\mathrm {c} \alpha }{2\omega }}={\frac {\lambda _{0}\alpha }{4\pi }}.} 消光係数 κ で表される。
上記の曖昧さ に従って、一部の著者は複素共役の定義を使用しており、そこでは（依然として正の）消光係数は 、n _ {\displaystyle {\underline {n}}} 2 ] [ 13 ]
複素誘電率 非減衰媒体では、誘電率 と屈折率は 次のように関係付けられる。 n = c μ ε (SI) 、 n = μ ε (cgs) 、 {\displaystyle n=\mathrm {c} {\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(SI)}},\qquad n={\sqrt {\mu \varepsilon }}\quad {\text{(cgs)}},}
減衰媒体では、同じ関係が使用されるが、誘電率は複素数 、すなわち複素誘電率 [ 3 ] n _ = c μ ε _ (SI) 、 n _ = μ ε _ (cgs) 、 {\displaystyle {\underline {n}}=\mathrm {c} {\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {n}}={\sqrt {\mu {\underline {\varepsilon }}}}\quad {\text{(cgs)}},} ε
両辺を二乗し、前のセクションの結果を使用すると、次のようになります。[ 7 ] 再 （ ε _ ） = c 2 ε 0 ω 2 μ / μ 0 （ k 2 − α 2 4 ） (SI) 、 再 （ ε _ ） = c 2 ω 2 μ （ k 2 − α 2 4 ） (cgs) 、 私は （ ε _ ） = c 2 ε 0 ω 2 μ / μ 0 k α (SI) 、 私は （ ε _ ） = c 2 ω 2 μ k α (cgs) 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(SI)}},\quad &\operatorname {Re} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}\!\left(k^{2}-{\frac {\alpha ^{2}}{4}}\right)\quad {\text{(cgs)}},\\\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}\varepsilon _{0}}{\omega ^{2}\mu /\mu _{0}}}k\alpha \quad {\text{(SI)}},&\operatorname {Im} ({\underline {\varepsilon }})&={\frac {\mathrm {c} ^{2}}{\omega ^{2}\mu }}k\alpha \quad {\text{(cgs)}}.\end{aligned}}}
交流伝導率 減衰を取り入れるもう1つの方法は、電気伝導率を利用することです。以下に示します。[ 14 ]
電磁波の伝搬を支配する方程式の一つに、マクスウェル・アンペールの法則 がある。 ∇ × H = J f + d D d t (SI) 、 ∇ × H = 4 π c J f + 1 c d D d t (cgs) 、 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{f}} +{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{\mathrm {c} }}\mathbf {J_{f}} +{\frac {1}{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {D} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},} D {\displaystyle \mathbf {D} } は変位場 です。
オームの法則と（実数） 誘電率 の定義を代入すると∇ × H = σ E + ε d E d t (SI) 、 ∇ × H = 4 π σ c E + ε c d E d t (cgs) 、 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\sigma \mathbf {E} +\varepsilon {\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi \sigma }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} +{\frac {\varepsilon }{\mathrm {c} }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {E} }{\mathrm {d} t}}\quad {\text{(cgs)}},} σ は（実数だが周波数に依存する）電気伝導率であり、交流 伝導率
すべての量が正弦波状の時間依存性を持つ、つまり H = 再 [ H 0 e − 私 ω t ] 、 E = 再 [ E 0 e − 私 ω t ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {H} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\\\mathbf {E} &=\operatorname {Re} \!\left[\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t}\right]\!,\end{aligned}}} ∇ × H 0 = − 私 ω E 0 （ ε + 私 σ ω ） (SI) 、 ∇ × H 0 = − 私 ω c E 0 （ ε + 私 4 π σ ω ） (cgs) 。 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} _{0}=-i\omega \mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(SI)}},\qquad \nabla \times \mathbf {H} _{0}={\frac {-i\omega }{\mathrm {c} }}\mathbf {E} _{0}\!\left(\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\right)\quad {\text{(cgs)}}.}
現在のJ f {\displaystyle \mathbf {J_{f}} } ε _ = ε + 私 σ ω (SI) 、 ε _ = ε + 私 4 π σ ω (cgs) 。 {\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {\sigma }{\omega }}\quad {\text{(SI)}},\qquad {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon +i{\frac {4\pi \sigma }{\omega }}\quad {\text{(cgs)}}.} σ = k α ω μ (SI) 、 σ = k α c 2 4 π ω μ (cgs) 。 {\displaystyle \sigma ={\frac {k\alpha }{\omega \mu }}\quad {\text{(SI)}},\qquad \sigma ={\frac {k\alpha \mathrm {c} ^{2}}{4\pi \omega \mu }}\quad {\text{(cgs)}}.}
注記 ↑ MIT OpenCourseWare 6.007 補足ノート：電磁波における符号規則 1 2 正の虚数部を持つ複素屈折率の定義については、 Mark Fox 著『Optical Properties of Solids』 6 ページを参照してください。負の虚数部を持つ複素屈折率の定義については、 Paul Klocek 著『Handbook of infrared optical materials』 588 ページを参照してください。 1 2 3 グリフィス、セクション 9.4.3。 ↑ IUPAC化学用語集 1 2 グリフィス、セクション 9.4.1。 ↑ ジャクソン、第 5.18A 節 1 2 ジャクソン、セクション 7.5.B 1 2 リファンテ、ジネス (2003)。統合されたフォトニクス 。 p. 35.ISBN 978-0-470-84868-5 。 ↑ " 。2008年7月14日 に取得。↑ PW Hawkes; B. Kazan (1995-03-27). Adv Imaging and Electron Physics . Vol. 92. p. 93. ISBN 978-0-08-057758-6 。1 2 S. Sivanagaraju (2008-09-01). 電力送配電 . p. 132. ISBN 9788131707913 。↑ 例えば、『レーザー物理学と技術の百科事典』を参照のこと ↑ パンコフ、87～89ページ ↑ ジャクソン、セクション 7.5C
参考文献 ジャクソン、ジョン・デイビッド （1999）。古典電磁気学 （第3 版）。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-30932-X 。グリフィス、デイビッド・J. (1998).電磁気学入門（第3版） ISBN 0-13-805326-X 。J.I. Pankove (1971).半導体における光学的プロセス . ニューヨーク: Dover Publications Inc. 
![{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c40ff4bb31c825e766c7046c56af5a43d36b64f)
![{\displaystyle \operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}e^{i(kz-\omega t)}\right]=\operatorname {Re} \left[\mathbf {E} _{0}^{*}e^{-i(kz-\omega t)}\right]\!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311050b2139761db1b858c2515f8b717ec26cd43)
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