セルマイヤー方程式

セルマイヤーの式は、特定の透明媒体の屈折率と波長の間の経験的な関係です。この式は、媒体内の 光の分散を決定するために使用されます。

これは1872年にヴォルフガング・セルマイヤーによって初めて提案され、分散をモデル化するコーシー方程式に関するオーギュスタン・コーシーの研究を発展させたものであった。^[1]

セルマイヤー方程式の本来の最も一般的な形は、次のように表される。

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$、

ここで、nは屈折率、λは波長、B _iおよびC _{i は}実験的に決定されたセルマイヤー係数です。これらの係数は通常、λ がマイクロメートル単位で示されます。この λ は真空の波長であり、材料自体の波長 (λ/n) ではないことに注意してください。結晶などの特定の種類の材料では、この式の異なる形式が使用されることがあります。

合計の各項は、_{波長√C i}における強度B i の吸収共鳴を_表しています。たとえば、以下のBK7の係数は、紫外線の2つの吸収共鳴と、中赤外線領域の1つの吸収共鳴に対応しています。解析的には、このプロセスは、基礎となる光学共鳴をディラックのデルタ関数として近似し、クラマース-クローニッヒの関係を適用することに基づいています。これにより、物理的に感知できる屈折率の実数部と虚数部が得られます。^[2]ただし、各吸収ピークの近くでは、式はn ² = ±∞という非物理的な値を与えるため、これらの波長領域ではヘルムホルツなどのより正確な分散モデルを使用する必要があります。

物質のすべての項が指定されている場合、吸収ピークから遠い長波長ではnの値は

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

ここでεr_は媒体の 比誘電率です。

ガラスの特性評価には、3つの項からなる式が一般的に使用されます。^{[3] [4]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

例として、BK7として知られる一般的なホウケイ酸 クラウンガラスの係数を以下に示します。

一般的な光学ガラスの場合、3項セルマイヤー方程式で計算された屈折率は、波長範囲^{[5] 365 nmから2.3 μmにわたって実際の屈折率から5×10 −6}未満しか偏差がなく、これはガラスサンプルの均質性のオーダーです。^[6]計算をさらに正確にするために、追加の項が追加されることがあります。

セルマイヤー方程式は2項形式で使用されることもある: ^[7]

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

ここで、係数A は、短波長 (紫外線など) の吸収が長波長での屈折率に与える影響の近似値です。セルマイヤー方程式には、温度、圧力、その他のパラメータによる材料の屈折率の変化を考慮できる他の変形も存在します。

解析的に、セルマイヤー方程式は屈折率をバルク材料内の一連の光共鳴によるものとしてモデル化します。クラマース-クローニヒ関係から導出するには、材料に関するいくつかの仮定が必要であり、そこからの逸脱はモデルの精度に影響します。

• 共鳴は複数存在し、最終的な屈折率はすべての共鳴からの寄与の合計から計算できます。
• すべての光共鳴は、モデルが適用される対象の波長から遠く離れた波長にあります。
• これらの共振周波数では、磁化率の虚数成分（ ）はデルタ関数としてモデル化できます。${\displaystyle {\chi _{i}}}$

最後の点から、複素屈折率（および電気感受率）は次のようになります。

${\displaystyle \chi _{i}(\omega )=\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i})}$

屈折率の実部は、クラマース・クローニッヒの関係を虚部に適用することで得られます。

${\displaystyle n^{2}=1+\chi _{r}(\omega )=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{i}(\omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

上記の最初の式を虚数部に代入すると次のようになります。

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

合計と積分の順序は入れ替えることができます。評価すると、次のようになります。ここで はヘヴィサイド関数です。 ${\displaystyle H}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}\int _{0}^{\infty }\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega =1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}H(\omega _{i})}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

領域は共鳴から遠いと仮定されているため（上​​記の仮定2）、は1と評価され、よく知られた形のSellmeier方程式が得られます。 ${\displaystyle H(\omega _{i})}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

項を並べ替えると、定数とを上記の式に代入してセルマイヤー方程式を得ることができます。^[2]${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$

• コーシー方程式

• RefractiveIndex.INFO 数百種類の材料のセルマイヤー係数を特徴とする屈折率データベース。
• セルマイヤー係数から屈折率を計算するブラウザベースの計算機。
• Annalen der Physik - フランス国立図書館によってデジタル化された無料アクセス
• オハラ、ホヤ、ショットの 356 個のメガネのセルマイヤー係数