経路積分定式化

経路積分公式を導出する一般的な方法の一つは、時間間隔を小さな部分に分割することです。こうすることで、トロッター積公式から、運動エネルギー演算子と位置エネルギー演算子の非可換性を無視できることがわかります。

滑らかなポテンシャル中の粒子の場合、経路積分はジグザグ経路で近似され、1次元では通常の積分の積になります。時刻t _aにおける位置x _aから時刻t _bにおける位置x _bへの粒子の運動の場合、時間シーケンスは次のようになります。

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

は、固定された期間のn + 1 個のより小さなセグメントt _j − t _{j − 1}（j = 1, ..., n + 1 ）に分割できる。

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

このプロセスはタイムスライシングと呼ばれます。^{[ 12 ]： 498}

経路積分の近似値は、に比例して計算できる。

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

ここで、L ( x , v )は位置変数x ( t )と速度v = ẋ ( t )を考慮した一次元システムのラグランジアンであり(下記参照)、dx _{j は}時間積分がn項の和で近似される場合、 j番目の時間ステップでの位置に対応します。

n → ∞ の極限では、これは関数積分となり、非本質的な因子を除いて、初期状態 x a の t a と最終状態x _bのt _{bにおける量子力学的粒子を見つけるための確率振幅}⟨ x _b , t _b | x _a , t _a ⟩ (より正確には、連続スペクトルを扱う必要があるため、それぞれの密度) の_積に直接なり_ます。

実際、Lは考察対象の一次元系の古典的なラグランジアンであり、

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=TV={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

そして、上記の「ジグザグ」は、次の用語の出現に対応します。

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

時間積分を近似するリーマン和では、最終的に積分尺度dx ₁ ... dx _nでx ₁からx _nまで積分されます。x̃ _jは、jに対応する区間の任意の値、例えばその中心、⁠ x _j + x _{j −1} / 2 ⁠です。

したがって、古典力学とは対照的に、静止経路だけでなく、実際には始点と終点の間のすべての仮想経路も寄与する。

位置表示における波動関数に関して、経路積分公式は次のようになる。

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}$

どこ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$すべての経路にわたる積分を表す${\displaystyle \mathbf {x} }$と${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$そしてどこで${\displaystyle Z}$は正規化係数です。${\displaystyle S}$アクションは、

$${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$$

経路積分表現では、点xから点yへ移動する量子振幅をすべての経路にわたる積分として表します。自由粒子の作用の場合（簡単のため、m = 1、ħ = 1とします）

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t,}$

積分は明示的に計算できる。

そのためには、指数関数から係数i を除外して始めるのが便利です。そうすることで、大きな偏差は振動成分を打ち消すのではなく、小さな数値によって抑制されます。振幅（またはカーネル）は次のようになります。

${\displaystyle K(xy;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

積分を時間スライスに分割する：

${\displaystyle K(xy;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

ここで、Dはεの各整数倍における有限個の積分として解釈されます。積の各因子は、x ( t + ε )の関数として、 x ( t )を中心とし、分散εを持つガウス関数です。多重積分は、このガウス関数G _εと、隣接する時刻におけるそのコピーとの畳み込みの繰り返しです。

${\displaystyle K(xy;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

ここで、畳み込みの回数は⁠ T / ε ⁠です。両辺のフーリエ変換を行うことで、畳み込みが乗算になるため、結果は簡単に評価できます。

${\displaystyle {\チルダ {K}}(p;T)={\チルダ {G}}_{\バレプシロン }(p)^{T/\バレプシロン }.}$

ガウス関数Gのフーリエ変換は、逆分散を持つ別のガウス関数である。

${\displaystyle {\チルダ {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

そして結果は

$\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

フーリエ変換を行うとKが得られ、これもまた逆分散を持つガウス分布となる。

${\displaystyle K(xy;T)\propto e^{-{\frac {(xy)^{2}}{2T}}}.}$

比例定数は、時間分割法によって実際に決定されるわけではなく、異なる終点選択における値の比率のみが決定されます。比例定数は、各2つの時間分割の間で時間発展が量子力学的にユニタリーになるように選択する必要がありますが、正規化を修正するより分かりやすい方法は、経路積分を確率過程の記述として考えることです。

この結果は確率論的に解釈できる。指数因子の全経路にわたる和は、各経路におけるその経路を選択する確率の和と見なすことができる。確率は各区間におけるその区間を選択する確率の積であり、各区間は確率的に独立に選択される。答えが時間とともに線形に広がるガウス分布であるという事実は中心極限定理であり、これは統計的経路積分の最初の歴史的な評価と解釈できる。

確率解釈は自然な正規化の選択を与える。経路積分は次のように定義されるべきである。

${\displaystyle \int K(xy;T)\,dy=1.}$

この条件によりガウス分布が正規化され、拡散方程式に従うカーネルが生成されます。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

分子にi が含まれる振動経路積分の場合、時間スライスによって、以前と同様に畳み込みガウス関数が生成されます。ただし、振動積分を評価するには慎重な極限が必要となるため、畳み込み積はわずかに特異になります。因子を明確に定義するには、時間増分εに小さな虚数部を加えるのが最も簡単な方法です。これはウィック回転と密接に関連しています。すると、以前と同じ畳み込みの議論によって、伝播カーネルが得られます。

${\displaystyle K(xy;T)\propto e^{\frac {i(xy)^{2}}{2T}},}$

これは、以前と同じ正規化（二乗和正規化ではない。この関数は発散ノルムを持つ）を用いると、自由シュレーディンガー方程式に従う。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

これは、線形性により、 K s の任意の重ね合わせも同じ方程式に従うことを意味します。

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(xy;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

すると、ψt_はKと同様に自由シュレーディンガー方程式に従う。

$${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$$

単純調和振動子のラグランジアンは^{[ 13 ]である。}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

その軌道x ( t )を、古典軌道に摂動を加えたものとして、x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t )と書き、作用をS = S _c + δSとします。古典軌道は次のように書くことができます。

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

この軌跡は古典的な作用をもたらす

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

次に、古典経路からのずれをフーリエ級数として展開し、作用δSへの寄与を計算すると、次のようになる。

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

これは、伝播器が

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

何らかの正規化のために

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

sinc関数の無限積表現を用いて、

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

伝播関数は次のように記述できます。

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

T = t _f − t _iとする。このプロパゲーターはエネルギー固有状態を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

恒等式i sin ωT = ⁠ 1 / 2 ⁠ e ^iωT (1 − e ^{−2 iωT} )およびcos ωT = ⁠ 1 / 2 ⁠ e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} )を用いると、これは次のようになる。

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

最初のe ^{− iωT /2以降のすべての項を}R ( T )に吸収することで、次の式が得られます。

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

最終的に、 R ( T )をe ^{− iωT}のべき乗で展開することができる。この展開のすべての項は、先頭のe ^{− iωT /2因子で乗算され、次の形式の項が得られる。}

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

上記の固有状態展開と比較すると、単純調和振動子の標準エネルギースペクトルが得られる。

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

しかし、クーロンポテンシャルe ² / rが原点で特異点を持つため、ファインマンの時間分割近似は原子の最も重要な量子力学的経路積分には適用できません。時間t を別の経路依存擬似時間パラメータに置き換えた後にのみ、この近似は適用できます。

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

特異点は除去され、時間分割近似が存在する。これは、1979 年にİsmail Hakkı DuruとHagen Kleinertによって発見されたように、単純な座標変換によって調和させることができるため、厳密に積分可能である。^{[ 14 ]}経路依存の時間変換と座標変換の組み合わせは、多くの経路積分を解くための重要なツールであり、一般にDuru–Kleinert 変換と呼ばれている。

経路積分は、ポテンシャルが存在する場合でも、初期状態と最終状態についてシュレーディンガー方程式を再現する。これは、無限小の時間間隔で経路積分を行うことで最も容易に理解できる。

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

時間間隔が無限小であり、ẋの値が大きいほど相殺振動が激しくなるため、経路積分はy がxに近い場合に最も重みを持つ。この場合、最低次では位置エネルギーは一定であり、運動エネルギーの寄与のみが非自明である。（指数における運動エネルギー項と位置エネルギー項のこの分離は、本質的にトロッター積の公式である。）作用の指数関数は

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

第１項は、ポテンシャルエネルギーに比例する量だけψ ( x )の位相を局所的に回転させる。第２項は自由粒子の伝播関数であり、拡散過程のi倍に相当する。εの最低次ではこれらは加算可能であり、いずれの場合も(1)式が成り立つ。

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

前述のように、 ψの広がりは自由粒子の伝播による拡散であり、ポテンシャルから点ごとにゆっくりと変化する位相の微小回転が加わる。

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

これがシュレーディンガー方程式です。経路積分の規格化は、自由粒子の場合と全く同じ方法で決定する必要があります。任意の連続ポテンシャルは規格化に影響を与えませんが、特異ポテンシャルは慎重に扱う必要があります。

状態はシュレーディンガー方程式に従うため、経路積分は変数xと ẋの平均に関するハイゼンベルク運動方程式を再現するはずですが、これを直接確認することは有益です。直接的なアプローチでは、経路積分から計算される期待値が量子力学の通常の期待値を再現することが示されています。

まず、固定された初期状態における経路積分について考えてみましょう。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

ここで、各時刻におけるx ( t )はそれぞれ独立した積分変数です。したがって、積分においてシフトによって変数変換を行うことは正当です。x ( t ) = u ( t ) + ε ( t )ここで、 ε ( t )は各時刻で異なるシフトですが、端点は積分されないため、 ε (0) = ε ( T ) = 0 となります。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

シフトによる積分の変化は、εに関する1次微小項までで次のようになる。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

これをtに関して部分積分すると、次のようになる。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

しかし、これは単なる積分変数のシフトであり、 ε ( t )の任意の選択に対して積分の値は変わりません。結論として、この一次の変動は、任意の初期状態および任意の時点においてゼロになります。

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

これはハイゼンベルクの運動方程式です。

作用にẋとx を同時に乗算する項が含まれている場合、上記の操作はヒューリスティックなものに過ぎません。なぜなら、これらの量の乗算規則は、経路積分においても演算子形式においても、非可換だからです。

作用の変化がħを何桁も超える場合、通常は、オイラー・ラグランジュ方程式を満たす軌道の近傍以外では破壊的干渉が生じます。この方程式は、建設的干渉の条件として再解釈されます。これは、プロパゲーターに定常位相法を適用することで示すことができます。ħが減少するにつれて、作用のあらゆる変化に対して、積分の指数関数は複素領域で急速に振動します。したがって、 ħがゼロに近づく極限では、古典的な作用が変化しない点のみがプロパゲーターに寄与します。

経路積分の定式化では、量xとpが可換でないことは一見して明らかではない。経路積分では、これらは単なる積分変数であり、明らかな順序関係はない。ファインマンは、非可換性が依然として存在することを発見した。^{[ 15 ]}

これを理解するには、最も単純な経路積分であるブラウン運動を考えてみましょう。これはまだ量子力学ではないので、経路積分では作用にiを掛けません。

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

量x ( t )は変動しており、導関数は離散的な差分の極限として定義されます。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

ランダムウォークの移動距離は√tに比例するため、次の式が成り立つ。

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

これは、導関数を定義する比率が確率1で発散するため、ランダムウォークが微分可能ではないことを示している。

量xẋは曖昧であり、2 つの意味が考えられます。

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

初等微積分では、両者の差はεが0に近づくにつれて0に近づく量だけである。しかし、この場合、両者の差は0ではない。

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

させて

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

このとき、f ( t )は急速に変動する統計量であり、その平均値は1、すなわち正規化された「ガウス過程」である。このような量の変動は、統計的ラグランジアンによって記述することができる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

そして、 Lに対応する作用Sを極値化することによって導出されるfの運動方程式は、fを1に等しく設定するだけです。物理学では、このような量は「演算子恒等式として1に等しい」とされています。数学では、「1に弱収束する」とされています。いずれの場合も、期待値、任意の区間での平均、または実際的な目的においては、fは1になります。

時間順序を演算子順序として定義する：

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

これは確率微積分学では伊藤の補題と呼ばれ、物理学では（ユークリッド幾何学に基づいた）正準交換関係と呼ばれる。

一般的な統計的作用については、同様の議論により、

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

量子力学では、作用における余分な虚数単位がこれを正準交換関係に変換する。

${\displaystyle [x,p]=i}$

曲がった空間内の粒子の場合、運動項は位置に依存するため、上記の時間分割法は適用できません。これは、シュレーディンガー量子力学における悪名高い演算子順序付け問題の現れです。しかし、多値座標変換（ここで説明する非ホロノミック写像）を用いて、時間分割された平面空間の経路積分を曲がった空間に変換することで、この問題を解決できます。

場合によっては（例えば、曲がった空間を運動する粒子の場合）、関数積分に測度論的な因子が含まれることもあります。

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

この要素は、統一性を回復するために必要である。

例えば、

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

つまり、各空間スライスに尺度√gを乗じるということです。この尺度は、Dx尺度を乗じる関数として表現することはできません。なぜなら、これらは全く異なるクラスに属するからです。

次のような行列要素${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$形式をとる

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$。

これは複数の演算子にも一般化できます。例えば

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$、

そして（長時間極限において）一般的な真空期待値に

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$。

交換する場合${\displaystyle t}$による${\displaystyle -it}$時間発展演算子${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$に置き換えられます${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$（この変化はウィック回転として知られています。）この設定で経路積分公式の導出を繰り返すと、^{[ 16 ]が得られます。}

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$、

どこ${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$はユークリッド作用であり、次のように表される。

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$。

通常の作用とこれとの符号の変化に注目してください。通常の作用では、ポテンシャルエネルギー項は負になります。（ 「ユークリッド」という用語は量子場理論の文脈で用いられ、実時間から虚時間への変化によって時空幾何学がローレンツ幾何学からユークリッド幾何学に変化します。）

さて、運動エネルギーが経路積分に寄与する部分は以下の通りです。

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

どこ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$には、被積分関数の経路への残りのすべての依存性が含まれます。この積分は、ウィーナー測度に対する積分として厳密な数学的解釈を持ち、次のように表されます。${\displaystyle \mu _{x}}$ノーバート・ウィーナーによって構築されたウィーナー測度は、アインシュタインのブラウン運動の数学的モデルに厳密な基礎を与えている。${\displaystyle x}$この尺度は、${\displaystyle \mu _{x}}$パス上でサポートされています${\displaystyle \mathbf {x} }$と${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$。

すると、ファインマン経路積分の厳密なバージョンであるファインマン-カッツの公式が得られます。^{[ 17 ]}

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$、

今どこにいるのか${\displaystyle \psi (x,t)}$ウィック回転版シュレーディンガー方程式を満たし、

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$。

ウィック回転シュレーディンガー方程式は直接的な物理的意味を持たないが、シュレーディンガー演算子の興味深い性質${\displaystyle {\hat {H}}}$それを研究することで抽出できる。^{[ 18 ]}

数学と物理学の文献における経路積分の観点からの量子場理論の研究の多くは、ウィック回転後のユークリッド空間で行われている。特に、適切な性質を持つユークリッド場理論を構築できれば、ウィック回転を元に戻して物理的なローレンツ理論を復元できることを示す様々な結果がある。^{[ 19 ]}一方、量子力学に比べて量子場理論では経路積分（ユークリッド経路積分であっても）に意味を与えることははるかに難しい。^{[ 20 ]}

経路積分は、上記の積分をすべての量子力学的問題に一般化したものである。

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

これは、時刻t = 0から始まり時刻t = t _fで終わる経路を調査する古典的な問題の作用であり、${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$は、すべての経路にわたる積分尺度を表します。古典的な極限では、${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$最小作用の経路が積分を支配するのは、そこから離れた経路の位相が急速に変動し、異なる寄与が相殺されるためである。^{[ 21 ]}

統計力学との関連は次のとおりである。同じ構成で開始および終了する経路のみを考慮し、ウィック回転it = ħβを実行する、つまり時間を虚数化し、すべての可能な開始-終了構成について積分する。前の小節で説明した、通常の作用をその「ユークリッド」対応物に置き換えたウィック回転経路積分は、虚時間に比例する逆温度を持つ正準アンサンブルで定義された統計力学の分配関数⁠ 1 / T ⁠ = ⁠ i k _B t / ħ ⁠に似ている。厳密に言えば、これは統計場理論の分配関数である。

明らかに、量子力学と統計力学の間のこのような深い類似性は、定式化に依存するものではない。標準的な定式化では、状態のユニタリー発展演算子は次のように与えられることがわかる。

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

ここで、状態αは時刻t = 0から変化します。ここでウィック回転を行い、任意の状態から（虚数）時間iβで同じ状態に戻る振幅を求めると、次式で与えられます。

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

これはまさに、先に述べた温度における同じ系の統計力学の分配関数に相当します。この等価性の一側面はエルヴィン・シュレーディンガーも認識しており、彼は自分の名にちなんで名付けられた方程式がウィック回転後の拡散方程式に似ていると指摘しました。ただし、ユークリッド経路積分は実際には古典的な統計力学モデルの形式になっていることに注意してください。

相対論的理論においては、すべての理論に対して粒子表現と場表現の両方が存在する。場表現はすべての場配置の総和であり、粒子表現は様々な粒子の経路の総和である。

非相対論的定式化は、従来、場ではなく粒子の経路で表されます。そこでは、固定された境界条件の下で、通常の変数による経路積分によって、粒子が時間Tの間に点xから点yへ移動する確率振幅が得られます。

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

これはプロパゲーターと呼ばれます。y における最終状態を得るには、初期状態にK ( x , y ; T )を適用し、 xについて積分すると次のようになります。

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

空間的に均質なシステムの場合、K ( x , y )は( x - y )のみの関数であり、積分は畳み込みであり、最終状態は初期状態とプロパゲーターの畳み込みです。

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

質量mの自由粒子の場合、プロパゲーターは経路積分から明示的に評価するか、シュレーディンガー方程式が虚時間における拡散方程式であり、解が正規化されたガウス関数でなければならないことに注目することによって評価できます。

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

( x − y )のフーリエ変換を行うと、別のガウス関数が得られます。

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

そして、p空間では、ここでの比例定数は時間的に一定であり、これは後ほど検証します。時間に関するフーリエ変換は、負の時間に対してK ( p ; T )をゼロに拡張することで、グリーン関数、すなわち周波数空間プロパゲーターを与えます。

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

これはシュレーディンガー方程式の波動関数を消滅させる演算子の逆数であり、比例定数がp空間表現で一定でなければ正しくならなかっただろう。

分母の微小項は小さな正の数であり、Eの逆フーリエ変換がゼロでないのは未来の時間に限られることを保証します。過去の時間については、逆フーリエ変換の輪郭は特異点のないEの値に向かって閉じます。これにより、 K が粒子を未来に伝播することが保証され、 Gの添え字「F」の理由となります。微小項は、虚時間への微小回転として解釈できます。

シュレーディンガー方程式は時間反転対称であるため、非相対論的な時間発展を過去に向かう伝播関数を用いて再表現することも可能です。過去の伝播関数は未来の伝播関数と同じですが、未来ではゼロになるという明らかな違いがあり、ガウス関数ではtが− tに置き換えられます。この場合、最終的な波動関数を畳み込んで初期波動関数を得るための量として解釈できます。

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

ほぼ同一であり、唯一の違いはEとεの符号であることから、グリーン関数のパラメータEは、経路が未来に向かっている場合はエネルギー、経路が過去に向かっている場合はエネルギーの負の値のいずれかになります。

非相対論的理論では、運動する粒子の経路に沿って測定された時間と、外部の観測者によって測定された時間は同じである。相対論では、これはもはや成り立たない。相対論的理論では、プロパゲーターは、経路に沿って測定された固定された固有時間内に2点間を移動するすべての経路の総和として定義されるべきである（これらの経路は、空間と時間における粒子の軌跡を表す）。

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}-\alpha }}\,d\tau }.}$

上記の積分は平方根が含まれているため、解釈が容易ではありません。幸いなことに、ヒューリスティックな手法があります。この和は振動量の経路の相対論的弧長に関するものであり、非相対論的経路積分と同様に、虚時間方向にわずかに回転させたものとして解釈する必要があります。関数K ( x − y , τ )は、ユークリッド空間内の経路に関する和の場合に評価できます。

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

これは、長さTのすべてのパスについて、長さを引いた指数関数の合計を表しています。これは確率的に解釈できます。すべてのパスにわたる合計は、ステップごとに構築されたパスの確率平均です。ステップの総数はTに比例し、各ステップは長くなるほど発生確率が低くなります。中心極限定理により、多数の独立したステップの結果は、分散がTに比例するガウス分布になります。

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

相対論的伝播関数の通常の定義では、振幅がxからyまで移動することのみを求め、その移動にかかる可能性のあるすべての固有時間を合計します。

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

ここで、W (T)は重み係数であり、異なる固有時間の経路の相対的な重要性を表します。固有時間における並進対称性により、この重みは指数係数のみとなり、定数αに吸収されます。

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

これはシュウィンガー表現です。変数( x − y )のフーリエ変換は、 Tの各値ごとに個別に行うことができ、各T の寄与はガウス関数であるため、次の式が得られます。そのフーリエ変換は、逆幅を持つ別のガウス関数です。したがって、p空間では、プロパゲーターは次のように簡単に再表現できます。

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

これはスカラー粒子のユークリッド伝播関数です。p _{0 を}虚数に回転させると、 − iという係数と曖昧さを除いて、通常の相対論的伝播関数が得られます。この曖昧さについては、以下で説明します。

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

この式は非相対論的極限において解釈することができ、その場合、部分分数分解を用いると便利である。

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

非相対論的粒子が1つ存在する状態では、初期波動関数の周波数分布はp ₀ = m付近に集中します。プロパゲーターとの畳み込み（p空間ではプロパゲーターを乗じることを意味します）を行うと、第2項は抑制され、第1項は強調されます。p 0 = m付近の周波数では、支配的な第1項_は次の形式になります。

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

これは、自由シュレーディンガー粒子の非相対論的グリーン関数を表す式である。

第2項にも非相対論的極限が存在するが、この極限は負の周波数に集中している。第2極は、固有時間と座標時間が逆方向に刻まれる経路からの寄与が支配的であり、これは第2項が反粒子として解釈されることを意味する。非相対論的解析によれば、この形式でも反粒子は正のエネルギーを持つ。

これを数学的に正しく表現すると、適切な時間軸に小さな抑制係数を加えることで、第１項のt → −∞の極限がゼロになり、第２項のt → +∞の極限がゼロになる必要がある。フーリエ変換では、これはp ₀の極をわずかにシフトさせることを意味し、逆フーリエ変換によって時間方向のいずれかで小さな減衰係数が現れる。

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

これらの項がなければ、 p ₀の逆フーリエ変換を行う際に極の寄与を明確に評価することはできません。これらの項は次のように組み合わせることができます。

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

これを因数分解すると、各因子に符号が逆の微小項が生じる。これが相対論的粒子伝播関数の数学的に正確な形式であり、曖昧さは一切ない。ε項はα = m ²に小さな虚数部を導入するが、ミンコフスキー版ではこれは長い経路の小さな指数関数的抑制となる。

相対論的な場合、伝播関数のファインマン経路積分表現には、反粒子を表す時間的に逆行する経路が含まれます。相対論的伝播関数に寄与する経路は時間的に順行と逆行の両方に及び、このことから、自由粒子が2点間を移動する振幅には、粒子が反粒子に変化し、時間を逆行し、再び順行する振幅が含まれると解釈できます。

非相対論的な場合とは異なり、反粒子を含めずに局所的な粒子伝播の相対論的理論を構築することは不可能である。すべての局所微分演算子は、光円錐の外側で非ゼロとなる逆関数を持つため、粒子が光速よりも速く移動するのを防ぐことは不可能である。このような粒子は、相対論的に不変な理論において、将来においてのみ非ゼロとなるグリーン関数を持つことはできない。

しかし、経路積分定式化は量子場理論への直接応用においても極めて重要であり、量子場理論では、考慮される「経路」または履歴は単一粒子の運動ではなく、全空間における場の可能な時間発展である。作用は技術的には場の汎関数S [ ϕ ]と呼ばれ、場ϕ ( x ^μ )はそれ自体が空間と時間の関数であり、角括弧は作用が特定の値だけでなく、あらゆる場所における場のすべての値に依存することを示している。時空のそのような与えられた関数ϕ ( x ^μ )は場構成と呼ばれる。原理的には、ファインマン振幅をすべての可能な場構成のクラスにわたって積分する。

量子場理論の正式な研究の多くは、結果として得られる関数積分の性質に費やされており、これらの関数積分を数学的に厳密にするために多くの努力がなされてきた（まだ完全には成功していないが）。

このような関数積分は、統計力学における分配関数と非常によく似ています。実際、分配関数と呼ばれることもあり、ファインマンの仮説3の指数にiという因子が含まれている点を除けば、両者は本質的に数学的に同一です。積分を虚数時間変数（ウィック回転と呼ばれる）まで解析的に延長すると、関数積分は統計的分配関数にさらに近づき、これらの積分を扱う際の数学的な難しさも軽減されます。

量子場理論において、作用が場の配置の汎関数S（局所的に場のみに依存する）によって与えられる場合、多項式的に有界な汎関数Fの時間順序付き真空期待値⟨F⟩は次のように与えられる。

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

ここで用いられる記号∫ D ϕ は、時空全体におけるあらゆる可能な場配置に関する無限次元積分を簡潔に表す方法です。前述のように、分母にある簡略化された経路積分は、適切な正規化を保証します。

厳密に言えば、物理学で問える唯一の質問は、「条件Aを満たす状態のうち、条件Bも満たす状態の割合はどれくらいか？」です。この答えは 0 から 1 の間の数値であり、条件付き確率P( B | A )と表すことができます。経路積分の観点から、P( B | A ) = ⁠ P( A ∩ B ) / P( A ) ⁠  なので、これは次のことを意味します。

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

ここで、 [ ϕ ]_の関数Oは、我々が関心を持つ状態につながる可能性のあるすべての入射状態の重ね合わせです。特に、これはビッグバン直後の宇宙の状態に対応する状態である可能性がありますが、実際の計算では、ヒューリスティックな方法を使用してこれを簡略化できます。この式は経路積分の商であるため、自然に正規化されます。

この量子力学の定式化は古典力学の作用原理と類似しているため、古典力学における作用に関する恒等式には、関数積分から導出できる量子力学における対応する式が存在すると予想されるかもしれない。そして、実際その通りであることが多い。

関数解析の言葉で、オイラー・ラグランジュ方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

（左辺は関数微分です。この式は、場の配置がわずかに変化しても作用が定常的であることを意味します。）これらの式の量子版は、シュウィンガー・ダイソン方程式と呼ばれます。

関数測度D ϕ が並進不変であることが判明した場合(この記事の残りの部分ではこれを仮定しますが、これは非線形シグマモデルでは成り立ちません)、そしてウィック回転後に

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

これは今や

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

あるHに対して、 φの値が大きい場合、任意の多項式の逆数よりも速くゼロに収束するので、部分積分(ウィック回転後、ウィック回転を戻す) を行うことで、期待値に関する次のシュウィンガー・ダイソン方程式を得ることができます。

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

任意の多項式で有界な関数Fに対して。deWitt記法では、これは次のようになります^{[ 22 ]}

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

これらの方程式は、オンシェルEL方程式のアナログです。時間順序は、S _、i内の時間微分の前に取られます。

J（ソースフィールドと呼ばれる）がフィールド構成の双対空間の要素である場合（関数測度の並進不変性の仮定により、少なくともアフィン構造を持つ）、ソースフィールドの生成関数Zは次のように定義される。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

ご了承ください

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

または

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

どこ

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

基本的に、D φ e ^{i S [ φ ]}を関数分布と見なすと（これは、ウィック回転統計力学の類似物とは異なり、時間順序の複雑さがあるため、QFTの解釈としてあまり文字通りに受け取らないようにすべきです！）、⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n ) ⟩はそのモーメントであり、Zはそのフーリエ変換です。

Fがφの汎関数である場合、演算子Kに対して、F [ K ]はK をφに置き換える演算子として定義されます。たとえば、

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

GがJの関数である場合、

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$