ユニタリ性（物理学）

量子物理学において、ユニタリー性とは、シュレーディンガー方程式に従った量子状態の時間発展が、ユニタリー演算子によって数学的に表される条件である（またはユニタリー過程がそれを持つ） 。これは通常、量子力学の公理または基本公理とみなされるが、ユニタリー性の一般化または逸脱は、量子力学を超える可能性のある理論に関する推測の一部である。^[1]ユニタリー性境界は、発展演算子のユニタリー性、すなわち、時間発展がヒルベルト空間で内積を保存するという命題から生じる不等式である。

時間に依存しないハミルトニアンによって記述される時間発展は、1パラメータのユニタリ演算子族によって表され、ハミルトニアンはその生成子です。シュレーディンガー描像では、ユニタリ演算子はシステムの量子状態に作用すると考えられていますが、ハイゼンベルク描像では、時間依存性は代わりに観測可能量に組み込まれます。^[2]${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

量子力学では、すべての状態はヒルベルト空間のベクトルとして記述されます。測定を行う際には、すべての基底ベクトルが測定の定義された結果を持つベクトル基底を使用してこの空間を記述すると便利です。たとえば、運動量が測定される場合は、定義された運動量のベクトル基底を使用します。測定演算子はこの基底では対角です。^[3]

特定の測定結果を得る確率は、測定演算子を対角化する基底ベクトルと物理状態の内積によって与えられる確率振幅に依存する。時間発展後に測定される物理状態の場合、確率振幅は、時間発展後の物理状態と関連する基底ベクトルの内積、またはそれと同等に、時間的に逆方向に発展した物理状態と基底ベクトルの内積のいずれかで記述できる。時間発展演算子を使用すると、次の式が得られる。^[4]${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.e^{-i{\hat {H}}(-t)/\hbar }\phi _{i}\right|\psi \right\rangle }$

しかし、エルミート共役の定義によれば、これは次のようになります。

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\psi \right.\right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}\left(e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }\right)^{\dagger }\right|\psi \right\rangle =\left\langle \left.\phi _{i}e^{-i{\hat {H}}^{\dagger }(-t)/\hbar }\right|\psi \right\rangle }$

これらの等式はどの2つのベクトルに対しても成り立つので、

${\displaystyle {\hat {H}}^{\dagger }={\hat {H}}}$

これは、ハミルトニアンがエルミートであり、時間発展演算子がユニタリであることを意味します。 ${\displaystyle e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$

ボルン則によりノルムは測定で特定の結果を得る確率を決定するため、ユニタリー性とボルン則を組み合わせることで確率の合計が常に 1 になることが保証されます。さらに、ユニタリー性とボルン則を組み合わせることで、ハイゼンベルク図の測定演算子は、測定結果が時間とともにどのように変化すると予想されるかを実際に記述することになります。

時間発展演算子がユニタリであることは、ハミルトニアンがエルミートであることと同等です。同様に、これは、ハミルトニアンの固有値である測定可能なエネルギーが常に実数であることを意味します。

S 行列は、散乱プロセスで物理システムがどのように変化するかを説明するために使用されます。これは、実際には、無限遠にある粒子 (または粒子の束縛複合体) の運動量状態に作用する、非常に長い時間 (無限遠に近づく) にわたる時間発展演算子に相当します。したがって、これはユニタリ演算子でもある必要があります。非ユニタリ S 行列を生成する計算は、束縛状態が見落とされていることを意味することがよくあります。

S行列のユニタリー性は、とりわけ光学定理を意味する。これは次のように見ることができる: ^[5]

S 行列は次のように表すことができます。

${\displaystyle S=1+iT}$

ここで、 は相互作用による S 行列の部分です。たとえば、は S 行列が 1 であり、相互作用は発生せず、すべての状態は変化しないことを意味します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T=0}$

S行列のユニタリー性:

${\displaystyle S^{\dagger }S=1}$

は以下と同等です:

${\displaystyle -i\left(TT^{\dagger }\right)=T^{\dagger }T}$

左辺は S 行列の虚数部の 2 倍です。右辺が何であるかを確認するには、この行列の特定の要素、たとえば、それぞれに多数の粒子が含まれる可能性がある初期状態と最終状態の間を見てみましょう。この場合、行列要素は次のようになります。 ${\displaystyle |I\rangle }$${\displaystyle \langle F|}$

${\displaystyle \left\langle F\left|T^{\dagger }T\right|I\right\rangle =\sum _{i}\left\langle F|T^{\dagger }|A_{i}\right\rangle \left\langle A_{i}|T|I\right\rangle }$

ここで、{A _i } は、可能なオンシェル状態の集合、つまり無限遠における粒子（または粒子の束縛複合体）の運動量状態です。

したがって、S 行列の虚数部の 2 倍は、S 行列の初期状態から無限遠にある他の任意の物理状態へのすべての散乱と、後者の物理状態から S 行列の最終状態への散乱の寄与の積を表す合計に等しくなります。S 行列の虚数部は、ファインマン図の中間状態に現れる仮想粒子によって計算できるため、これらの仮想粒子は、最終状態としても現れる可能性のある実粒子のみで構成されている必要があります。これを保証するために使用する数学的機構には、ゲージ対称性や、場合によってはファデーエフ・ポポフのゴーストが含まれます。

光学定理によれば、あらゆる散乱過程の 確率振幅M (= iT)は、

${\displaystyle |M|^{2}=2\operatorname {Im} (M)}$

同様のユニタリー性境界は、振幅と断面積がエネルギーとともにあまり増加しないか、または特定の式^{[は? ]}が示す速さで減少しなければならないことを意味します。たとえば、フロワサール境界では、2 つの粒子が散乱する全断面積は で制限されます。ここでは定数、 は質量中心エネルギーの 2 乗です。(マンデルシュタム変数を参照) ${\displaystyle c\ln ^{2}s}$${\displaystyle c}$${\displaystyle s}$

• 反ユニタリー演算子
• ボルンの法則
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