リー積の公式

数学において、リー積公式は、ソフス・リー（1875）にちなんで名付けられましたが、ヘイル・トロッターにちなんでトロッター積公式[1]とも広く呼ばれ、任意のm ^× mの実数または複素数行列AとBに対して、 [ 2 ] e AはAの行列 指数を^表します^。リー・トロッター積公式[ ^3]とトロッター・カトーの定理^{[4]は、これを特定の無限大線型演算子}AとBに拡張します。^[5] $${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n},}$$

この式は古典的な指数法則の類似物である $${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$$

これはすべての実数または複素数xとyに当てはまります。xとy を行列AとBに置き換え、指数を行列指数に置き換えた場合、この法則が成立するためには通常、 AとB が可換である必要があります。ただし、リー積の公式は、可換でない行列も含め、 すべての行列AとBに当てはまります。

リー積の公式は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式と概念的に関連しており、どちらも非可換演算子のコンテキストでは古典的な指数法則の代わりとなります。

この公式は、例えば量子力学の経路積分定式化に応用されている。これにより、シュレーディンガーの発展 演算子（プロパゲーター）を運動演算子とポテンシャル演算子の交互の増分に分離することができる（トロッターと鈴木益男にちなんで、鈴木–トロッター分解）。同じ考え方は、微分方程式の数値解法の分割法の構築にも使われている。さらに、リー積定理はファインマン–カッツ公式を証明するのに十分である。^[6]

トロッター・加藤定理は線形C0半群の近似に使用できる_。 ^[7 ]

• 時間発展型ブロック間引き

• Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976)、「ファインマン経路積分の数学理論：入門」、数学講義ノート、第423巻（第1版）、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0079827、hdl：10852/44049、ISBN 978-3-540-07785-5
• Appelbaum, David (2019)。「Lie-Kato-Trotter 積公式による Feynman-Kac 公式」。線形演算子の半群: 解析、確率、物理学への応用。ケンブリッジ大学出版局。123～125 ページ。ISBN 978-1-108-71637-6。
• ホール、ブライアン C. (2013)、「数学者のための量子理論」、Graduate Texts in Mathematics、第 267 巻、Springer、ISBN 978-1461471158
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-0-387-40122-5
• 「トロッター積公式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Cohen, Joel E.; Friedland, Shmuel; Kato, Tosio; Kelly, FP (1982). 「行列指数関数の積の固有値不等式」(PDF) .線形代数とその応用. 45 : 55–95. doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7 .
• 伊藤 一史; カッペル フランツ (1998). 「トロッター-加藤定理と偏微分方程式の近似」.計算数学. 67 (221): 21–44. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00915-6 . JSTOR  2584971.
• Joel E. Cohen、Shmuel Friedland、Tosio Kato、FP Kelly (1982)、「行列指数関数の積の固有値不等式」(PDF)、線形代数とその応用、45 :55–95、doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
• 加藤 俊雄 (1978)、「任意の自己随伴縮約半群の対に対するトロッターの積公式」、関数解析の話題 (MG クラインの 70 歳の誕生日を記念したエッセイ)、数学補遺研究の第 3 巻、ボストン、マサチューセッツ州:アカデミック プレス、pp. 185–195、MR  0538020
• 嘘だよ、ソフォス。エンゲル、フリードリヒ (1970)。Theorie der Transformationsgruppen (ドイツ語)。ニューヨーク: アメリカ数学学会。ISBN 0-8284-0232-9。
• トロッター, HF (1959)、「演算子の半群の積について」、アメリカ数学会紀要、10 (4): 545–551、doi : 10.2307/2033649、ISSN  0002-9939、JSTOR  2033649、MR  0108732
• 鈴木 益夫 (1976). 「一般化されたトロッターの公式と指数演算子および内部微分の系統的近似と多体問題への応用」. Comm. Math. Phys . 51 (2): 183–190. doi :10.1007/bf01609348. S2CID  121900332.
• Varadarajan, VS (1984)、リー群、リー代数、およびその表現、Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-90969-1、99ページ。