グラスマン数は、反可換な要素または対象によって生成されます。反可換な対象の概念は、数学のさまざまな分野で現れます。典型的には、微分形式が反可換である微分 幾何学で見られます。微分形式は通常、多様体の 接空間 への作用によって定義されますが、基礎となる多様体の存在を「忘れる」または「無視する」、あるいは何らかの構造を「忘れる」または「無視する」という状況を考え、代わりに、反可換でベクトル空間を形成する対象があり、他の事前定義された性質や前提となる性質がないという状況を考えることができます。反可換の下で代数を形成するこのような対象は、 グラスマン代数 または外積代数 と呼ばれます。
微分幾何学からそのような動機を得て、グラスマン数がその代数の要素にすぎないことを理解すれば、「数」という呼称は、グラスマン数が「通常の」数とそれほど変わらない振る舞いをするという事実によって正当化されます。グラスマン数は、ゼロでないスカラー部分を持つ場合、加算、乗算、さらには除算も可能であり、ほとんど体のように振る舞います。さらに、グラスマン数の多項式を考察することで、 正則関数 の概念にたどり着くことができます。このような関数の導関数を取り、さらに原始関数も考察することができます。これらの概念はそれぞれ丁寧に定義することができ、通常の数学における同等の概念とかなりよく対応します。類推はそこで終わりません。超数学という分野全体があり、 ユークリッド空間 の類推は超空間 、多様体の類推は超多様体、 リー代数 の類推はリー超代数 などとなっています。グラスマン数は、これらすべてを可能にする根本的な構造である。
もちろん、他の分野、あるいは環 においても同様の研究プログラムを進めることは可能であり、実際、数学においては広く一般的に行われている。しかし、超数学は物理学において特別な意義を持つ。なぜなら、反交換関係はフェルミオンの量子力学的挙動と強く結びついており、反交換関係はパウリの排他原理に対応するからである。 したがって、グラスマン数、ひいては超数学全般の研究は、物理学におけるその有用性によって強く推進されている。
具体的には、量子場理論 、より狭義には第二量子化 において、多粒子量子状態を生成する昇降演算 子が用いられます。フェルミオンに対する昇降演算子は、パウリの排他原理によって必然的に反対称な波動関数 を持つ場量子を生成します。このような状況では、グラスマン数は、ある（通常は不定の）数のフェルミオンを含む波動関数に直接対応します。
フェルミオンの数が固定され有限である場合、反交換関係とスピノルの間の明示的な関係は、スピン群によって与えられます。この群は、 クリフォード代数 における単位長ベクトルの部分集合として定義でき、自然に反交換ワイルスピノル に因数分解されます。反交換とスピノルとしての表現は、どちらもスピン群に対して自然な形で現れます。本質的に、グラスマン数は、スピンから生じる関係を捨て、反交換による関係のみを残すものと考えることができます。
概要と特性 グラスマン数は、 n個 グラスマン変数、 グラスマン方向 、または超電荷の 集合によって生成される 外部代数 の個々の要素または点である。{ θ 私 } {\displaystyle \{\theta _{i}\}} n 自体は変数ではなく、 単位代数 の基底要素として理解する方が適切である。この用語は、主な用途が積分を定義することであり、積分変数がグラスマン値であることから、言語の誤用としてグラスマン変数と呼ばれるようになった。同様に、方向の概念は 超空間 の概念から来ており、通常のユークリッド空間がグラスマン値の「方向」を追加して拡張される。電荷という名称は、 物理学における電荷 の概念から来ており、これは物理的対称性の生成子に対応する（ネーターの定理 による）。認識されている対称性は、単一のグラスマン変数による乗算がZ 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}
グラスマン変数は、n ベクトル空間 の基底ベクトル です。これらは体上の代数 を形成し、体は通常複素数体 とされますが、実数体などの他の体も考えられます。この代数は単位元を持つ代数 であり、生成元は反可換です。
θ 私 θ j = − θ j θ 私 {\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}} 以来θ 私 \displaystyle \theta _{i}} x
θ 私 x = x θ 私 。 {\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.} 生成子の二乗は消滅する。
（ θ 私 ） 2 = 0 、 {\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,} θ 私 θ 私 = − θ 私 θ 私 。 {\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.} 言い換えれば、グラスマン変数とは、ゼロ以外のゼロの平方根のこと である。
形式的には、V を基底を持つ n θ 私 、 私 = 1 、 … 、 n {\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n} θ 私 、 私 = 1 、 … 、 n {\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n} V
Λ （ V ） = C ⊕ Λ 1 V ⊕ Λ 2 V ⊕ ⋯ ⊕ Λ n V = ⨁ k = 0 n Λ k V 、 {\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,} どこ∧ {\displaystyle \wedge } 外装製品 です。Λ k V ≡ （ V ∧ V ∧ ⋯ ∧ V ） ⏟ k \displaystyle \Lambda ^{k}V\equiv \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{k}} ⊕ {\displaystyle \oplus } は直和で ある。この代数の個々の要素はグラスマン数 と呼ばれる。ウェッジ記号は省略するのが一般的である。∧ {\displaystyle \wedge }
z = c 0 + ∑ k = 1 n ∑ 1 ≤ 私 1 < 私 2 < ⋯ < 私 k ≤ n c 私 1 私 2 ⋯ 私 k θ 私 1 θ 私 2 ⋯ θ 私 k = c 0 + ∑ k = 1 n ∑ 私 1 、 私 2 、 ⋯ 、 私 k = 1 n 1 k ! c 私 1 私 2 ⋯ 私 k θ 私 1 θ 私 2 ⋯ θ 私 k 、 {\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}=1}^{n}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},} どこでc 私 1 私 2 ⋯ 私 k {\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}} k 反対称なテンソル です。θ 私 {\displaystyle \theta _{i}} θ 私 ∧ θ j = θ 私 θ j {\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}} 私 < j {\displaystyle i<j} Λ {\displaystyle \Lambda }
n 2 n です。これは、上記の和に二項定理を適用することと、上記の反交換関係により変数の ( n + 1) 重積がゼロになるという事実から導かれます。Λ k V {\displaystyle \Lambda ^{k}V} n k を 二項係数 として与えられます。n = 1双対数 と呼ばれ、 1873 年にウィリアム・クリフォード によって導入されました。
V が無限次元の場合、上記の級数は終了せず、次のように定義される。
Λ ∞ （ V ） = C ⊕ Λ 1 V ⊕ Λ 2 V ⊕ ⋯ 。 {\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .} 一般要素は現在
z = ∑ k = 0 ∞ ∑ 私 1 、 私 2 、 ⋯ 、 私 k 1 k ! c 私 1 私 2 ⋯ 私 k θ 私 1 θ 私 2 ⋯ θ 私 k ≡ z B + z S = z B + ∑ k = 1 ∞ ∑ 私 1 、 私 2 、 ⋯ 、 私 k 1 k ! c 私 1 私 2 ⋯ 私 k θ 私 1 θ 私 2 ⋯ θ 私 k 、 {\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},} どこz B {\displaystyle z_{B}} 時にはボディ と呼ばれ、z S {\displaystyle z_{S}} 超数 の魂 としてz {\displaystyle z}
物件 有限次元の場合（同じ用語を使用）魂は冪零で ある、すなわち
z S n + 1 = 0 、 {\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,} しかし、無限次元の場合には必ずしもそうとは限りません。[ 2 ]
V が有限次元の場合、
θ 私 z = 0 、 1 ≤ 私 ≤ n ⇒ z = c θ 1 θ 2 ⋯ θ n 、 c ∈ C 、 {\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,} V が無限次元の場合[ 3 ]
θ 1 z = 0 ∀ 1 ⇒ z = 0. {\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}
有限集合と可算集合の生成元 文献には、一般的に 2 種類の異なる超数が登場します。1 つは有限個の生成子を持つもので、通常はn 超多様体 の定義では、1 つのバリアントが可算無限個の生成子を使用しますが、その後、次元を小さな有限数に効果的に削減するトポロジーを使用します。[ 4 ] [ 5 ]
もう一方のケースでは、有限個の生成子から始めることができますが、第2量子化 の過程で、無限個の生成子が必要になります。つまり、フェルミオンが持ちうるあらゆる運動量ごとに1つずつ生成子が必要になるのです。
グラスマン数の定義には、実数ではなく複素数が一般的に用いられます。これは、共役や対合 を導入した際に生じる奇妙な振る舞いを避けるためです。グラスマン数には、次のような演算子 * を導入するのが一般的です。
θ = θ * {\displaystyle \theta =\theta ^{*}} いつθ {\displaystyle \theta }
（ θ 私 θ j ⋯ θ k ） * = θ k ⋯ θ j θ 私 {\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}} すると、グラスマン数z について考えることができる。z = z * {\displaystyle z=z^{*}} （超）現実 と呼ぶが、従う者はz * = − z {\displaystyle z^{*}=-z} これらは（超）虚数 と呼ばれます。これらの定義は、グラスマン数が実数を基底体として使用する場合でも問題なく適用できます。ただし、そのような場合、生成子の数が4未満であれば、多くの係数がゼロになってしまいます。そのため、慣例として、グラスマン数は通常、複素数上で定義されます。
他の慣例も可能であり、上記はデウィット慣例と呼ばれることもある。ロジャースはθ * = 私 θ {\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }
分析 奇数個のグラスマン変数の積は互いに反可換であり、このような積はしばしばa 数 と呼ばれます。偶数個のグラスマン変数の積は（すべてのグラスマン数と）可換であり、しばしばc 数 反可換 c 数 と呼ばれることもあります。この偶数および奇数部分空間への分解により、Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} 等級付けを行う。したがって、グラスマン代数は 超可換代数 の典型的な例である。c 数は の部分代数を形成することに注意する。Λ {\displaystyle \Lambda }
グラスマン数の定義を用いることで、複素数解析と同様の数学的解析 が可能になります。つまり、超正則関数、微分、積分を定義することができます。これらの基本概念については 、双対数 に関する記事でより詳細に解説されています。
一般的に、通常の数学的実体の超対称性類似物を定義するには、無限個の生成子を持つグラスマン数を用いる方が通常は容易である。ほとんどの定義は単純明快になり、対応するボソン定義からそのまま引き継ぐことができる。例えば、1つのグラスマン数は1次元空間を生成するものと考えることができる。すると、m 超空間である ベクトル空間は、これらの1次元空間のm デカルト積 として現れる。Λ 。 {\displaystyle \Lambda .} これは本質的にm個の [ 6 ]
統合 グラスマン数に関する積分は、ベレジン積分 （グラスマン積分とも呼ばれる）として知られています。フェルミ場の経路積分を再現するためには、グラスマン積分の定義が以下の性質を満たす必要があります。
線形性∫ [ 1 f （ θ ） + b g （ θ ） ] d θ = 1 ∫ f （ θ ） d θ + b ∫ g （ θ ） d θ {\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta } 部分積分公式∫ [ ∂ ∂ θ f （ θ ） ] d θ = 0. {\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.} さらに、任意の関数のテイラー展開f （ θ ） = A + B θ {\displaystyle f(\theta )=A+B\theta } θ 2 = 0 {\displaystyle \theta ^{2}=0} θ → θ + η {\displaystyle \theta \to \theta +\eta }
∫ d θ f （ θ ） = ∫ d θ （ A + B θ ） ≡ ∫ d θ （ （ A + B η ） + B θ ） 。 {\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).} この条件を満たす唯一の線形関数は定数（慣例的に1）× B なので、ベレジンは[ 7 ]を定義した。
∫ d θ （ A + B θ ） ≡ B 。 {\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.} これにより、グラスマン量の積分に関する以下の規則が得られます。
∫ 1 d θ = 0 {\displaystyle \int \,1\,d\theta =0} ∫ θ d θ = 1. {\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.} したがって、グラスマン数の積分と微分は同一であると結論づける。
量子場理論 の経路積分定式化 では、フェルミオン反交換場に対して、 N × N行列 A を用いたグラスマン量のガウス積分 が以下のように必要となる。
∫ exp [ − θ T A η ] d θ d η = 検出 A {\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}
慣習と複雑な統合 複数のグラスマン数にわたって積分を行うと曖昧さが生じる。最も内側の積分を最初に実行する慣例では、
∫ d θ ∫ d η η θ = + 1. {\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.} 一部の著者は、複素共役を演算子のエルミート共役と同様に定義している[ 8 ]。
（ θ η ） * ≡ η * θ * = − θ * η * 。 {\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.} 追加の規約により
θ = θ 1 + 私 θ 2 2 、 θ * = θ 1 − 私 θ 2 2 、 {\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},} θ とθ* を独立したグラスマン数として扱い、
∫ d θ * d θ （ θ θ * ） = 1. {\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.} したがって、ガウス積分は次のように評価される。
∫ d θ * d θ e − θ * b θ = ∫ d θ * d θ （ 1 − θ * b θ ） = ∫ d θ * d θ （ 1 + θ θ * b ） = b {\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b} また、 θθ* という追加の係数は、通常のガウス関数と同様に、(1/b) という係数を実質的に導入します。
∫ d θ * d θ θ θ * e − θ * b θ = 1. {\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.} ユニタリ性を証明した後、固有値b i を持つエルミート行列 B を含む一般的なガウス積分を評価することができます。[ 8 ] [ 9 ]
（ ∏ 私 ∫ d θ 私 * d θ 私 ） e − θ 私 * B 私 j θ j = （ ∏ 私 ∫ d θ 私 * d θ 私 ） e − θ 私 * b 私 θ 私 = ∏ 私 b 私 = 検出 B 。 {\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}
行列表現 グラスマン数は行列 で表現できる。例えば、2つのグラスマン数によって生成されるグラスマン代数を考えてみよう。θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} × 4行列で表すことができます。
θ 1 = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] θ 2 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ] θ 1 θ 2 = − θ 2 θ 1 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] 。 {\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.} 一般に、n個の生成子を持つグラスマン代数は、 2n × 2nの正方 n 個の同一フェルミオン のヒルベルト空間 に作用する昇順演算子と考えることができます。各フェルミオンの占有数は0または1であるため、可能な基底状態は 2n
一般化 グラスマン数にはいくつかの一般化が存在する。これらは、 N個の 変数に関する規則を必要とする。
θ 私 1 θ 私 2 ⋯ θ 私 N + θ 私 N θ 私 1 θ 私 2 ⋯ + ⋯ = 0 {\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0} ここで、インデックスはすべての順列にわたって合計されるため、結果として次のようになります。
（ θ 私 ） N = 0 {\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,} N > 2の場合、 これらはN > 2 のN テンソルの超行列式 を計算する際や、2乗より大きい多項式の判別式を計算する際に役立ちます。また、 N が無限大に近づく極限の場合もあり、その場合は数値に対して解析関数を定義できます。たとえば、 N = 3の場合、単一のグラスマン数は次の行列で表すことができます。
θ = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] {\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad } となることによってθ 3 = 0 {\displaystyle \theta ^{3}=0}
例えば、 2つのグラスマン変数を持つN = 3の規則は、次のことを意味します。
θ 1 （ θ 2 ） 2 + θ 2 θ 1 θ 2 + （ θ 2 ） 2 θ 1 = 0 {\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0} そうすれば、
θ 1 （ θ 2 ） 2 = − 1 2 θ 2 θ 1 θ 2 = （ θ 2 ） 2 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}} など
（ θ 1 ） 2 （ θ 2 ） 2 = （ θ 2 ） 2 （ θ 1 ） 2 = θ 1 （ θ 2 ） 2 θ 1 = θ 2 （ θ 1 ） 2 θ 2 = − 1 2 θ 1 θ 2 θ 1 θ 2 = − 1 2 θ 2 θ 1 θ 2 θ 1 、 {\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},} これは、2×2×2テンソルの超行列式 の定義を与える。
（ A 1 b c θ 1 η b ψ c ） 4 = 検出 （ A ） （ θ 1 ） 2 （ θ 2 ） 2 （ η 1 ） 2 （ η 2 ） 2 （ ψ 1 ） 2 （ ψ 2 ） 2 。 {\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}
参考文献 デウィット、B. (1984).超多様体 . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-42377-5 。ペスキン、マイケル・E.、シュローダー、ダニエル・V. (1995).量子場理論入門 ）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。ISBN 9780201503975 。 ロジャース、アリス （2007a）。スーパーマニフォールド：理論と応用 （ PDF） 。ワールドサイエンティフィック。第1章。doi ：10.1142/ 1878。ISBN 978-981-3203-21-1 。ロジャース、アリス （2007）。スーパーマニフォールド：理論と応用 。ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-3203-21-1 。
![{\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059ccf02ab354dc01661a0237a698f6efd3df73a)
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