フォノン

フォノンは、凝縮物質、特に固体や一部の液体中の原子または分子の周期的弾性配列における集団励起である。物理学における準粒子の一種である^[1]フォノンは、相互作用する粒子の弾性構造の振動モードの量子力学的量子化における励起状態である。フォノンは量子化された音波と考えることができ、量子化された光波である光子に似ている。^[2]

フォノンの研究は、凝縮物質物理学の重要な部分です。フォノンは、熱伝導率や電気伝導率などの凝縮物質システムの多くの物理的特性、および中性子散乱や関連効果のモデルにおいて重要な役割を果たします。

フォノンの概念は、1930年にソ連の物理学者イーゴリ・タムによって導入されました。フォノンという名前はヤコフ・フレンケルによって提案されました。^[3]これはギリシャ語のφωνή ( phonē )に由来し、音や声と翻訳されます。これは、長波長のフォノンが音を生じるためです。この名前は、光子が光波の波動粒子二重性を表すのと同じように、フォノンが音波の波動粒子二重性を表すという点で、光子という言葉との類似性を強調しています。最小の単位格子に複数の原子を含む固体は、音響フォノンと光学フォノンの両方を示します。

フォノンは、原子または分子の格子が単一の周波数で均一に振動する基本的な振動運動の量子力学的記述である。^[4]古典力学では、これは振動の標準モードを指す。標準モードが重要なのは、任意の格子振動はこれらの基本振動モードの重ね合わせと見なすことができるためである（フーリエ解析を参照）。標準モードは古典力学では波のような現象であるが、フォノンは量子力学の 波動粒子二重性と関連して粒子のような特性も持つ。

このセクションの方程式は量子力学の公理を使用せず、代わりに古典力学に直接対応する関係を使用します。

たとえば、規則的で硬い結晶質（非晶質ではない）の格子は、 N個の粒子から構成されます。これらの粒子は、原子または分子です。Nは、たとえば 10 ²³のオーダー、または典型的な固体サンプルのアボガドロ数オーダーの大きな数です。格子は硬いので、原子は、各原子を平衡位置近くに保つために、互いに力を及ぼしているに違いありません。これらの力は、ファンデルワールス力、共有結合、静電引力などであり、これらはすべて、最終的には電気力によるものです。磁力と重力は、一般に無視できます。各原子ペア間の力は、原子間の距離に依存するポテンシャルエネルギー関数Vによって特徴付けられます。格子全体のポテンシャルエネルギーは、すべてのペアワイズポテンシャルエネルギーの合計に、重複カウントを補正するために係数 1/2 を掛けたものです。^[5]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}$

ここで、r _{i は}i番目の原子の位置であり、Vは2つの原子間の位置エネルギーです。

この多体問題を古典力学でも量子力学でも明示的に解くことは困難です。作業を簡略化するために、通常は 2 つの重要な近似が課されます。まず、合計は隣接する原子に対してのみ実行されます。実際の固体内の電気力は無限大にまで広がりますが、離れた原子によって生成される場は効​​果的に遮蔽されるため、この近似は依然として有効です。次に、ポテンシャルV は調和ポテンシャルとして扱われます。これは、原子が平衡位置に近い限り許容されます。正式には、これはV を平衡値について 2 次までテイラー展開することで実現され、 V は変位x ²に比例し、弾性力はxに単純に比例します。xが平衡位置に近い 場合は、高次の項を無視しても誤差は小さいままです。

結果として得られる格子は、バネで接続されたボールのシステムとして視覚化できます。次の図は、多くの種類の結晶固体の優れたモデルである立方格子を示しています。他の格子には線形チェーンが含まれます。これは非常に単純な格子で、すぐにフォノンのモデル化に使用します。(他の一般的な格子については、結晶構造を参照してください。)

格子の位置エネルギーは次のように表される。

${\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\右)^{2}.}$

ここで、ω は調和ポテンシャルの固有振動数であり、格子が規則的であるため同じであると想定されます。R i_はi番目の原子の位置座標であり、平衡位置から測定されます。最も近い隣接原子の合計は (nn) で示されます。

ここで示した数学的処理は、専門家以外の人にも理解しやすいように、非常に簡略化されていることを述べておくことが重要です。この簡略化は、結晶の全ポテンシャル エネルギーの表現に 2 つの基本的な仮定を置くことで実現しました。これらの仮定とは、(i) 全ポテンシャル エネルギーは、ペアワイズ相互作用の合計として表すことができる、(ii) 各原子は、最も近い隣接原子とのみ相互作用する、というものです。これらは、現代の格子力学ではほとんど使用されていません。^[6]より一般的なアプローチは、ポテンシャル エネルギーを力の定数で表すことです。^[6]たとえば、マルチスケール グリーン関数に関する Wiki の記事を参照してください。

原子間の結合により、1 つまたは複数の原子が平衡位置からずれると、格子を伝わる一連の振動波が発生します。右の図に、そのような波の 1 つを示します。波の振幅は、原子が平衡位置からずれたことによって決まります。波長 λが示されています。

原子間の平衡距離aの 2 倍で与えられる最小波長があります。これより短い波長は、格子の周期性により、2 aより長い波長にマッピングできます。これは、ナイキスト-シャノンのサンプリング定理の結果であると考えられ、格子点は連続波の「サンプリング点」と見なされます。

すべての格子振動が明確に定義された波長と周波数を持つわけではありません。ただし、通常モードは明確に定義された波長と周波数を持ちます。

3 次元の原子格子に必要な分析を簡素化するには、1 次元の格子または線形鎖をモデル化するのが便利です。このモデルは、フォノンの顕著な特徴を表示するのに十分な複雑さを備えています。

原子間の力は線形かつ最近傍であると仮定され、弾性バネによって表されます。各原子は点粒子であると仮定され、原子核と電子は同期して動きます (断熱定理)。

n − 1 n n + 1 ← a →        

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++ +++++++++o++++++o···

→→  →  →→→

u _{n − 1} u _n u _{n + 1}  

ここで、n はN個の原子のうちのn番目の原子を表し、aは鎖が平衡状態にあるときの原子間の距離、u _{n は}n番目の原子の平衡位置からの変位を表します。

Cがバネの弾性定数、mが原子の質量である場合、 n番目の原子の運動方程式は

${\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}$

これは結合された方程式のセットです。

解は振動すると予想されるため、それらを分離するために離散フーリエ変換によって新しい座標が定義されます。 ^[7]

置く

${\displaystyle u_{n}=\sum _{Nak/2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}$

ここで、na はスカラー場理論の連続変数xに対応し、それに発展します。Q _{k は}、の連続場モードの標準座標として知られています。 ${\displaystyle \phi _{k}=e^{ikna}}$${\displaystyle k=2\pi j/(Na)}$${\displaystyle j=1\dots N}$

運動方程式に代入すると、次の分離された方程式が生成されます（これには、離散フーリエ変換の正規直交性と完全性の関係を使用した重要な操作が必要です）^[8]

${\displaystyle 2C(\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}$

これらは分離調和振動子の方程式であり 、解は次のようになる。

${\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}$

各法線座標Q _{k は、}波数kを持つ格子の独立した振動モードを表し、これは法線モードとして知られています。

2番目の式（ω _k ）は、角周波数と波数の間の分散関係として知られています。

連続体極限では、a →0、 N →∞、Naは固定、u _n → φ ( x )、スカラー場、と なります。これは、独立した振動子の集合である古典的な自由スカラー場理論に相当します。 ${\displaystyle \omega (k)\propto ka}$

1 次元の量子力学的調和鎖は、N 個の同一の原子から構成されます。これは、フォノンの発生を可能にする格子の最も単純な量子力学的モデルです。このモデルの形式は、2 次元および 3 次元に容易に一般化できます。

前のセクションとは対照的に、質量の位置は ではなく、平衡位置から測定された で表されます。（つまり、粒子が平衡位置にある場合）。2次元以上では、 はベクトル量です。このシステムの ハミルトニアンは${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$${\displaystyle x_{i}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}$

ここで、_mは各原子の質量 (すべてで等しいと仮定)、xiとp _{i は}それぞれi番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、合計は最近傍 (nn) に対して行われます。ただし、格子では粒子のように動作する波も出現することが予想されます。波は、粒子の座標ではなく波動ベクトルの通常モードを変数として使用するフーリエ空間で処理するのが通例です。通常モードの数は粒子の数と同じです。それでも、システムの 周期性を考えると、フーリエ空間は非常に便利です。

x _kの離散フーリエ変換として定義されるN 個の「標準座標」Q _kのセットと、p _kのフーリエ変換として定義されるN個の「共役運動量」Π _kを導入することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{ k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}$

量k はフォノンの波数、つまり 2 π を波長で割った値になります。

この選択により、実空間または波数ベクトル空間のいずれかで望ましい交換関係が保持される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}\left[x_{l},p_{m}\right]\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(kk'\right)}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0\end{aligned}}}$

全体的な結果から

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{ k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k} \Pi _{-k}\end{整列}}}$

位置エネルギー項は

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}$

どこ

${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}$

ハミルトニアンは波動ベクトル空間では次のように書ける。

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}$

位置変数間の結合は変換されて除去されています。QとΠ がエルミートである場合(実際はそうではありません)、変換されたハミルトニアンはN個の非結合調和振動子を記述します。

量子化の形式は境界条件の選択に依存する。簡単のため、周期境界条件が課され、( N  + 1)番目の原子が最初の原子と同等であると定義される。物理的には、これは鎖の端で結合することに対応する。結果として得られる量子化は

${\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }$

nの上限は最小波長から来ており、これは上で説明したように格子間隔a の2 倍です。

モードω _kの調和振動子の固有値またはエネルギーレベルは次のとおりです。

${\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }$

レベルは次の間隔で均等に配置されます。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$

どこ⁠1/2⁠ ħω は量子調和振動子のゼロ点エネルギーです。

調和振動子格子を次のエネルギーレベルに押し上げるには、正確な量のエネルギー ħωを調和振動子格子に供給する必要があります。電磁場が量子化される光子の場合と同様に、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれます。

すべての量子系は波のような性質と粒子のような性質を同時に示す。フォノンの粒子のような性質は、後述する第二量子化法と演算子法を用いることで最もよく理解できる。 ^[9]

これは 3 次元格子に一般化できます。波数k は3 次元波数ベクトル kに置き換えられます。さらに、各k は3 つの法線座標に関連付けられます。

新しいインデックスs = 1、2、3 は、フォノンの分極を表します。1 次元モデルでは、原子は線に沿って移動するように制限されていたため、フォノンは縦波に対応していました。3 次元では、振動は伝播方向に制限されず、横波のように垂直な平面でも発生する可能性があります。これにより、追加の法線座標が生成されますが、ハミルトニアンの形が示すように、独立したフォノンの種類として見ることができます。

質量m ₁、m ₂の2種類のイオンまたは原子が、バネ定数Kのバネで接続され、距離aで周期的に繰り返される1次元交互配列の場合、2つの振動モードが生じる。^[11]

${\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}$

ここで、k は振動の波数ベクトルであり、その波長と によって関連付けられます 。 ${\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}$

周波数と波数ベクトルの関係ω  =  ω ( k ) は分散関係として知られています。プラス記号はいわゆる光学モードになり、マイナス記号は音響モードになります。光学モードでは、隣接する 2 つの異なる原子が互いに反対方向に移動しますが、音響モードでは一緒に移動します。

音響フォノンの伝播速度は格子内の音速でもあり、音響分散関係の傾きによって与えられる。⁠∂ωkは_​/∂kの⁠ (群速度を参照) kの値が低い場合(つまり、波長が長い場合)、分散関係はほぼ線形になり、音速はフォノン周波数に関係なく、およそωaになります。その結果、異なる (ただし長い) 波長を持つフォノンのパケットは、格子を横切って分解することなく長距離を伝播できます。これが、音が大きな歪みなく固体中を伝播する理由です。この動作は、格子の微視的詳細のため、 kの値が大きい場合(つまり、波長が短い場合) には機能しません。

基本セルに少なくとも 2 つの原子を持つ結晶の場合、分散関係は 2 種類のフォノン、つまり図の上部の青い曲線と下部の赤い曲線にそれぞれ対応する光学モードと音響モードを示します。縦軸はフォノンのエネルギーまたは周波数で、横軸は波数ベクトルです。境界は − ⁠π/1つの⁠と⁠π/1つの⁠ は第一ブリルアンゾーンの分散関係です。^[11]原始セル内にN  ≥ 2 個の異なる原子を持つ結晶は、3 つの音響モードを示します。1 つの縦方向音響モードと 2 つの横方向音響モードです。光学モードの数は 3 N – 3 です。下の図は、ブリルアンゾーンの主方向における波数ベクトルkの関数として、GaAs のいくつかのフォノンモードの分散関係を示しています。^[10]

モードはフォノン分散の分岐とも呼ばれます。一般に、基本単位セルに p 原子 (前述の N で示したもの) がある場合、3 次元結晶には 3p のフォノン分散分岐があります。これらのうち 3 つの分岐は音響モードに対応し、残りの 3p-3 分岐は光学モードに対応します。一部の特殊な方向では、対称性により一部の分岐が一致します。これらの分岐は縮退と呼ばれます。音響モードでは、すべての p 原子が同位相で振動します。したがって、波の伝播中にこれらの原子の相対変位に変化はありません。

フォノン分散の研究は、フォノンによって特徴付けられる固体中の音波の伝播をモデル化するのに役立ちます。前述のように、各フォノンのエネルギーはħω です。波の速度もωと kで表されます。波ベクトルの方向は波の伝播方向であり、フォノン分極ベクトルは原子が振動する方向を示します。実際には、一般に結晶内の波の速度は k の方向によって異なります。言い換えると、ほとんどの結晶はフォノン伝播に対して異方性があります。

原子が波の伝播と同じ方向に振動する場合、その波は縦波です。横波では、原子は波の伝播に対して垂直に振動します。ただし、等方性結晶を除いて、結晶内の波は厳密には縦波でも横波でもありません。一般的な異方性結晶の場合、フォノン波は特定の特殊な対称方向でのみ縦波または横波になります。他の方向では、ほぼ縦波またはほぼ横波になります。ラベル付けの便宜上、縦波または横波と呼ばれることが多いですが、実際には準縦波または準横波です。3 次元の場合、直線上の各点で直線に垂直な方向が 2 つあることに注意してください。したがって、各 (準) 縦波に対して常に 2 つの (準) 横波が存在します。

多くのフォノン分散曲線は非弾性中性子散乱によって測定されてきました。

どちらも密度波ですが、流体中の音の物理は固体中の音の物理とは異なります。流体中の音波には縦方向の成分しかありませんが、固体中の音波には縦方向と横方向の成分があります。これは、流体がせん断応力に耐えられないためです (ただし、高周波数にのみ適用される 粘弾性流体を参照してください)。

上記で導出されたハミルトニアンは古典的なハミルトニアン関数のように見えるかもしれないが、これを演算子として解釈すると、相互作用しないボソンの量子場理論を記述する。^[2] 2番目の量子化 手法は、量子調和振動子に使用されるラダー演算子法に似ており、微分方程式を直接解くことなくエネルギー固有値を抽出する手段である。ハミルトニアン 、および上記の量子処理セクションで定義された共役位置 、および共役運動量が与えられた場合、生成演算子と消滅演算子を定義できる。^[12]${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Q_{k}}$${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}$   そして   ${\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}$

標準的な交換関係を代入することで、次の交換子を簡単に得ることができます。

${\displaystyle \left[b_{k},{b_{k'}}^{\dagger }\right]=\delta _{k,k'},\quad {\Big [}b_{k},b_{k'}{\Big ]}=\left[{b_{k}}^{\dagger },{b_{k'}}^{\dagger }\right]=0}$

これを用いて、演算子b _k ^†とb _{k を}反転させて、共役位置と運動量を次のように再定義することができます。

${\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}$   そして   ${\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}$

これらの定義を、上で定義した波数ベクトル空間ハミルトニアンに直接代入し、簡略化すると、ハミルトニアンは次の形になります。^[2]${\displaystyle Q_{k}}$${\displaystyle \Pi _{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}$

これは第二量子化法として知られ、占有数定式化としても知られ、ここでn _k = b _k ^† b _kは占有数である。これは、それぞれが固有の波数ベクトルを持ち、量子調和振動子に使用される方法と互換性のある N 個の独立した振動子ハミルトニアンの合計と見なすことができます（n _kはエルミートであることに注意）。^[12]ハミルトニアンが可換なサブハミルトニアンの和として表されるとき、エネルギー固有状態は、個別のサブハミルトニアンのそれぞれの固有状態の積によって与えられます。対応するエネルギー スペクトルは、サブハミルトニアンの個々の固有値の合計によって与えられます。^[12]

量子調和振動子と同様に、 b _k ^†とb _{k は}それぞれエネルギーħω _kを持つ単一の場励起、フォノンを生成および破壊することがわかる。^{[12] [2]}

この手法からフォノンの 3 つの重要な特性を推測することができます。まず、フォノンはボソンです。これは、生成演算子b _k ^†を繰り返し適用することで、任意の数の同一の励起を生成できるためです。次に、各フォノンは、格子内のすべての原子の運動によって引き起こされる「集団モード」です。これは、ここで運動量空間で定義されている生成演算子と消滅演算子が、位置空間で記述されたときにすべての原子の位置演算子と運動量演算子の合計を含むという事実からわかります。(位置と運動量空間を参照してください。) ^{[12]最後に、}位置-位置相関関数を使用して、フォノンが格子変位の波として作用することを示すことができます。^{[引用が必要]}

この手法は3次元にも容易に一般化でき、ハミルトニアンは次の形をとる: ^{[12] [2]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}$

これは、波数ベクトルと偏光ごとに1つずつ、3N個の独立した振動子ハミルトニアンの合計として解釈できます。^[12]

最小の単位格子内に 1 つ以上の原子を持つ固体は、音響フォノンと光学フォノンの 2 種類のフォノンを示します。

音響フォノンは、格子の原子が平衡位置からコヒーレントに移動する現象です。変位が伝播方向にある場合、空気中の音波のように、一部の領域では原子が近づき、他の領域では原子が離れます (これが音響という名前が由来です)。伝播方向に対して垂直な変位は、弦の波に似ています。音響フォノンの波長が無限大になると、結晶全体が単純に変位するのと同じで、変形エネルギーはゼロになります。音響フォノンは、長波長の場合、周波数とフォノン波ベクトルの間に線形関係を示します。音響フォノンの周波数は、波長が長くなるにつれてゼロに近づきます。縦方向および横方向の音響フォノンは、それぞれ LA フォノンおよび TA フォノンと略されることが多いです。

光学フォノンは格子内の原子の位相がずれた運動で、1つの原子が左に移動し、その隣の原子が右に移動します。これは、格子基底が2つ以上の原子で構成されている場合に表示されます。塩化ナトリウムなどのイオン結晶では、変位の変動によって電気分極が生成され、それが電磁場と結合するため、光学フォノンと呼ばれます。 ^{[2]したがって、これらは}赤外線によって励起され、光の電場によってすべての正のナトリウムイオンが電場の方向に、すべての負の塩化物イオンが反対方向に移動して、結晶が振動します。

光フォノンはブリルアンゾーンの中心で非ゼロの周波数を持ち、その長波長限界付近では分散を示さない。これは、隣接する格子位置の正イオンと負イオンが互いに振動し、時間とともに変化する電気双極子モーメントを生成する振動モードに対応するためである。このように光と相互作用する光フォノンは、赤外活性と呼ばれる。ラマン活性な光フォノンは、ラマン散乱を介して光と間接的に相互作用することもできる。光フォノンは、縦モードと横モードを表す LO フォノンと TO フォノンと略されることが多く、LO 周波数と TO 周波数の分割は、リデン・サックス・テラー関係によって正確に説明されることが多い。

光フォノンエネルギーを実験的に測定する場合、光フォノン周波数は分光学的波数表記で表すことがある。ここで、記号ω は通常の周波数（角周波数ではない）を表し、cm ⁻¹の単位で表される。この値は、周波数を真空中の光速で割ることで得られる。言い換えれば、cm ^{−1単位の波数は、測定されたフォノンと同じ周波数を持つ真空中の}光子の波長の逆数に対応する。^[13]

光子や物質波との類推により、フォノンは波動ベクトル kで運動量 ħkを持つかのように扱われてきた。^[14]しかし、これは厳密には正しくない。なぜなら、ħk は実際には物理的な運動量ではなく、結晶運動量または擬似運動量と呼ばれるからである。これは、k が定数ベクトル（逆格子ベクトルとその整数倍）の加算によってのみ決定されるからである。例えば、1次元モデルでは、法線座標QとΠ は次のように定義される。

${\displaystyle Q_{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}Q_{k+K};\quad \Pi _{k}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\Pi _{k+K}}$

どこ

${\displaystyle K={\frac {2n\pi }{a}}}$

任意の整数nに対して、波数kのフォノンは波数k  ±  ⁠のフォノンの無限族と等価である。2π​/1つの⁠、k  ±  ⁠4π​/1つの⁠、など。物理的には、逆格子ベクトルは、格子がフォノンに与えることができる追加の運動量の塊として機能します。ブロッホ電子も同様の一連の制限に従います。

通常、その「ファミリー」内で最小の大きさ | k | を持つフォノン波ベクトルk を考慮すると便利です。このような波ベクトルの集合は、最初のブリルアンゾーンを定義します。追加のブリルアンゾーンは、逆格子ベクトルによってシフトされた最初のゾーンのコピーとして定義できます。

固体の熱力学的特性は、そのフォノン構造に直接関係しています。フォノン分散関係によって記述されるすべての可能なフォノンのセット全体が、結晶の熱容量を決定するフォノン状態密度と呼ばれるものに組み合わされます。この分布の性質上、熱容量は分布の高周波部分によって支配され、熱伝導率は主に低周波領域の結果です。^{[引用が必要]}

絶対零度では、結晶格子は基底状態にあり、フォノンは含まれない。非零温度の格子は一定ではなく、ある平均値の周りでランダムに変動するエネルギーを持つ。これらのエネルギー変動はランダムな格子振動によって引き起こされ、フォノンのガスと見なすことができる。これらのフォノンは格子の温度によって生成されるため、熱フォノンと呼ばれることもある。^[15]

熱フォノンはランダムなエネルギー変動によって生成および破壊される。統計力学の用語では、これはフォノンを追加するための化学ポテンシャルがゼロであることを意味する。^[15]この動作は、調和ポテンシャルを非調和領域に拡張したものである。熱フォノンの動作は、光子がキャビティ壁によって放出または吸収される可能性がある電磁キャビティによって生成される光子ガスに似ている。この類似性は偶然ではなく、電磁場は調和振動子のセットのように動作し、黒体放射を生じることが判明している。両方のガスはボーズ・アインシュタインの統計に従います。熱平衡および調和領域内では、特定の角周波数で特定の状態のフォノンまたは光子が見つかる確率は次のとおりです。^[16]

${\displaystyle n\left(\omega _{k,s}\right)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\hbar \omega _{k,s}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}}$

ここで、ω _{k、s は}状態におけるフォノン（または光子）の周波数、k _Bはボルツマン定数、Tは温度です。

フォノンは量子トンネル効果（またはフォノントンネリング）を示すことが示されており、1ナノメートル幅までの隙間を通り、2つの物質の間を「トンネル」するフォノンを介して熱が流れることができる。^{[17]このタイプの熱伝達は、}伝導が発生するには大きすぎるが放射が発生するには小さすぎる距離の間で機能するため、古典的な熱伝達モデルでは説明できない。 ^[17]

フォノンハミルトニアンは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{\alpha }\left(p_{\alpha }^{2}+\omega _{\alpha }^{2}q_{\alpha }^{2}-\hbar \omega _{\alpha }\right)}$

生成演算子と消滅演算子に関しては、これらは次のように与えられる。

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{\alpha }\hbar \omega _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }}$

ここで、ハミルトニアンを演算子形式で表現する際に、⁠1/2⁠ ħω _q項として、連続体または無限格子が与えられた場合、⁠1/2⁠ ħω _q項を足し合わせると無限項になります。私たちが測定するのはエネルギーの差であり、その絶対値ではないため、定数項⁠1/2⁠ ħω _{q は}運動方程式を変えずに無視できる。したがって、⁠1/2⁠ ħω _q因子は、ハミルトニアンの演算子形式化表現には存在しません。

基底状態は「真空状態」とも呼ばれ、フォノンを含まない状態です。したがって、基底状態のエネルギーは 0 です。システムが状態| n ₁ n ₂ n ₃ …⟩にある場合、タイプαのフォノンがn _α個あると言われます。ここで、n _αはフォノンの占有数です。タイプαの単一のフォノンのエネルギーはħω _qで与えられ、一般的なフォノン システムの全エネルギーはn ₁ ħω ₁  +  n ₂ ħω _{2 +... で与えられます。交差項 (例:} n ₁ ħω ₂ ) がないため、フォノンは相互作用しないと言われています。生成演算子と消滅演算子の作用は次のように与えられます。

${\displaystyle {a_{\alpha }}^{\dagger }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }+1}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }+1),n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }}$

そして、

${\displaystyle a_{\alpha }{\Big |}n_{1}\ldots n_{\alpha -1}n_{\alpha }n_{\alpha +1}\ldots {\Big \rangle }={\sqrt {n_{\alpha }}}{\Big |}n_{1}\ldots ,n_{\alpha -1},(n_{\alpha }-1),n_{\alpha +1},\ldots {\Big \rangle }}$

生成演算子a _α ^{† は}α型のフォノンを生成し、a _{α は}それを消滅させます。したがって、これらはそれぞれフォノンの生成演算子と消滅演算子です。量子調和振動子の場合と同様に、粒子数演算子を次のように 定義できます。

${\displaystyle N=\sum _{\alpha }{a_{\alpha }}^{\dagger }a_{\alpha }.}$

数演算子は、生成演算子の数が消滅演算子の数と等しい場合にのみ、生成演算子と消滅演算子の積の文字列と交換されます。

フォノンは交換対称性（すなわち、|α、β⟩ = |β、α⟩）を示すことができるので 、 ボソンとみなされる。[ 18 ^]

光子と同様に、フォノンもパラメトリックダウンコンバージョン^[19]を介して相互作用し、圧縮コヒーレント状態を形成する。^[20]

最近の研究では、フォノンとロトンは無視できない質量を持ち、標準粒子と同様に重力の影響を受ける可能性があることが示されています。 ^[21]特に、フォノンは一種の負の質量と負の重力を持つと予測されています。 ^[22]これは、フォノンが密度の高い物質内でより速く移動することが知られていることで説明できます。物質の重力源に向いている部分は物体に近いため、その端の密度が高くなります。このことから、フォノンは密度の違いを感知して偏向し、負の重力場の性質を示すことが予測されます。^[23]この効果は測定するには小さすぎますが、将来の装置によって良好な結果が得られる可能性があります。

超伝導は、電子物質において電気抵抗が消え、磁場が物質から放出される状態である。超伝導体では、電子は弱い引力によってクーパー対に結合している。従来の超伝導体では、この引力は電子間のフォノンの交換によって引き起こされる。 ^[24]フォノン、つまりイオン格子の振動が超伝導に関係しているという証拠は、同位体効果、つまり超伝導臨界温度がイオンの質量に依存することによって得られる。

2019年、研究者らは初めて個々のフォノンを破壊することなく分離することに成功した。^[25]

また、液体と固体の界面の粘性力により、グラフェン表面上の液体の流れによって電流が生成される「フォノン風」を形成することも示されています。^{[26] [27]}

• Wikiquote のフォノンに関する引用
• 「解説：フォノン」。MITニュース | マサチューセッツ工科大学。2010年7月8日。 2024年10月12日閲覧。* 光学モードと音響モード
• Beatus, Tsevi; Tlusty, Tsvi; Bar-Ziv, Roy (2006 年 11 月). 「1 次元マイクロ流体結晶のフォノン」. Nature Physics . 2 (11): 743– 748. arXiv : 1008.1155 . doi :10.1038/nphys432. ISSN  1745-2481.
• Beatus, Tsevi; Tlusty, Tsvi; Bar-Ziv, Roy (2006 年 11 月). 「1 次元マイクロ流体結晶のフォノン」. Nature Physics . 2 (11): 743– 748. arXiv : 1008.1155 . doi :10.1038/nphys432. ISSN  1745-2473.Bar-Ziv Labの映画で。