フォノン散乱

フォノンは、物質中を移動する際に、いくつかのメカニズムを通じて散乱します。これらの散乱メカニズムは、ウムクラップ フォノン-フォノン散乱、フォノン-不純物散乱、フォノン-電子散乱、およびフォノン-境界散乱です。各散乱メカニズムは、対応する緩和時間の逆数である 緩和率 1/ によって特徴付けられます。${\displaystyle \tau}$

すべての散乱プロセスはマティーセンの法則を使用して考慮することができます。すると、複合緩和時間は次のように表すことができます。 ${\displaystyle \tau_{C}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{C}}}={\frac {1}{\tau _{U}}}+{\frac {1}{\tau _{M}}} +{\frac {1}{\tau _{B}}}+{\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}}$

パラメータ、、はそれぞれウムクラップ散乱、質量差不純物散乱、境界散乱、フォノン電子散乱によるものです。 ${\displaystyle \tau_{U}}$${\displaystyle \tau_{M}}$${\displaystyle \tau_{B}}$${\displaystyle \tau_{\text{ph-e}}}$

フォノン-フォノン散乱では、通常の過程（フォノン波数ベクトルを保存する過程、つまりN過程）の影響は無視され、ウムクラップ過程（U過程）が優先されます。通常の過程は に比例して変化し、ウムクラップ過程は に比例して変化するため、高周波ではウムクラップ散乱が優勢になります。^{[1] は}次のように表されます。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega^{2}}$ ${\displaystyle \tau_{U}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{U}}}=2\gamma ^{2}{\frac {k_{B}T}{\mu V_{0}}}{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{D}}}}$

ここで、はグルナイゼン非調和パラメータ、μはせん断弾性率、V ₀は原子あたりの体積、はデバイ周波数である。^[2]${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \omega_{D}}$

非金属固体の熱輸送は、通常、3フォノン散乱過程によって支配されていると考えられており、^[3] 4フォノンおよび高次の散乱過程の役割は無視できると考えられていました。最近の研究では、4フォノン散乱は、高温ではほぼすべての材料で重要になり、 ^[4]室温では特定の材料で重要になる可能性があることが示されています。^[5]ヒ化ホウ素における4フォノン散乱の予測された重要性は、実験によって確認されました。

質量差不純物散乱は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{M}}}={\frac {V_{0}\Gamma \omega ^{4}}{4\pi v_{g}^{3}}} }$

ここで、は不純物の散乱強度の尺度です。 は分散曲線に依存することに注意してください。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle {v_{g}}}$

境界散乱は低次元ナノ構造にとって特に重要であり、その緩和率は次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {v_{g}}{L_{0}}}(1-p)}$

ここで、はシステムの特性長さであり、は鏡面散乱フォノンの割合を表す。このパラメータは任意の表面に対して簡単には計算できない。二乗平均平方根粗さで特徴付けられる表面の場合、波長に依存する値は次のように計算できる。 ${\displaystyle L_{0}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(\lambda )=\exp {\Bigg (}-16{\frac {\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\eta ^{2}\cos ^{2}\theta {\Bigg )}}$

ここで、は入射角である。^[6]上式の指数には、という余分な係数が誤って含まれることがある。 ^[7]垂直入射では、完全な鏡面散乱（すなわち）には、任意の長さの波長、または逆に任意の長さの粗さが必要となる。純粋な鏡面散乱では、境界に関連した熱抵抗の増加は生じない。しかし、拡散限界では、緩和率は となる。 ${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \theta =0}$${\displaystyle p(\lambda )=1}$${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{B}}}={\frac {v_{g}}{L_{0}}}}$

この方程式はカシミール限界としても知られています。^[8]

これらの現象論的方程式は、多くの場合、フォノンの平均自由行程程度の特性サイズを持つ等方性ナノ構造の熱伝導率を正確にモデル化できます。任意の構造におけるすべての関連する振動モードにわたるフォノン境界相互作用を完全に捉えるには、通常、より詳細な計算が必要です。

材料が高濃度にドープされている場合、フォノン電子散乱も寄与する可能性があります。対応する緩和時間は次のように与えられます。

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{\text{ph-e}}}}={\frac {n_{e}\epsilon ^{2}\omega }{\rho v_{g}^{2}k_{B}T}}{\sqrt {\frac {\pi m^{*}v_{g}^{2}}{2k_{B}T}}}\exp \left(-{\frac {m^{*}v_{g}^{2}}{2k_{B}T}}\right)}$

パラメータは伝導電子濃度、εは変形ポテンシャル、ρは質量密度、m*は有効電子質量である。^{[2]通常、フォノン-電子散乱による}熱伝導率への寄与は無視できると想定されている^[要出典]。 ${\displaystyle n_{e}}$

• 格子散乱
• ウムクラップ散乱
• 電子縦方向音響フォノン相互作用