BCS理論

物理学において、バーディーン・クーパー・シュリーファー（BCS）理論（ジョン・バーディーン、レオン・クーパー、ジョン・ロバート・シュリーファーにちなんで名付けられた）は、ハイケ・カメリング・オンネスによる1911年の発見以来初の超伝導の微視的理論である。この理論は、超伝導をクーパー対の凝縮によって引き起こされる微視的効果として説明する。この理論は、原子核物理学において、原子核内の核子間の対形成相互作用を説明するためにも使用される。

これは 1957 年にバーディーン、クーパー、シュリーファーによって提唱され、彼らは1972 年にこの理論により ノーベル物理学賞を受賞しました。

1950 年代半ば、超伝導の理解が急速に進展した。そのきっかけとなったのは、1948 年の論文「超伝導の分子理論の問題について」^[1]で、フリッツ・ロンドンは、現象論的 ロンドン方程式は量子状態のコヒーレンスの結果である可能性があると提唱した。1953 年、ブライアン・ピパードは、浸透実験に触発されて、コヒーレンス長と呼ばれる新しいスケール パラメータによってロンドン方程式を修正することを提唱した。その後、ジョン・バーディーンは、1955 年の論文「超伝導体におけるマイスナー効果の理論」^[2]で、エネルギー ギャップのある理論では、このような修正が自然に発生すると主張した。鍵となる要素は、レオン・クーパーが 1956 年の論文「縮退フェルミ気体における束縛電子対」で、引力を受ける電子の束縛状態を計算した点であった。^[3]

1957年、バーディーンとクーパーはこれらの要素を組み合わせ、ロバート・シュリーファーとともにBCS理論と呼ばれる理論を構築した。この理論は1957年4月に「超伝導の微視的理論」という論文で初めて発表された。^[4]相転移が2次であること、マイスナー効果を再現すること、比熱と浸透深度の計算が1957年12月の論文「超伝導の理論」に掲載された。^[5]彼らはこの理論により1972年に ノーベル物理学賞を受賞した。

1986年、La-Ba-Cu-Oにおいて最高30 Kの高温超伝導が発見されました。 ^[6]その後の実験で、これまでの約30  Kという限界を大幅に上回る最高約130 Kの転移温度を持つ物質がさらに発見されました。転移温度が圧力に大きく依存することは実験的によく知られています。一般的に、BCS理論だけではこの現象を説明できず、他の効果が働いていると考えられています。^[7]これらの効果はまだ完全には理解されておらず、一部の物質では低温での超伝導を制御する可能性もあります。

十分に低い温度では、フェルミ面近くの電子はクーパー対の形成に対して不安定になる。クーパーは、そのような結合は、どんなに弱くても引力ポテンシャルがあれば起こることを示した。従来の超伝導体では、引力は一般に電子格子相互作用に起因する。しかし、BCS理論では、その起源に関係なく、ポテンシャルが引力であることのみを必要とする。BCSの枠組みでは、超伝導はクーパー対の凝縮から生じるマクロな効果である。これらにはボソン特性があり、十分に低い温度では、ボソンは大きなボーズ・アインシュタイン凝縮体を形成できる。超伝導は同時にニコライ・ボゴリュボフによってボゴリュボフ変換によって説明された。

多くの超伝導体では、電子間の引力相互作用（ペアリングに必要な）は、電子と振動する結晶格子（フォノン）との相互作用によって間接的に生じます。大まかに言えば、次のような図になります。

導体内を移動する電子は、格子内の近くの正電荷を引き寄せます。この格子の変形により、反対のスピンを持つ別の電子が、正電荷密度の高い領域に移動します。その後、2 つの電子は相関します。超伝導体にはこのような電子対が多数存在するため、これらの対は非常に強く重なり合い、非常に集合的な凝縮体を形成します。この「凝縮」状態では、1 つの対が破壊されると、凝縮体全体のエネルギーが変化します。単一の電子や単一の対だけではありません。したがって、1 つの対を破壊するために必要なエネルギーは、すべての対 (または 2 つ以上の電子) を破壊するために必要なエネルギーと関連しています。対形成によりこのエネルギー障壁が増加するため、導体内の振動原子 (十分に低い温度では小さい) からのキックは、凝縮体全体、または凝縮体内の個々の「メンバー ペア」に影響を与えるのに十分ではありません。したがって、電子は対になったままですべてのキックに抵抗し、電子の流れ全体 (超伝導体を通る電流) は抵抗を受けません。したがって、凝縮体の集団的挙動は超伝導に必要な重要な要素です。

BCS 理論は、電子間にクーロン反発力を克服できる引力があるという仮定から始まります。ほとんどの材料 (低温超伝導体) では、この引力は電子と結晶格子の結合によって間接的に生じます(上で説明したとおり)。しかし、BCS 理論の結果は引力相互作用の起源に依存しません。たとえば、クーパー対は、均一な磁場がフェッシュバッハ共鳴に調整されたフェルミオンの極低温ガスで観測されています。BCS の元の結果 (後述) は、 s 波超伝導状態を説明していました。これは低温超伝導体では一般的ですが、 d 波高温超伝導体 などの多くの非従来型超伝導体では実現されていません。

BCS 理論の拡張はこれらの他のケースを説明するために存在しますが、高温超伝導の観察された特徴を完全に説明するには不十分です。

BCS は、金属内部の (引力的に相互作用する) 電子システムの量子力学的多体状態の近似値を与えることができます。この状態は現在、BCS 状態として知られています。金属の通常の状態では、電子は独立して動きますが、BCS 状態では、電子は引力相互作用によってクーパー対に束縛されます。BCS 形式は、電子の引力の縮小ポテンシャルに基づいています。このポテンシャル内で、波動関数の変分仮説が提案されています。この仮説は、後に対の稠密極限で正確であることが示されました。フェルミオンの引力対の希薄領域と稠密領域間の連続クロスオーバーは未解決の問題であり、現在、極低温ガスの分野で大きな注目を集めています。

ジョージア州立大学のハイパー物理学のウェブサイトでは、BCS理論の重要な背景を次のように要約しています。^[8]

• フェルミ準位におけるバンドギャップの証拠（「パズルの重要なピース」と表現される）

臨界温度と臨界磁場の存在はバンドギャップを意味し、相転移を示唆したが、パウリの排他原理により、単一の電子が同じエネルギーレベルに凝縮することは禁じられている。このサイトでは、「伝導性の劇的な変化は、電子の挙動の劇的な変化を要求した」とコメントしている。おそらく、電子のペアは、異なる凝縮ルールに縛られ、同じ制限を持たないボソンのように振る舞う可能性がある。

• 臨界温度に対する同位体効果、格子相互作用を示唆

格子内のフォノンのデバイ周波数は、格子イオンの質量の平方根の逆数に比例する。最も豊富な天然水銀同位体である^202Hgを別の同位体である198Hgに^{置き換える}ことで、水銀の超伝導転移温度が実際に同じ依存性を示すことが示された。^[9]

• 一部の超伝導体では臨界温度付近で熱容量が指数関数的に増加する

臨界温度付近での熱容量の指数関数的な増加は、超伝導材料のエネルギー バンドギャップを示唆しています。超伝導バナジウムが臨界温度に向かって温められると、その熱容量はわずか数度で大幅に増加します。これは、エネルギー ギャップが熱エネルギーによって埋められていることを示唆しています。

• 測定されたエネルギーギャップが臨界温度に向かって減少する

これは、ある種の結合エネルギーが存在するものの、温度が上昇して臨界温度に近づくにつれて徐々に弱まるタイプの状況を示唆しています。結合エネルギーは、超伝導状態で結合している 2 つ以上の粒子またはその他の実体を示しています。これは、結合粒子 (具体的には電子対) の考えを裏付けるのに役立ち、上記と合わせて、対になった電子とそれらの格子相互作用の全体像を描くのに役立ちました。

BCS は、相互作用の詳細とは無関係ないくつかの重要な理論的予測を導き出しました。これは、以下に述べる定量的予測が電子間の十分に弱い引力に対して成り立ち、この最後の条件が多くの低温超伝導体で満たされるためです (いわゆる弱結合の場合)。これらは多数の実験で確認されています。

• 電子はクーパー対に束縛されており、これらの対は、それらを構成する電子のパウリの排他原理により相関している。したがって、対を切断するには、他のすべての対のエネルギーを変更しなければならない。これは、通常の金属（任意の少量のエネルギーを加えることで電子の状態を変更できる）とは異なり、単一粒子励起のエネルギーギャップがあることを意味する。このエネルギーギャップは低温で最大になるが、超伝導が存在しなくなる転移温度で消滅する。BCS理論は、ギャップが引力相互作用の強さとフェルミ準位での（通常相の）単一粒子状態密度とともにどのように大きくなるかを示す式を与える。さらに、フェルミ準位に電子状態がなくなる超伝導状態に入ると状態密度がどのように変化するかを説明する。エネルギーギャップは、トンネル実験^[10]と超伝導体からのマイクロ波の反射で最も直接的に観察される。
• BCS理論は、温度TにおけるエネルギーギャップΔの値が臨界温度T _cに依存することを予測する。零温度におけるエネルギーギャップの値と超伝導転移温度の値（エネルギー単位で表す）の比は、物質に依存せず普遍的な値^[11] をとる。臨界温度付近では、関係は^[11]に漸近する。これは、超伝導相転移が2次であること、超伝導相に質量ギャップがあること、および前年のBlevins、Gordy、Fairbankによる超伝導スズによるミリ波の吸収に関する実験結果に基づいて、前年にMJ Buckingham [12]が示唆した形である。$${\displaystyle \Delta (T=0)=1.764\,k_{\rm {B}}T_{\rm {c}},}$$ $${\displaystyle \Delta (T\to T_{\rm {c}})\approx 3.06\,k_{\rm {B}}T_{\rm {c}}{\sqrt {1-(T/T_{\rm {c}})}}}$$
• エネルギーギャップのため、低温では超伝導体の比熱は大きく（指数的に）抑制され、熱励起は残っていません。しかし、転移温度に達する前に、超伝導体の比熱は（転移温度のすぐ上で測定された）通常の伝導体の比熱よりもさらに高くなり、これら 2 つの値の比は普遍的に 2.5 で与えられることがわかります。
• BCS 理論は、マイスナー効果、すなわち超伝導体からの磁場の放出と、温度による浸透深さ (金属表面の下を流れる遮蔽電流の程度) の変化を正確に予測します。
• また、温度による臨界磁場（これを超えると超伝導体は磁場を放出できなくなり、常伝導状態になる）の変化も説明します。BCS 理論は、ゼロ温度での臨界磁場の値を、転移温度の値とフェルミ準位の状態密度に関連付けます。
• 最も単純な形では、BCSは電子-フォノン結合ポテンシャルVとデバイカットオフエネルギー_EDによって超伝導転移温度Tcを与えます：_[ 5 ^]ここでN（0）はフェルミ準位における電子状態密度です。詳細については、クーパー対を参照してください。 $${\displaystyle k_{\rm {B}}\,T_{\rm {c}}=1.134E_{\rm {D}}\,{e^{-1/N(0)\,V}},}$$
• BCS理論は同位体効果を再現する。同位体効果とは、与えられた超伝導材料の臨界温度がその材料に使用されている同位体の質量の平方根に反比例するという実験的観察である。同位体効果は1950年3月24日に2つのグループによって報告された。彼らはそれぞれ異なる水銀同位体を用いて独立にこの効果を発見したが、発表の数日前にアトランタで開催されたONR会議で互いの結果を知った。2つのグループとは、エマニュエル・マクスウェル^[13]とCA・レイノルズ、B・セリン、WH・ライト、LB・ネスビット^[14]である。同位体の選択は通常、材料の電気的特性にほとんど影響を与えないが、格子振動の周波数には影響を与える。この効果は、超伝導が格子の振動に関連していることを示唆している。これはBCS理論に組み込まれており、格子振動によってクーパー対の電子の結合エネルギーが得られる。
• リトル・パークス実験^[15] -クーパー対形成原理の重要性を示す最初の^{[要出典]の1つ。}

• 二ホウ化マグネシウム、BCS超伝導体と考えられている
• 準粒子
• リトル・パークス効果は、クーパー対形成原理の重要性を示す最初の^[16]兆候の1つです。

• クーパー、レオン N. (1956)。 「縮退フェルミガス中の束縛電子対」。フィジカルレビュー。104 (4): 1189–1190。Bibcode :1956PhRv..104.1189C。doi : 10.1103/PhysRev.104.1189。
• Bardeen, J.; Cooper, LN; Schrieffer, JR (1957). 「超伝導の微視的理論」. Physical Review . 106 (1): 162–164. Bibcode :1957PhRv..106..162B. doi : 10.1103/PhysRev.106.162 .
• Bardeen, J.; Cooper, LN; Schrieffer, JR (1957). 「超伝導の理論」. Physical Review . 108 (5): 1175–1204. Bibcode :1957PhRv..108.1175B. doi : 10.1103/PhysRev.108.1175 .

• ジョン ロバート シュリーファー、超伝導理論、(1964)、ISBN 0-7382-0120-0 
• マイケル・ティンカム著『超伝導入門』ISBN 0-486-43503-2 
• Pierre-Gilles de Gennes、『金属と合金の超伝導』、ISBN 0-7382-0101-4。 
• クーパー、レオン N ; フェルドマン、ドミトリ、編 (2010)。BCS : 50 Years (書籍)。ワールドサイエンティフィック。ISBN 978-981-4304-64-1。
• シュミット、ヴァディム・ヴァシレヴィッチ。超伝導体の物理学：基礎と応用入門。Springer Science & Business Media、2013年。

• BCS の Hyperphysics ページ
• ダンスのアナロジー ボブ・シュリーファーによる BCS 理論の説明 (音声録音) のWayback Machineに 2011-06-29 にアーカイブされました
• 平均場理論: ハートリー・フォックと BCS、E. パヴァリーニ、E. コッホ、J. ファン デン ブリンク、G. サワツキー著: 量子材料: 実験と理論、ユーリッヒ 2016、ISBN 978-3-95806-159-0