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ウィグナー・ザイツセルは、ユージン・ウィグナーとフレデリック・ザイツにちなんで名付けられ、ボロノイ分解を結晶格子に適用して構築された基本的なセルです。結晶学における結晶材料の研究に使用されます。
結晶のユニークな特性は、その原子が格子と呼ばれる規則的な 3 次元配列に配置されていることです。結晶材料に帰せられる特性はすべて、この高度に整列した構造に由来しています。このような構造は、離散的な 並進対称性を示します。このような周期的なシステムをモデル化して研究するには、対称性を記述し、この対称性に起因する材料特性について結論を導き出すための数学的な「ハンドル」が必要です。ウィグナー・ザイツ セルは、これを実現するための手段です。
ウィグナー・ザイツセルはプリミティブセルの一例で、正確に 1 つの格子点を含む単位セルです。任意の格子に対して、プリミティブセルの数は無限に存在します。ただし、任意の格子に対してウィグナー・ザイツセルは 1 つしかありません。これは、他のどの格子点よりもその格子点に近い空間内の点の軌跡です。
ウィグナー・ザイツセルは、他のプリミティブセルと同様に、格子の離散並進対称性の基本領域です。運動量空間における逆格子のプリミティブセルはブリルアンゾーンと呼ばれます。
概要
背景
ボロノイ分解の概念はピーター・グスタフ・ルジューン・ディリクレによって研究され、ディリクレ領域という名前がつきました。さらにエフグラフ・フェドロフ(フェドロフ平行面体)、ゲオルギー・ボロノイ(ボロノイ多面体)、[1] [2]、ポール・ニグリ( Wirkungsbereich )からも貢献がありました。[3]
凝縮系物理学への応用は、ユージン・ウィグナーとフレデリック・ザイツが1933年の論文で初めて提案したもので、この論文では、ナトリウム元素中の自由電子に対するシュレーディンガー方程式を解くために使用されました。[4]彼らは、ナトリウム中のウィグナー・ザイツセルの形状（切頂八面体）を等体積の球体として近似し、球体の表面でを必要とする周期境界条件を使用してシュレーディンガー方程式を正確に解きました。ウィグナー・ザイツセルの非球形の性質も考慮した同様の計算が、後にジョン・C・スレーターによって行われました。[5]
3 次元空間を敷き詰める位相的に異なる多面体は 5 つしかありませんℝ 3 。これらは平行面体と呼ばれ、高次元などで数学的な関心の対象となっています。[6]これら 5 つの平行面体は、ジョン・ホートン・コンウェイとニール・スローンが示唆した射影平面の概念を使用して 3 次元格子を分類するために使用できます。[7]ただし、位相的な分類では、任意のアフィン変換が同一のクラスにつながると見なしますが、より具体的な分類では、空間を敷き詰める平行な辺を持つ 24 の異なるクラスのボロノイ多面体につながります。[3]たとえば、直方体、直方体、立方体は同じ位相クラスに属しますが、辺の比率が異なることで区別されます。ブラヴェ格子の 24 種類のボロノイ多面体のこの分類は、ボリス・ドローネによって最初に示されました。[8]
意味
格子点の周りのウィグナー・ザイツセルは、他の格子点よりもその格子点に近い空間内の点の軌跡として定義されます。 [9]
ウィグナー・ザイツセルはプリミティブセルであることが数学的に証明されています。これは、セルが隙間や穴を残さずに直接空間全体に広がることを意味し、この特性はテッセレーションとして知られています。
細胞の構築
ウィグナー・ザイツセルに具体化された一般的な数学的概念は、より一般的にはボロノイセルと呼ばれ、与えられた点群に対して平面をこれらのセルに分割したものはボロノイ図として知られています。
セルは、最初に格子点を選択することによって選択できます。点を選択した後、近くのすべての格子点に線が引かれます。各線の中間点には、最初の一連の線に垂直な別の線が引かれます。このようにして囲まれた最小の領域は、ウィグナー・ザイツ原始セルと呼ばれます。
3 次元格子の場合も手順は同様ですが、手順 2 では垂直線を描く代わりに、格子点間の線の中間点に垂直平面を描きます。
すべてのプリミティブ セルの場合と同様に、格子内のすべての領域または空間は Wigner–Seitz セルで埋めることができ、隙間は生じません。
近くの格子点は、囲まれた面積または体積がプリミティブセルの正しい面積または体積になるまで継続的に検査されます。あるいは、格子の基底ベクトルが格子削減を使用して削減される場合は、設定された数の格子点のみを使用する必要があります。[10] 2次元では、原点と頂点を共有する4つの単位セルを構成する格子点のみを使用する必要があります。3次元では、原点と頂点を共有する8つの単位セルを構成する格子点のみを使用する必要があります。
複合格子
複合格子（基底に複数のベクトルを持つ結晶）の場合、各格子点は複数の原子を表します。最も近い格子点ではなく、最も近い原子に従ってさらにボロノイ分解を行うことで、各ウィグナー・ザイツセルをサブセルに分解できます。[12]たとえば、ダイヤモンドの結晶構造には2つの原子基底が含まれています。ダイヤモンドでは、炭素原子は四面体sp 3結合を持ちますが、四面体は空間をタイル張りしないため、ダイヤモンドの結晶構造のボロノイ分解は実際には三面体切頂四面体ハニカムです。[13]もう1つの例は、ボロノイ分解をA15相の原子に適用することで、ウィア・フェラン構造の多面体近似を形成します。
対称
ウィグナー・ザイツセルは、常に基礎となるブラヴェ格子と同じ点対称性を持ちます。[9]たとえば、立方体、切頂八面体、菱形十二面体は点対称性 O hを持ちます。これは、これらを生成するために使用されるそれぞれのブラヴェ格子がすべて、O h点対称性を持つ立方格子システムに属しているためです。
ブリルアンゾーン
実際には、ウィグナー・ザイツセル自体が直接空間の記述に使用されることはほとんどなく、代わりに従来の単位セルが通常使用されます。ただし、同じ分解は逆格子空間に適用する場合に非常に重要です。逆格子空間のウィグナー・ザイツセルはブリルアンゾーンと呼ばれ、物質が導体、半導体、絶縁体のいずれになるかに関する情報が含まれています。
参照
参考文献
- ^ ジョルジュ、ボロノイ(1908-07-01)。 「四角形の理論理論を継続的に応用するためのパラメータを新たに開発しました。記憶を呼び起こします。基礎的な知識を研究します。」Journal für die reine und angewandte Mathematik (フランス語)。1908年（134）。 Walter de Gruyter GmbH: 198–287。土井：10.1515/crll.1908.134.198。ISSN 0075-4102。S2CID 118441072。
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