キャリア散乱

欠陥の種類には、原子空孔、吸着原子、段差、キンクなどがあり、これらは、材料の有限サイズが結晶の不連続性を引き起こすため、表面で最も頻繁に発生します。表面欠陥であれバルク欠陥であれ、すべての種類の欠陥に共通するのは、バルクとは異なる特定の電子エネルギーレベルを持つダングリングボンドを生成することです。この違いは、表面のすぐ外側のイオンコアが失われることによって引き起こされる電子ポテンシャルエネルギーの変化により、これらの状態を周期的なブロッホ波で記述できないために発生します。したがって、これらは局所的な状態であり、電子エネルギーを適切に記述できるようにシュレーディンガー方程式の個別の解が必要です。周期性が途切れると、欠陥散乱による導電性が低下します。

ダングリングボンドのエネルギーレベルを決定するより単純で定性的な方法は、ハリソン図を使用することです。^{[1] [2]}金属は方向性のない結合と小さなデバイ長を持ち、その荷電特性により、ダングリングボンドが存在するとみなされることさえあるとしても重要ではありません。半導体は誘電体であるため、電子は欠陥エネルギー状態を感じ、そこに閉じ込められます。これらの状態のエネルギーレベルは、固体を構成する原子によって決まります。図1は、元素半導体Siのハリソン図を示しています。左から右に、s軌道とp軌道の混成によりsp ³結合が促進され、複数のsp ³ Si-Si二量体が結合して固体を形成すると、伝導帯と価電子帯が定義されます。固体/真空界面の各原子にあるような空孔が存在すると、少なくとも 1 つの sp ³結合が壊れ、そのエネルギーは図 1 に示すように単一の自己混成 Si 原子のエネルギーに等しくなります。このエネルギーは、Si のバンドギャップのほぼ中央、価電子帯より約 0.55 eV 上に相当します。確かにこれは最も理想的なケースですが、結合の不活性化 (下記参照) や表面再構築などが発生すると状況は異なります。実験的には、機器の感度や欠陥密度が十分に高い場合、これらの状態のエネルギーは、たとえば吸収分光法やX 線光電子分光法を使用して決定できます。

GaAs などの化合物半導体には、バンド端に近いダングリングボンド状態があります (図 2 を参照)。結合がますますイオン性になるにつれて、これらの状態はドーパントとして機能することさえあります。これが、高い蒸気圧のために Ga ダングリングボンド密度が高くなり、N 空孔が多くなる GaN p 型ドーピングのよく知られた困難の原因です。これらの状態は伝導帯端に近いため、ドナーとして機能します。p 型アクセプタ ドーパントが導入されると、それらは直ちに N 空孔によって補償されます。これらの浅い状態の場合、その取り扱いは、陰イオン空孔または陽イオン空孔のいずれの場合についても、次のように水素原子に類似していると考えられることがよくあります (陽イオン空孔の場合は正孔有効質量 m*、陰イオン空孔の場合は電子 m*)。結合エネルギー E _c -E _dbは、 U=-q ² /(4πεε _r r) がダングリングボンドを占める電子とそのイオンコア間の静電ポテンシャル、ε が自由空間誘電率定数、ε _rが比誘電率、r が電子とイオンのコアの距離であるときです。電子の並進エネルギー KE=-U/2 という簡略化は、中心対称ポテンシャルのビリアル定理によるものです。ボーア模型で説明されているように、r は量子化の対象です。 電子の運動量は p=mv=h/λ であるため、 およびと なります。この処理では、欠陥がいずれかのバンドエッジから離れる傾向があるため、精度が失われます。
${\displaystyle E_{c}-E_{db}=U+KE={\frac {1}{2}}U\;\;(1)}$

${\displaystyle n\lambda =2\pi r\;\;(2)}$

${\displaystyle KE={\frac {p^{2}}{2m^{*}}}={\frac {h^{2}n^{2}}{8m^{*}\pi ^{2}r^{2}}}=-{\frac {U}{2}}={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon \varepsilon _{r}r}}\;\;(3)}$

${\displaystyle r={\frac {4\pi \hbar ^{2}n^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}{q^{2}m^{*}}}\;\;( 4)}$

${\displaystyle E_{c}-E_{db}={\frac {U}{2}}={\frac {m^{*}q^{4}}{8h^{2}(\varepsilon \varepsilon _{r})^{2}}}\;\;(5)}$

ダングリングボンドのエネルギーレベルは、欠陥付近の電子を記述する波動関数の固有値です。キャリア散乱の一般的な考察では、これはフェルミの散乱周波数の黄金律の最終状態に対応します。H ' は相互作用パラメータ、ディラックのデルタ関数δ(E _f -E _{i ) は}弾性散乱を示します。1/τ = Σ _k',k S _k'kという単純な関係により、σ = ne ² τ /m* およびマティーセンの法則と組み合わせて他の散乱プロセスを組み込むと、この式は材料の輸送特性を特徴付けるのに役立つ式になります。
${\displaystyle S_{k'k}={\frac {2\pi }{\hbar }}|<f|H'|i>|^{2}\delta (E_{f}-E_{i})\;\;(6)}$

_{S k'k}の値は、主に相互作用パラメータ H' によって決まります。この項は、浅い状態と深い状態のどちらを考慮するかによって異なります。浅い状態の場合、H' は再定義されたハミルトニアン H=H _o +H' の摂動項で、H _oの固有値エネルギーは E _iです。この場合の行列は^[3] です。 ここで、k' は最終状態の波動ベクトルで、欠陥密度がバンドを形成しないほど小さいため (~<10 ¹⁰ /cm ² )、その値は 1 つしかありません。フーリエ周期点電荷のポアソン方程式を使用すると、ダング リングボンドからのポテンシャルのフーリエ係数 V _q =e/(q ² εε _r V) が得られます。ここで、V は体積です。この結果は、 q _{s が}電荷遮蔽によるデバイ長の波動ベクトル補正値です。次に、散乱周波数は、 n が体積欠陥密度であることを示します。|k|=|k'| を利用して積分すると、 が得られます。 欠陥が周期的でない場合は、ダングリングボンドのポテンシャルがフーリエ級数で表されるため、上記の処理はうまくいきません。式 (10) の係数 n で合計を簡略化することは、欠陥密度が低い場合にのみ可能でした。すべての原子 (またはおそらく他のすべての原子) が 1 つのダングリングボンドを持つ場合 (これは再構成されていない表面では極めて妥当です)、k' の積分も実行する必要があります。相互作用行列の定義に摂動法を使用しているため、上記では H' の値が小さい、つまりバンド端に近い浅い欠陥状態を想定しています。幸い、フェルミの黄金律自体は非常に一般的なものであり、伝導電子と欠陥の相互作用を十分に理解して、それらの相互作用を H' に代わる演算子にモデル化できれば、深い状態の欠陥にも使用できます。
${\displaystyle <f|H'|i>\equiv M_{k'k}={\frac {1}{V}}\int d{\bar {r}}H'e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}')}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}\int d{\bar {r}}H_{\bar {q}}e^{i{\bar {r}}({\bar {k}}-{\bar {k}}'+{\bar {q}})}={\frac {1}{V}}\sum _{\bar {q}}H_{\bar {q}}\delta _{{\bar {k}}-{\bar {k}}'},_{\bar {q}}={\frac {1}{V}}H_{\bar {q}}\;\;(7)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}V({\bar {r}})={\frac {-e\delta ({\bar {r}})}{\varepsilon \varepsilon _{r}}}= -\sum _{\bar {q}}{\bar {q}}^{2}V_{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}= {\frac {-e}{V\varepsilon \varepsilon _{r}}}\ \sum _{\bar {q}}e^{i{\bar {q}}{\bar {r}}}\;\; (8)}$

${\displaystyle H_{\bar {q}}=-eV_{\bar {q}}={\frac {-e^{2}}{{\bar {q}}^{2}\varepsilon \varepsilon _ {r}V}}={\frac {-e^{2}}{({\bar {q}}^{2}+q_{s}^{2})\バレプシロン \バレプシロン_{r}V}}\;\;(9)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{{\bar {k}}',{\bar {k}}}S_{{\bar {k}}'{\bar { k}}}=n\sum _{\bar {k}}{\frac {2\pi }{\hbar }}{\frac {e^{4}\delta (E_{\bar {k}}- E_{{\バー{k}}'})}{\varepsilon \varepsilon _{r}V[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2}}}={\frac {ne^{4}}{4\pi ^{2}\hbar \varepsilon \varepsilon _{r}}}\int \int \int dkd\theta d\phi {\frac {k^{2}sin\theta \;\delta (E_{\bar {k}}-E_{{\bar {k}}'})}{[{\bar {q}}^{2}-q_{s}^{2}]^{2} }}\;\;(10)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {ne^{4}}{2\pi {\sqrt {2m^{*}(E_{c}-E_{db})} }\hbar ^{2}\varepsilon \varepsilon _{r}}}\left({\frac {1}{q_{s}^{2}}}-{\frac {1}{q_{s}^{2}+{\frac {8m^{*}(E_{c}-E_{db})}{\hbar ^{2}}}}\right)\; \;(11)}$

これらのダングリングボンドが電気輸送に及ぼす影響の程度は、実験的にかなり容易に判定できます。導体 (図 3) の両端に電圧を流すと、抵抗と定義された形状でサンプルの導電率を判定できます。前述のように、σ = ne ² τ /m* であり、τ はフェルミ準位の位置と材料のバンド構造から n と m* がわかれば判定できます。残念ながら、この値にはフォノンなどによる他の散乱メカニズムの影響が含まれています。この測定値を式 (11) と一緒に使用すると有用になります。式 (11) では、1/τ 対 n のプロットの傾きから E _c -E _dbを計算でき、切片から欠陥散乱プロセス以外のすべての散乱プロセスからの 1/τ を判定できます。これには、フォノン散乱 (他の、おそらく無視できるプロセスの中でも) が欠陥濃度に依存しないという仮定が必要です。
同様の実験では、導体の温度を下げるだけで（図 3）、フォノン密度が無視できるほど減少し、欠陥が優勢な抵抗率を実現できます。この場合、σ = ne ² τ /m* を使用して、欠陥散乱の τ を直接計算できます。

表面欠陥は、常に原子で「不活性化」して対応するエネルギー レベルを意図的に占有し、伝導電子がこれらの状態に散乱できないようにすることができます (式 (10) の n を効果的に減らします)。たとえば、MOSFETのチャネル/酸化物インターフェイスでの水素による Si 不活性化 (図 4) は、約 10 ¹⁰ cm ^{−2 の}欠陥密度を最大 12 倍まで減らすのに役立つ一般的な手順です^[4]。これにより、移動度が向上し、スイッチング速度が向上します。トンネル障壁を減らす中間状態が除去されると、ゲート リーク電流も減少し、ゲート容量と過渡応答が増加します。その結果、Si sp ³結合が完全に満たされます。ここでの明らかな要件は、半導体が不活性化原子を酸化する能力、つまり、半導体の電子親和力χ と原子のイオン化エネルギーE _{Iで、E c} -E _db + χ > E _Iであることです。

ここで、フォノン と呼ばれる格子変形によるキャリア散乱について考えます。このような伝播波が生成する体積変位 を考えます。この体積変位は、結果として時間依存の歪みを生じます。ここでは、単純な平面波を使用してフォノン伝播 を記述します。原子が平衡位置から変位すると、一般に電子バンド構造が変化します (図 5)。散乱については、エネルギー ~E _CBの伝導帯の電子が対象となります。経験的パラメータ Z _{DP は}変形ポテンシャルと呼ばれ、電子-フォノン結合の強さを表します。これにフォノン分布 (ボーズ-アインシュタイン分布、N _q ) を掛けると、総変形ポテンシャルが得られます。${\displaystyle \デルタV_{0}}$${\displaystyle \Delta V_{0}/V_{0}=\bigtriangledown u(r,t)}$${\displaystyle u(r,t)\propto exp\pm (iqr-i\omega t)}$
${\displaystyle \Delta E_{CB}={\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}\Delta V_{0}=V_{0}{\frac {\mathrm {d} E_{CB}}{\mathrm {d} V_{0}}}{\frac {\Delta V_{0}}{V_{0}}}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t)\;\;(12)}$

${\displaystyle \Delta E_{CB}^{Tot}={\widehat {H}}_{int}=Z_{DP}\cdot \bigtriangledown u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\;\;(13)}$

(ルートの理由は以下で明らかになります)。ここで、+ は散乱イベント中のフォノン放出に対応し、- はフォノン吸収に対応します。注意:横方向フォノンの場合、縦方向フォノンとの相互作用のみがゼロではありません。したがって、完全な相互作用行列は、クロネッカーデルタが運動量保存を強制し、電子波動関数 (最終状態、および初期状態、) も平面波であると仮定することによって生じる場所です。 ${\displaystyle q\perp u(r,t)}$
${\displaystyle <k'|{\widehat {H}}_{int}|k>=\pm iqZ_{DP}u(r,t){\sqrt {N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}}}\delta _{k',k\pm q}\;\;(14)}$
${\displaystyle <k'|}$${\displaystyle |k>}$

フェルミの黄金律を用いると、低エネルギー音響フォノンの散乱率を近似することができる。これらのフォノンの相互作用行列は、フォノン角周波数 ω _q =cq、体積 V、固体密度 ρ、およびフォノン群速度 c を用いている。^[5]これを式 6 に代入すると、となる。N _q >>1、ħω<<kT、g(E') ~ g(E) (伝導電子エネルギーは一般に ħω よりもはるかに大きく、g(E) にはファン・ホーベ特異点がないため、これは一般に 3D 結晶に当てはまる) という仮定の下、散乱率を得る。ここで、g(E)は、最終的な答えを得るために放物線分散を伴う 3 次元解が使用された 電子状態密度である。
${\displaystyle |<k'|{\widehat {H}}_{int}|k>|^{2}=Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\;\;(15)}$

${\displaystyle S_{k'k}^{Ac}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]\;\;(16)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Ac}=\sum _{k}S_{k\pm q,k}^{Ac}}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega _{q}}{2V\rho c^{2}}}({\frac {kT}{\hbar \omega _{q}}})\sum _{k}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}]}$
${\displaystyle ={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {kT}{2V\rho c^{2}}}V\times g(E)}$
${\displaystyle ={\frac {\sqrt {2}}{\pi }}{\frac {Z_{DP}^{2}m^{*{\frac {3}{2}}}kT}{\rho \hbar ^{4}c^{2}}}{\sqrt {E-E_{CB}}}\;\;(17)}$

通常、振動分散関係の光学分岐におけるフォノンは kT 以上のオーダーのエネルギーを持つため、ħω<<kT および N _q >>1 の近似を行うことはできません。しかし、複雑なフォノン分散への対処を迂回する合理的な方法は、固体には 1 つのフォノン モードしか存在しないというアインシュタイン モデルを使用することです。光学フォノンの場合、ω(q) の傾きの変化が非常に小さいため、この近似で十分であることが判明しており、したがって、ħω(q) ≅ ħω は定数であると主張できます。したがって、N _qも定数です (T にのみ依存)。最後の近似 g(E')=g(E±ħω) ~ g(E) は、ħω ~ E であり回避策がないため行うことはできませんが、τ の合計に追加される複雑さは最小限です 。 合計はE'における状態密度になり、 ħω(q)≅ħωにより合計からボーズ・アインシュタイン分布を取り除くことができます。
${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=\sum _{k'}S_{k'k}^{Op}={\frac {2\pi }{\hbar }}Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{2V\rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})\sum _{k'}\delta _{k',k\pm q}\delta [E(k')-E(k)\pm \hbar \omega ]}$
${\displaystyle =Z_{DP}^{2}{\frac {\hbar \omega }{8\pi ^{2}\hbar \rho c^{2}}}(N_{q}+{\frac {1}{2}}\pm {\frac {1}{2}})g(E\pm \hbar \omega )\;\;(18)}$