マルチスケールグリーン関数

マルチスケールグリーン関数 (MSGF)は、数学方程式を解くための 古典的なグリーン関数(GF) 手法^{[ 1 ]}を一般化および拡張したものです。MSGF 手法の主な応用は、ナノ材料のモデリングです。^{[ 2 ]}これらの材料は非常に小さく、数ナノメートル程度の大きさです。ナノ材料の数学的モデリングには特別な技術が必要であり、現在では独立した科学分野として認識されています。^{[ 3 ]} ナノ材料の機械的および物理的特性を研究するために、印加された静的または時間依存の力に対する結晶内の原子の変位を計算するには、数学モデルが必要です。ナノ材料のモデルの特定の要件の 1 つは、モデルがマルチスケールであり、異なる長さスケールをシームレスにリンクする必要があることです。^{[ 4 ]}

グリーン関数(GF) は、もともとイギリスの数理物理学者ジョージ・グリーンによって1828 年に演算子方程式を解くための一般的な手法として定式化されました。^{[ 1 ]}これは 過去 200 年近くにわたって数理物理学 で広く使用され、さまざまな分野に応用されています。 ^{[ 1 ] [ 5 ]}多体理論やラプラス方程式 など、GF のいくつかの応用に関するレビューは Wikipedia で入手できます。GF に基づく手法は、フォノン^{[ 6 ]} 、電子バンド構造^{[ 7 ]}、弾性静力学^{[ 5 ]}など、材料中のさまざまな物理プロセスのモデリングに使用されます。

MSGF法は、ナノ材料の数学的モデリングのための比較的新しいGF技術です。数理モデルは、材料の機械的特性をシミュレートするために、印加された力に対する材料の応答を計算するために使用されます。MSGF技術は、ナノ材料のモデリングにおいて異なる長さスケールをリンクします。^{[ 2 ] [ 8 ]} ナノ材料は原子レベルの寸法であり、ナノメートルの長さスケールでモデル化する必要があります。たとえば、幅約5ナノメートルのシリコンナノワイヤには、幅方向にわずか10～12個の原子が含まれています。別の例としては、グラフェン^{[ 9 ]}や多くの新しい2次元（2D）固体^{[ 10 ]}があります。これらの新しい材料は、厚さがわずか1つまたは2つの原子であるため、極限の薄さです。このような材料の特性は、原子配列の離散性と全体の寸法によって決定されるため、マルチスケールモデリングが必要です。 ^{[ 2 ] [ 4 ]}

MSGF法は、原子スケールでの印加力に対する材料の応答と巨視的スケールでの応答を関連付けるという意味で、マルチスケール法です。巨視的スケールでの材料の応答は、固体の連続体モデルを用いて計算されます。連続体モデルでは、固体の離散的な原子構造が連続体として平均化されます。ナノ材料の特性は、原子構造だけでなく全体の寸法にも影響を受けます。また、ナノ材料が埋め込まれている母材の巨視的構造にも影響を受けます。MSGF法は、このような複合系をモデル化するために使用されます。

MSGF法は、空孔、格子間原子、異種原子などの格子欠陥を含む結晶の挙動を解析するためにも使用されます。これらの格子欠陥は材料技術において重要な役割を果たすため、その研究は興味深いものです。^{[ 11 ] [ 12 ]} 格子に欠陥が存在すると、ホスト原子が元の位置からずれたり、格子が歪んだりします。これは、例として1次元格子について図1に示されています。欠陥付近のこの歪みを計算するには原子スケールのモデリングが必要ですが、^{[ 13 ] [ 14 ]}欠陥から遠く離れた歪みを計算するには連続体モデルが使用されます。MSGFはこれら2つのスケールをシームレスにリンクします。

ナノ材料の MSGF モデルは、材料のマルチ粒子とマルチスケールを考慮しています。^{[ 8 ]}これは、1973 年に英国の原子力研究所ハーウェルで最初に定式化された格子静力学グリーン関数 (LSGF) 法の拡張です。 ^{[ 11 ] [ 15 ]} 文献では、ハーウェル アプローチまたはテワリー法とも呼ばれています。^{[ 16 ] [ 17 ]} LSGF 法は、多粒子システムのモデリングのための分子動力学 (MD) 法を補完します^。LSGF法^は、 Born von Karman (BvK) モデルの使用に基づいています。^{[ 6 ] [ 19 ]} さまざまな格子構造と欠陥に適用できます。^{[ 11 ] [ 17 ] [ 20 ]} MSGF法はLSGF法の拡張版であり、多くのナノ材料や2D材料に適用されている^{[ 2 ]}

原子レベルでは、結晶または結晶性固体は、幾何学的格子上の離散的な位置にある相互作用する原子の集合として表されます。^{[ 19 ]}完全な結晶は、規則的で周期的な幾何学的格子で構成されています。完全な格子は並進対称性を持ち、これはすべての単位セルが同一であることを意味します。無限であると仮定される完全な周期格子では、すべての原子が同一です。平衡状態では、各原子は格子位置にあると仮定されます。他の原子による任意の原子への力はちょうど相殺されるため、各原子への正味の力はゼロになります。これらの条件は、原子が平衡位置からずれる歪んだ格子では破れます。^{[ 15 ]} 格子の歪みは、外部から加えられた力によって引き起こされる可能性があります。格子は、格子に欠陥を導入したり、平衡配置を乱して格子点に力を及ぼす原子を移動させたりすることによっても歪む可能性がある。これは図1に示されている。この数理モデルの目的は、結果として生じる原子変位の値を計算することである。

MSGF法におけるGFは、格子の全エネルギーを最小化することによって計算される。^{[ 15 ]}調和近似における原子変位の無限テイラー級数で表される格子のポテンシャルエネルギーは以下の通りである。

${\displaystyle W=-\sum _{L,a}f_{a}(L)u_{a}(L)+{\frac {1}{2}}\sum _{L,a}\sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{a}(L)u_{b}(L')\qquad \qquad (1)}$

ここで、LとL ′は原子を表し、aとbはデカルト座標を表し、uは原子変位を表し、−fとKはテイラー級数の第1および第2係数である。これらは^{[ 1 ]}で定義される。

${\displaystyle f_{a}(L)=-{\frac {\partial W}{\partial u_{a}(L)}},\qquad \qquad (2)}$

そして

${\displaystyle K_{ab}(L,L')={\frac {\partial ^{2}W}{\partial u_{a}(L)\,\partial u_{b}(L')}},\qquad \qquad (3)}$

ここで、導関数は変位がゼロのときに評価されます。f の定義には、便宜上、負の符号が導入されています。したがって、f ( L ) は原子 L における力を表す 3 次元ベクトルです。その 3 つのデカルト成分は f _a (L)で表され、 a = x、y、またはzです。同様に、K (L,L') は 3x3 行列であり、原子 L と L' の間の力定数行列と呼ばれます。その9つの要素は、 a、b = x、y、またはzに対してK _ab ( L、L ′ ) で表されます。

平衡状態では、エネルギー W は最小値になります。^{[ 8 ]}したがって、各u に関する W の一次導関数はゼロでなければなりません。これにより、式 (1) から次の関係が得られます。

${\displaystyle \sum _{L',b}K_{ab}(L,L')u_{b}(L')=f_{a}(L).\qquad \qquad (4)}$

直接代入により、式(4)の解は次のように書けることが示される。

${\displaystyle u_{a}(L)=\sum _{L',b}G_{ab}(L,L')f_{b}(L')\qquad \qquad (5)}$

ここで、Gは次の反転関係によって定義される。

${\displaystyle \sum _{L'',b''}K_{ab''}(L,L'')G_{b''b}(L'',L')=\delta (a,b)\delta (L,L').\qquad \qquad (6)}$

式(6)において、δ ( m , n )は2つの離散変数mとnの離散デルタ関数である。連続変数に対するディラックのデルタ関数と同様に、 m = nの場合は1、それ以外の場合は0と定義される。^{[ 6 ]}   

式（4）～（6）は、行列表記で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Ku&=f&&(7)\\u&=Gf&&(8)\\{\text{and }}G&=K^{-1}&&(9)\end{aligned}}}$

上記の式における行列KとG は3 N  ×  3 Nの正方行列であり、uとfは 3 N次元の列ベクトルです。ここで、N は格子内の原子の総数です。行列Gは多粒子 GF であり、格子静力学グリーン関数 (LSGF) と呼ばれます。^{[ 15 ]} Gが既知であれば、式 (8) を使用してすべての原子の原子変位を計算できます。

モデリングの主な目的の 1 つは、印加された力fによって引き起こされる原子の変位uを計算することです。 ^{[ 21 ]}変位は、原則として式 (8) で与えられます。ただし、これには 3N x 3N の行列Kの逆行列計算が含まれます。実用的な計算では N ~ 10,000 ですが、より現実的なシミュレーションでは、100 万が望ましいです。このような大きな行列の逆行列計算は計算量が多く、u の計算には特別な手法が必要です。規則的な周期格子の場合、LSGF はそのような手法の 1 つです。これは、G をそのフーリエ変換で計算することから成り、フォノン GF の計算に似ています。^{[ 6 ]}

LSGF法は現在、MSGF法にマルチスケール効果を含めるように一般化されています。^{[ 8 ]} MSGF法は、長さスケールをシームレスにリンクすることができます。この特性は、GF法とMD法を組み合わせたハイブリッドMSGF法の開発に利用され、半導体中の量子ドットなどの非対称ナノインクルージョンのシミュレーションに使用されています。^{[ 22 ]}

欠陥のない完全な格子の場合、MSGFはLSGFの原子スケールを連続体モデルを通して巨視的スケールに直接リンクします。完全な格子は完全な並進対称性を持つため、すべての原子は等価です。この場合、任意の原子を原点として選択でき、G(L,L')は次 のように定義される単一のインデックス(L'-L) ^{[ 6 ]で表すことができます。}

${\displaystyle G(L,L')=G(0,L-L')=G(L'-L)\qquad \qquad (10)}$

式(10)を満たすG ( L )の漸近極限は、R ( L )の値が大きい場合、 ^{[ 8 ]}で与えられる。

${\displaystyle \lim _{R(L)\to \infty }[G(0,L)]\rightarrow G_{c}(x)+O(1/x^{4})\qquad \qquad (11)}$

ここで、x = R ( L ) は原子Lの位置ベクトルであり、G _c ( x ) は連続体グリーン関数 (CGF) であり、弾性定数で定義され、マクロスケールでの従来のバルク材料のモデリングに使用されます。^{[ 5 ] [ 11 ]}式 (11) では、O(1/ x ⁿ ) は 1/ x ⁿ以上の項の標準的な数学的表記です。G c ( x ) の大きさは O(1/ x ² ) です。^{[ 21 ]}この式の LSGF _G (0, L ) は、項O (1/ x ^{4 ) が徐々に小さくなり無視できるほどになるにつれて、十分に大きな}xに対して CGF にスムーズかつ自動的に減少します。これにより、原子レベルの長さスケールからマクロスケールへのシームレスなリンクが保証されます。 ^{[ 8 ]}

式(8)と式(9)は、式(11)で与えられる極限関係とともに、MSGFの基本方程式を構成します。^{[ 8 ]} 式(9)は原子スケールで有効なLSGFを与え、式(11)はそれをマクロ連続体スケールで有効なCGFに関連付けます。この方程式はまた、LSGFがCGFにシームレスに還元されることを示しています。

格子に欠陥があると、その並進対称性が破れる。したがって、G を単一の距離変数R ( L )で表すことはできない。そのため、式 (10) はもはや有効ではなく、LSGF と CGF のシームレスなリンクに必要な対応関係が崩れる。^{[ 15 ]} このような場合、MSGF は次の手順を使用して格子と連続体のスケールをリンクする。^{[ 15 ]}

p が欠陥によって引き起こされる行列K の変化を表す場合、欠陥のある格子に対する力定数行列K*は次のように表される。

${\displaystyle K^{*}=K-p\qquad \qquad (12)}$

式(9)の完全格子の場合と同様に、対応する欠陥GFは完全なK*行列の逆行列として定義されます。式(12)を使用すると、欠陥LSGFに対する次のダイソン方程式が得られます。^{[ 15 ]}

${\displaystyle G^{*}=G+GpG^{*}\qquad \qquad (13)}$

MSGF法は、行列分割法または二重フーリエ変換を用いて式(13)をG*について解くことから成ります。 ^{[ 6 ]}

G*が分かれば、変位ベクトルは式(8)と同様の以下のGF方程式で与えられる。

u = G* f (14)

式(14)は、力fによって引き起こされる原子変位または格子歪みという、望ましい解を与えます。しかし、式(10)と(11)は欠陥LSGF G*に対して有効ではないため、格子と連続体の多重スケールのリンクは示されていません。欠陥のある格子の場合の格子と連続体モデル間のリンクは、以下に説明する正確な変換を使用することによって実現されます。^{[ 8 ]}

式(13)を用いると、式(14)は以下のように全く同じ形式で表すことができる。

u = Gf + G p G* f。(15)

式(15)の右辺に式(14)を再度適用すると、次のようになる。

u = G f* (16)

どこ

f* = f + pu。(17)

式（17）は、式（14）と式（16）が完全に等価となるような有効力f*を定義することに注意してください。

式(16)は、欠陥のある格子に対しても完全なLSGFであるGを用いて原子変位 uを表す。欠陥の影響はf*に正確に含まれる。LSGF Gはfやf*とは独立しており、式(11)で示されるように漸近的に滑らかにCGFに帰着する。有効力 f*は必要に応じて独立した方法を用いて別途計算で決定でき、 Gには格子静力学または連続体モデルを用いることができる。これが、シリコン格子中のゲルマニウム量子ドットをシミュレートするためにMSGFとMDを組み合わせたハイブリッドモデルの基礎となっている。^{[ 22 ]}

式(16)はMSGF法のマスター方程式です。 ^{[ 2 ] [ 8 ]} これは真にマルチスケールです。すべての離散的な原子レベルの寄与がf*に含まれています。グリーン関数 Gは独立して計算でき、ナノ材料の場合は完全に原子レベルに、マクロスケールの場合は必要に応じて材料システムの表面と界面を考慮するために部分的または完全に連続体にすることができます^{[ 8 ]。}

Tewary、Quardokus、DelRio ^{[ 23 ]}は、グリーン関数は単なる数学的な人工物ではなく、走査プローブ顕微鏡を使用して測定できる固体の物理的特性であると示唆している。

彼らの提案は、システムに対するあらゆる測定プロセスでは、外部プローブに対するシステムの応答を定量化する必要があり、グリーン関数は適用されたプローブに対するシステム全体の応答を与えるという事実に基づいています。^{[ 24 ]}例えば、ばねの特性を測定したい場合、ばねの一端を固定し、もう一方の端に力 f または f* を加えます。ばねの伸び u を測定すると、式 14 または 16 を使用してばねのグリーン関数の値が得られます。この例では、加えられた力がプローブであり、ばねの伸びがプローブに対する応答です。固体のグリーン関数の測定値が利用可能であれば、工学的応用における固体の応答を正確に特徴付けることができます。このため、グリーン関数は応答関数とも呼ばれます。

MSGF法の重要な応用例の一つは、固体、特にナノ材料における時間的（時間依存）プロセスのモデリングである。これは、材料の試験や特性評価、ナノ材料における波や熱の伝播、半導体における放射線損傷のモデリングなど、さまざまな応用で必要とされている。^{[ 2 ] [ 18 ]}これらのプロセスは、フェムト秒からナノ秒、あるいはマイクロ秒まで広範囲の時間にわたってシミュレートする必要があり、これはナノ材料にとって困難なマルチスケール問題である。Tewary ^{[ 25 ]}は、分子動力学における因果グリーン関数の使用が、分子動力学の時間的収束を大幅に加速できることを示した。CGFMD（因果グリーン関数分子動力学）と呼ばれる新しい方法は、MSGFの時間的等価物であり、因果的または遅延グリーン関数の使用に基づいている。これは^{[ 25 ]}グラフェンにおけるリップルの伝播をシミュレートするために適用されており^{[ 9 ]} 、 CGFMDは原子レベルで6～9桁のスケールをモデル化できることが示されている。少なくともグラフェンにおけるリップルの伝播のようないくつかの理想化されたケースでは、CGFMDはフェムト秒からマイクロ秒までの時間スケールを橋渡しすることができる。CGFMDは、Coluci、Dantas、Tewaryらの論文で改良され、さらに発展した^{[ 26 ] [ 27 ]}。

• マイクロスケールおよびマクロスケールモデル