単位セル

幾何学、生物学、鉱物学、固体物理学において、単位セルは格子点を結ぶベクトルによって形成される繰り返し単位である。^{[ 1 ]}その名前は示唆的だが、単位セルは（例えば単位ベクトルとは異なり）必ずしも単位サイズを持つわけではなく、特定のサイズさえ持たない。むしろ、原始セルは単位ベクトルに最も近い類似物であり、与えられた格子に対して決定されたサイズを持ち、より大きなセルを構築するための基本的な構成要素である。幾何学的には、これは位相空間（ユークリッド空間）に作用する群の基本領域（並進対称性）の特殊なケースである。

この概念は、特に2次元および3次元の結晶構造を記述する際に用いられるが、あらゆる次元において意味を成す。格子は、単位格子の形状によって特徴づけられる。単位格子とは、平行移動のみを用いてタイル全体を生成するタイルの一部（平行四辺形または平行六面体）である。

単位セルには、原始セルと慣習セルという 2 つの特殊なケースがあります。原始セルは、単一の格子点に対応する単位セルであり、可能な限り最小の単位セルです。^{[ 2 ]}場合によっては、結晶構造の完全な対称性が原始セルから明らかではないため、慣習セルが使用されることがあります。慣習セル (原始セルである場合もそうでない場合もあります) は、格子の完全な対称性を持つ単位セルであり、複数の格子点を含む場合があります。慣習単位セルは、n次元の平行多面体です。

原始細胞

原始セルとは、ちょうど 1 つの格子点を含む単位セルです。一般的に、単位セルでは、n 個のセルで共有される格子点は、それぞれのセルに含まれる格子点の 1 $/$ n として数えられます。したがって、たとえば、8 つの頂点にのみ格子点を持つ 3 次元の原始単位セルは、それぞれの頂点の 1/8 が含まれているとみなされます。[ $3$ ]別の概念化としては^、ⁿ^個 $の$ 格子点のうち 1 つだけを与えられた単位セルに一貫して選択するという方法があります (したがって、残りの $n-1 個$ の格子点は隣接する単位セルに属します)。

原始並進ベクトル $a \to 1$ 、 $a \to 2$ 、 $a \to 3$ は、特定の三次元格子において最小体積の格子単位を張り、結晶並進ベクトルを定義するために用いられる。

{\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},

ここで $、u 1$ 、 $u 2$ 、 $u 3$ は整数であり、この変換によって格子は不変となる。^{[注 1 ]}つまり、格子 $r内の点については、$ $r' = r + T \to$ からの点の配置は $r$ からの配置と同じように見える。^{[ 4 ]}

原始セルは原始軸（ベクトル） $a \to 1$ 、 $a \to 2$ 、 $a \to 3$ によって定義されるため、原始セルの体積 $V pは$ 上記の軸から得られる平行六面体によって次のように与えられる。

V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.

通常、2次元および3次元の基本単位セルは、各角に原子が配置された平行四辺形および平行六面体の形状をとるように選択されます。この基本単位セルの選択は一意ではありませんが、基本単位セルの体積は常に上記の式で与えられます。^{[ 5 ]}

ウィグナー・ザイツ電池

平行六面体の基本セルに加えて、すべてのブラベー格子には、ウィグナー・ザイツセルと呼ばれる別の種類の基本セルがあります。ウィグナー・ザイツセルでは、格子点がセルの中心にあり、ほとんどのブラベー格子では、その形状は平行四辺形や平行六面体ではありません。これはボロノイセルの一種です。運動量空間における逆格子のウィグナー・ザイツセルは、ブリルアンゾーンと呼ばれます。

従来のセル

それぞれの格子に対して、計算の便宜性に基づいて結晶学者がケースバイケースで慣用セルを選択している。^{[ 6 ]}これらの慣用セルには、単位セルの面または本体の中央に格子点が追加されている場合がある。慣用セルの格子点の数と体積は、基本セルの整数倍（1、2、3、または4）である。^{[ 7 ]}

2次元

任意の2次元格子において、単位セルは平行四辺形であり、特殊な場合には、直交角、等しい長さ、またはその両方を持つ場合がある。5つの2次元ブラベー格子のうち4つは、以下に示すように、従来の基本セルを用いて表現される。

中心が定まった長方形格子にも菱形の形状をした基本セルが存在するが、対称性に基づいて容易に区別できるように、2つの格子点を含む慣習的なセルで表されている。

三次元

任意の3次元格子において、従来の単位セルは平行六面体であり、特殊な場合には、直交する角度、等しい長さ、またはその両方を持つ場合がある。14種類の3次元ブラベー格子のうち7種類は、以下に示すように、従来の基本セルを用いて表現される。

他の7つのブラベー格子（中心格子として知られる）も平行六面体の形状をした基本セルを持つが、対称性に基づいて容易に区別できるように、複数の格子点を含む慣用セルで表される。

注記

↑ $n$ 次元では結晶の並進ベクトルは次のようになります
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{ただし}}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
つまり、格子 $r内の点については、$ $r' = r + T \to$ から見える点の配置は $r$ から見える点の配置と同じである。

参考文献

↑ Ashcroft , Neil W. (1976). 「第4章」固体物理学。WB Saunders Company。p. 72。ISBN 0-03-083993-9。
↑サイモン、スティーブン（2013）。オックスフォード固体物理学（第1版）。オックスフォード大学出版局。114ページ。ISBN 978-0-19-968076-4。
↑ 「DoITPoMS – TLPライブラリ結晶学 – 単位格子」。オンライン材料科学学習リソース：DoITPoMS。ケンブリッジ大学。 2015年2月21日取得。
↑キッテル、チャールズ（2004年11月11日）。固体物理学入門（第8版）。ワイリー。p.4。ISBN 978-0-471-41526-8。
↑ Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "The AFLOW Library of Crystallographic Prototypes: Part 1". Computational Materials Science . 136. Elsevier BV: S1– S828. arXiv : 1806.07864 . doi : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .
↑ Aroyo, MI 編 (2016-12-31).国際結晶学表. チェスター、イングランド: 国際結晶学連合. p. 25. doi : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0。
↑ Ashcroft, Neil W. (1976). Solid State Physics . WB Saunders Company. p. 73. ISBN 0-03-083993-9。

[first-4] $n$ 次元では結晶の並進ベクトルは次のようになります
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{ただし}}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
つまり、格子 $r内の点については、$ $r' = r + T \to$ から見える点の配置は $r$ から見える点の配置と同じである。

[1] Ashcroft , Neil W. (1976). 「第4章」固体物理学。WB Saunders Company。p. 72。ISBN 0-03-083993-9。

[2] サイモン、スティーブン（2013）。オックスフォード固体物理学（第1版）。オックスフォード大学出版局。114ページ。ISBN 978-0-19-968076-4。

[doitpoms-3] 「DoITPoMS – TLPライブラリ結晶学 – 単位格子」。オンライン材料科学学習リソース：DoITPoMS。ケンブリッジ大学。 2015年2月21日取得。

[5] キッテル、チャールズ（2004年11月11日）。固体物理学入門（第8版）。ワイリー。p.4。ISBN 978-0-471-41526-8。

[6] Mehl, Michael J.; Hicks, David; Toher, Cormac; Levy, Ohad; Hanson, Robert M.; Hart, Gus; Curtarolo, Stefano (2017). "The AFLOW Library of Crystallographic Prototypes: Part 1". Computational Materials Science . 136. Elsevier BV: S1– S828. arXiv : 1806.07864 . doi : 10.1016/j.commatsci.2017.01.017 . ISSN 0927-0256 . S2CID 119490841 .

[7] Aroyo, MI 編 (2016-12-31).国際結晶学表. チェスター、イングランド: 国際結晶学連合. p. 25. doi : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0。

[8] Ashcroft, Neil W. (1976). Solid State Physics . WB Saunders Company. p. 73. ISBN 0-03-083993-9。

[ 1 ]

[ 2 ]

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[注 1 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

単位セル

原始細胞

ウィグナー・ザイツ電池

従来のセル

2次元

三次元

関連項目

注記

参考文献

関連するトピック

幾何学

生物学

鉱物学

固体物理学