粘弾性

マクスウェルモデルは、図に示すように、純粋に粘性のあるダンパーと純粋に弾性的なバネを直列に接続することで表すことができます。このモデルは、次の式で表すことができます。 $${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E}}{\dot {\sigma }}=\eta {\dot {\varepsilon }}}$$

このモデルでは、材料に一定のひずみを加えると、応力は徐々に緩和されます。材料に一定の応力を加えると、ひずみには 2 つの成分があります。まず、バネに対応する弾性成分が瞬時に発生し、応力が解放されるとすぐに緩和します。2 つ目は粘性成分で、応力が加えられている限り時間とともに増加します。マックスウェルモデルは、応力が時間とともに指数関数的に減少すると予測しており、これはほとんどのポリマーで正確です。このモデルの 1 つの制限は、クリープを正確に予測できないことです。クリープまたは一定応力条件のマックスウェルモデルは、ひずみが時間とともに直線的に増加すると仮定しています。しかし、ポリマーはほとんどの場合、ひずみ速度が時間とともに減少することを示しています。^{[ 2 ]}

This model can be applied to soft solids: thermoplastic polymers in the vicinity of their melting temperature, fresh concrete (neglecting its aging), and numerous metals at a temperature close to their melting point.

The equation introduced here, however, lacks a consistent derivation from more microscopic model and is not observer independent. The Upper-convected Maxwell model is its sound formulation in terms of the Cauchy stress tensor and constitutes the simplest tensorial constitutive model for viscoelasticity (see e.g.^[8] or^[9] ).

The Kelvin–Voigt model, also known as the Voigt model, consists of a Newtonian damper and Hookean elastic spring connected in parallel, as shown in the picture. It is used to explain the creep behaviour of polymers.

The constitutive relation is expressed as a linear first-order differential equation: $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon +\eta {\dot {\varepsilon }}}$$

This model represents a solid undergoing reversible, viscoelastic strain. Upon application of a constant stress, the material deforms at a decreasing rate, asymptotically approaching the steady-state strain. When the stress is released, the material gradually relaxes to its undeformed state. At constant stress (creep), the model is quite realistic as it predicts strain to tend to σ/E as time continues to infinity. Similar to the Maxwell model, the Kelvin–Voigt model also has limitations. The model is extremely good with modelling creep in materials, but with regards to relaxation the model is much less accurate.^[10]

This model can be applied to organic polymers, rubber, and wood when the load is not too high.

The standard linear solid model, also referred as the Kelvin or Zener model, consists of two springs and a dashpot. This model is referred as Kelvin model by some authors, as Lord Kelvin (William Thomson) observed that the rate of dissipation of energy increases less rapidly than the square of the frequency as predicted by a simple Voigt Model. Finally, he concluded that simple Voigt Model does not corresponds to reality ^[11]. However, the standard linear solid model formally proposed by John Henry Poynting and Joseph John Thomson in 1902 ^[11]. It is the simplest model that describes both the creep and stress relaxation behaviors of a viscoelastic material properly. For this model, the governing constitutive relations are:

一定の応力下では、モデル化された材料は瞬時にあるひずみまで変形します。これは、ひずみの瞬間弾性部分です。その後、変形は続き、徐々に定常状態のひずみに近づきます。これは、ひずみの遅延弾性部分です。標準的な線形固体モデルは、材料の応答を予測する上でマックスウェルモデルやケルビン・フォークトモデルよりも正確ですが、数学的には、特定の荷重条件下でのひずみに関して不正確な結果を返します。

ジェフリーズモデルは、ゼナーモデルと同様に3要素モデルです。2つのダッシュポットとバネで構成されています。^{[ 12 ]}

地球のマントルを研究するために、 1929年にハロルド・ジェフリーズによって提案された。^{[ 13 ]}

バーガースモデルは、2つのマクスウェルコンポーネントを並列接続したもの、またはケルビン・フォークトコンポーネント、ばね、ダンパーを直列接続したものから構成される。このモデルにおける支配的な構成関係式は以下のとおりである。

このモデルは、標準的な線形固体モデルに粘性流動を組み込むことで、一定の荷重条件下でひずみが線形的に増加する漸近線を与える。

一般化マックスウェルモデル（ヴィーヘルトモデルとも呼ばれる）は、粘弾性の線形モデルの最も一般的な形式です。緩和は単一の時間ではなく、時間の分布で起こることを考慮に入れています。分子セグメントの長さが異なり、短いセグメントは長いセグメントよりも寄与が少ないため、時間分布は変化します。ヴィーヘルトモデルは、分布を正確に表現するために必要な数のバネ・ダッシュポットマックスウェル要素を持つことでこれを示します。右の図は、一般化ヴィーヘルトモデルを示しています。^{[ 14 ]} 用途：絶対融点（Kで表される）の4分の1以下の温度での金属および合金、および弾性効率の特性評価。^{[ 15 ]}

二次流体は一般的に最も単純な非線形粘弾性モデルと考えられており、ニュートン流体と他のより複雑な非線形粘弾性流体の間の、高ひずみ振幅とデボラ数で発生する材料挙動の狭い領域に通常存在します。^{[ 4 ]} 二次流体の構成方程式は次のように与えられます。

$${\displaystyle \mathbf {T} =-p\mathbf {I} +2\eta _{0}\mathbf {D} -\psi _{1}\mathbf {D} ^{\triangledown }+4\psi _{2}\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} }$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {I} }$は単位テンソルです
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$変形テンソル
• ${\displaystyle \eta _{0},\psi _{1},\psi _{2}}$はそれぞれ粘度、および第1および第2法線応力係数を表す。
• ${\displaystyle \mathbf {D} ^{\triangledown }}$は変形テンソルの上方移流微分を表し、$${\displaystyle \mathbf {D} ^{\triangledown }\equiv {\dot {\mathbf {D} }}-(\nabla \mathbf {v} )^{\mathbf {T} }\cdot \mathbf {D} -\mathbf {D} \cdot \nabla \mathbf {v} }$$そして${\displaystyle {\dot {\mathbf {D} }}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {D} }$は変形テンソルの物質時間微分である。^{[ 4 ]}

上部対流マックスウェルモデルは、粘弾性マックスウェルモデルに非線形時間挙動を組み込んでおり、次のように表されます。^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathbf {\tau } +\lambda \mathbf {\tau } ^{\triangledown }=2\eta _{0}\mathbf {D} }$$ どこ${\displaystyle \mathbf {\tau } }$は応力テンソルを表します。

オールドロイドBモデルは、上部対流マックスウェルモデルの拡張であり、弾性ビーズとバネダンベルで満たされた溶媒として解釈されます。このモデルは、作成者であるジェームズ・G・オールドロイドにちなんで名付けられました。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

このモデルは次のように記述できます。 $${\displaystyle \mathbf {T} +\lambda _{1}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _{0}(\mathbf {D} +\lambda _{2}{\stackrel {\nabla }{\mathbf {D} }})}$$ どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$は応力テンソルです。
• ${\displaystyle \lambda _{1}}$リラックスタイムです。
• ${\displaystyle \lambda _{2}}$遅延時間 =${\displaystyle {\frac {\eta _{s}}{\eta _{0}}}\lambda _{1}}$;
• ${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}}$は、応力テンソルの上側対流時間微分です。$${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {T} -((\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} +\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} ));}$$
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$は流体の速度です。
• ${\displaystyle \eta _{0}}$は溶媒とポリマー成分から構成される全粘度であり、${\displaystyle \eta _{0}=\eta _{s}+\eta _{p}}$;
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$は変形速度テンソルまたはひずみ速度テンソルであり、${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )^{T}\right]}$。

このモデルはせん断流における粘弾性流体の近似値としては優れているものの、伸長流においてはダンベルが無限に引き伸ばされるという非物理的な特異点が存在する。ただし、これは理想化された流れに特有のものであり、クロススロット形状の場合、伸長流は理想的ではないため、応力は特異点を持つものの積分可能であり、対応する無限小領域では応力が無限大となる。^{[ 19 ]}

溶媒の粘度がゼロの場合、オールドロイドBモデルは上部対流マックスウェルモデルになります。

ワグナーモデルは、バーンスタイン・カーズリー・ザパスモデルの簡略化された実用的な形式と考えることができる。このモデルは、ドイツのレオロジー学者マンフレート・ワグナーによって開発された。

等温条件の場合、モデルは次のように記述できます。 $${\displaystyle \mathbf {\sigma } (t)=-p\mathbf {I} +\int _{-\infty }^{t}M(t-t')h(I_{1},I_{2})\mathbf {B} (t')\,dt'}$$

どこ：

• ${\displaystyle \mathbf {\sigma } (t)}$は時間tの関数としてのコーシー応力テンソルです。
• pは圧力です
• ${\displaystyle \mathbf {I} }$は単位テンソルです
• Mは記憶関数を表し、通常は各緩和モードの指数項の和として表されます。$${\displaystyle M(x)=\sum _{k=1}^{m}{\frac {g_{i}}{\theta _{i}}}\exp \left({\frac {-x}{\theta _{i}}}\right),}$$ここで、各緩和モードについて、${\displaystyle g_{i}}$は緩和弾性率であり、${\displaystyle \theta _{i}}$リラックスタイムです。
• ${\displaystyle h(I_{1},I_{2})}$は、フィンガーテンソルの第1および第2不変量に依存する歪み減衰関数である。${\displaystyle \mathbf {B} }$。

ひずみ減衰関数は通常次のように表されます。 $${\displaystyle h(I_{1},I_{2})=m^{*}\exp(-n_{1}{\sqrt {I_{1}-3}})+(1-m^{*})\exp(-n_{2}{\sqrt {I_{2}-3}})}$$ ひずみ硬化関数の値が1に等しい場合、変形は小さく、ゼロに近づく場合は、変形は大きくなります。^{[ 20 ] [ 21 ]}

一次元緩和試験では、試験期間中一定に保たれる急激なひずみが材料に加わり、時間経過に伴う応力が測定されます。初期応力は材料の弾性応答によるものです。その後、材料の粘性効果により、応力は時間とともに緩和されます。通常、引張、圧縮、体積圧縮、またはせん断ひずみが加えられます。得られた応力対時間データは、モデルと呼ばれるいくつかの式で近似できます。加えるひずみの種類によって表記が変わるだけです。引張圧縮緩和は、${\displaystyle E}$せん断は次のように表されます${\displaystyle G}$バルクは次のように表記されます${\displaystyle K}$せん断緩和のプロニー級数は

$${\displaystyle G(t)=G_{\infty }+\sum _{i=1}^{N}G_{i}\exp(-t/\tau _{i})}$$

どこ${\displaystyle G_{\infty }}$は、材料が完全に緩和された後の長期弾性率です。${\displaystyle \tau _{i}}$リラックスタイム（${\displaystyle \tau _{i}}$図に示すように、値が高いほど、応力が緩和するのに時間がかかります。データは、パラメータを調整する最小化アルゴリズムを使用して方程式に適合されます（${\displaystyle G_{\infty },G_{i},\tau _{i}}$予測値とデータ値の間の誤差を最小限に抑えるため。^{[ 22 ]}

別の形式は、弾性係数が長期弾性係数と次の関係にあることに注目して得られる。

$${\displaystyle G(t=0)=G_{0}=G_{\infty }+\sum _{i=1}^{N}G_{i}}$$

したがって、

$${\displaystyle G(t)=G_{0}-\sum _{i=1}^{N}G_{i}\left[1-e^{-t/\tau _{i}}\right]}$$

この形式は、弾性せん断弾性率が${\displaystyle G_{0}}$これは緩和データとは独立したデータから得られるものであり、また、Simulia (2010) のように弾性特性を粘性特性とは別に指定したい場合のコンピュータ実装にも使用される。^{[ 23 ]}

クリープ実験は通常、緩和実験よりも実施が容易であるため、ほとんどのデータは（クリープ）コンプライアンス対時間として入手可能です。^{[ 24 ]} 残念ながら、プロニー級数の係数に関して（クリープ）コンプライアンスの既知の閉形式はありません。したがって、クリープデータがある場合、たとえば^{[ 23 ]}で必要とされる（緩和）プロニー級数の係数を取得するのは容易ではありません。これらの係数を取得する手っ取り早い方法は次のとおりです。まず、コンプライアンスと緩和の両方で閉形式解を持つモデルでクリープデータをフィッティングします。たとえば、Barbero（2007）^{[ 25 ]のMaxwell-Kelvinモデル（式7.18-7.19）またはBarbero（2007） [ 25 ]}の標準固体モデル（式7.20-7.21）（セクション7.1.3）などです。クリープモデルのパラメータが判明したら、元のデータと同じ時間における共役緩和モデルを用いて緩和擬似データを生成する。最後に、その擬似データをプロニー級数にフィッティングする。

せん断レオメーターは、測定対象の材料を2枚のプレートの間に挟み、片方または両方のプレートをせん断方向に動かして材料に応力とひずみを誘発するという考え方に基づいています。試験は、一定のひずみ速度、応力、または振動方式（動的機械分析の一種）で行うことができます。^{[ 31 ]} せん断レオメーターは通常、材料が2枚のプレートの間から漏れ出すエッジ効果と、材料とプレートの界面での滑りによって制限されます。

伸長レオメーター（伸長計とも呼ばれる）は、粘弾性流体を通常は一軸方向に引っ張ることによって粘弾性特性を測定します。^{[ 32 ]} これは通常、毛細管力を利用し、流体を狭い形状に閉じ込めるため、この技術は、希薄ポリマー溶液や溶融ポリマーなど、比較的粘度の低い流体に限定されることがよくあります。^{[ 32 ]} 伸長レオメーターは、伸長計の端でのエッジ効果や、毛細管の内側と外側の圧力差によっても制限されます。^{[ 4 ]}

上述の明らかな制約にもかかわらず、伸長レオロジー測定は高粘度流体に対しても実施可能です。これには異なる装置が必要となりますが、これらの技術と装置を用いることで、ポリマー溶融物などの材料の伸長粘弾性特性を研究することができます。過去50年間に開発された最も一般的な伸長レオロジー測定装置には、マイスナー型レオメーター、フィラメント延伸レオメーター（FiSER）、およびセントマナット伸長レオメーター（SER）の3種類があります。

1996年にMeissnerとHostettlerによって開発されたMeissner型レオメーターは、2組の逆回転ローラーを使用してサンプルを一軸方向にひずませます。^{[ 33 ]}この方法は、実験全体を通して一定のサンプル長を使用し、ローラー間のサンプルをエアクッションで支えてサンプルのたるみ効果を排除します。ただし、いくつかの問題点があります。1つは、流体がベルトで滑って、予想よりも低いひずみ速度になる可能性があることです。さらに、この装置は操作が難しく、購入と維持に費用がかかります。

FiSERレオメーターは、2枚のプレートの間に流体が入っているだけのシンプルな構造です。実験中は、上側のプレートを固定し、下側のプレートに力を加えて上側のプレートから離れるように動かします。^{[ 34 ]}ひずみ速度は、試料の中央部の半径の変化率によって測定されます。これは、次の式を用いて計算されます。 $${\displaystyle {\dot {\epsilon }}=-{\frac {2}{R}}{dR \over dt}}$$ どこ${\displaystyle R}$は中間半径値であり、${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$はひずみ速度である。試料の粘度は、次の式を用いて計算される。 $${\displaystyle \eta ={\frac {F}{\pi R^{2}{\dot {\epsilon }}}}}$$ どこ${\displaystyle \eta }$は試料の粘度であり、${\displaystyle F}$これは、試料を引き裂くために試料に加えられる力のことである。

マイスナー型レオメーターと同様に、SERレオメーターは2つのローラーを使用してサンプルを一定の速度でひずませます。^{[ 35 ]}そして、よく知られている式を使用してサンプルの粘度を計算します。 $${\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\epsilon }}}$$ どこ${\displaystyle \sigma }$ストレスとは、${\displaystyle \eta }$粘度と${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$はひずみ速度です。この場合の応力は、装置に搭載されたトルク変換器によって測定されます。この装置は小型であるため使いやすく、ローラー間の試料のたるみも解消されます。SER伸長レオメーターの動作を詳細に示した概略図は右側にあります。

材料の機械的および粘弾性応答をテストする機器は多数ありますが、広帯域粘弾性分光法（BVS）と共鳴超音波分光法（RUS）は、周囲温度以上および以下で使用でき、粘弾性のテストに特化しているため、粘弾性挙動のテストによく使用されます。これらの2つの機器は、時間と温度の重ね合わせに頼ることなく、さまざまな周波数と時間範囲で減衰機構を使用します。BVSとRUSを使用して材料の機械的特性を研究することは、粘弾性を示す材料がどのように動作するかを理解するために重要です。^{[ 36 ]}