電磁場の分類

微分幾何学と理論物理学において、電磁場の分類は、ローレンツ多様体の各点における双ベクトルの点ごとの分類である。これは、マクスウェル方程式の解の研究に使用され、アインシュタインの相対性理論にも応用されている。

ローレンツ時空の点p (つまりイベント)における電磁場は、pにおける接空間上に定義された実バイベクトルF = F ^abによって表されます。

pにおける接空間は、 E ^1,3に対する実内積空間として等長です。つまり、ミンコフスキー時空と同じベクトルの大きさと角度の概念を持ちます。表記を簡略化するために、時空はミンコフスキー時空であると仮定します。これにより、 pにおける接空間と基礎となる多様体との区別が曖昧になりがちですが、幸いなことに、この記事の最後で説明する理由により、この特殊化によって何も失われることはありません。

電磁場の分類定理は、いわゆる「主ヌル方向」を定義して調べることで、 ローレンツ計量η = η _abとの関係でバイベクトルF を特徴付けます。これについて説明しましょう。

バイベクトルF ^{ab は、}メトリックで 1 つのインデックスを下げることによって定義される歪対称 線形演算子 F ^a _b = F ^ac η _cbを生成します。これは、 r ^a → F ^a _b r ^bによってpの接空間に作用します。コンテキストに応じて、記号F を使用してバイベクトルまたは演算子のいずれかを表します。

外積代数から導かれる二分法について述べる。 v、wが線型独立であるとしてF = v ∧ wと書ける二分ベクトルは単純と呼ばれる。4次元ベクトル空間上の任意の非ゼロ二分ベクトルは単純であるか、v、w、x、およびyが線型独立であるとしてF = v ∧ w + x ∧ yと書ける。この2つのケースは互いに排他的である。このように述べると、この二分法は計量ηを参照せず、外積代数のみを参照する。しかし、関連する歪対称線型演算子F ^a _{b は}前者の場合は階数2、後者の場合は階数4であることが容易にわかる。 ^[1]

分類定理を述べるために、Fの固有値問題、すなわち、固有値方程式を満たす 固有値λと固有ベクトルr を見つける問題を考える。

${\displaystyle F^{a}{}_{b}r^{b}=\lambda \,r^{a}.}$

Fの歪対称性は次を意味します:

• 固有ベクトルrがヌルベクトル（つまりη ( r , r )=0）であるか、固有値λがゼロであるか、あるいはその両方であるかのいずれかです。

ヌル固有ベクトルによって生成される 1 次元部分空間は、バイベクトルの 主ヌル方向と呼ばれます。

分類定理は、バイベクトルの可能な主ヌル方向を特徴づけます。これは、任意の非ゼロバイベクトルに対して、次のいずれかが成立する必要があることを述べています。

• 二ベクトルは1つの「繰り返される」主ヌル方向を持ちます。この場合、二ベクトル自体はヌルであると言われます。
• バイベクトルには 2 つの異なる主ヌル方向があります。この場合、バイベクトルは非ヌルと呼ばれます。

さらに、任意の非ヌルバイベクトルについて、2つの異なる主ヌル方向に関連付けられた2つの固有値は同じ大きさですが符号が反対で、λ = ± ν であるため、非ヌルバイベクトルの3つのサブクラスが存在します。

• 空間的：ν = 0
• 時間的 ：ν ≠ 0 かつ階数F = 2
• 非単純: ν ≠ 0 かつ階数F = 4、

ここで、階数は線形演算子Fの階数を指します。^{[説明が必要]}

上記のバイベクトルの代数的分類は、相対論的物理学において重要な応用があります。電磁場は歪対称の2階テンソル場（電磁場テンソル）によって表されるため、電磁場の代数的分類が直ちに得られます。

ミンコフスキー時空上の直交座標では、電磁場テンソルは次のような成分を持つ。

${\displaystyle F_{ab}=\left({\begin{matrix}0&B_{z}&-B_{y}&E_{x}/c\\-B_{z}&0&B_{x}&E_{y}/c\\B_{y}&-B_{x}&0&E_{z}/c\\-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c&0\end{matrix}}\right)}$

ここで、 と はそれぞれ、慣性観測者（座標系で静止している）によって測定された電場と磁場の成分を表します。相対論的物理学では通常、となる幾何化された単位を使用して作業すると便利です。特殊相対性理論の「指数体操」形式では、ミンコフスキー計量を使用して指数を上げたり下げたりします。 ${\displaystyle E_{x},E_{y},E_{z}}$${\displaystyle B_{x},B_{y},B_{z}}$${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle \eta}$

電磁場の基本的な不変量は次のとおりです。

${\displaystyle P\equiv {\frac {1}{2}}F_{ab}\,F^{ab}=\|{\vec {B}}\|^{2}-{\frac {\|{\vec {E}}\|^{2}}{c^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{}^{*}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}}$

${\displaystyle Q\equiv {\frac {1}{4}}F_{ab}\,{}^{*}F^{ab}={\frac {1}{8}}\epsilon ^{abcd}F_{ab}F_{cd}={\frac {{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}}{c}}}$。

(基本的とは、他のすべての不変量がこれら 2 つで表現できることを意味します。)

ヌル電磁場は によって特徴付けられます 。この場合、不変量から、電場と磁場が垂直であり、大きさが同じであることがわかります (幾何学的単位で)。ヌル場の一例としては、ミンコフスキー空間の平面電磁波があります。 ${\displaystyle P=Q=0}$

非ヌル場は によって特徴付けられます。 の場合、電場または磁場のいずれかがゼロになる慣性基準フレームが存在します。 (これらはそれぞれ静磁気場と静電場に対応します。) の場合、電場と磁場が比例する慣性フレームが存在します。 ${\displaystyle P^{2}+Q^{2}\neq \,0}$${\displaystyle P\neq 0=Q}$${\displaystyle Q\neq 0}$

これまではミンコフスキー時空についてのみ議論してきました。（強い）同値原理によれば、上記の「慣性系」を単にフレーム場に置き換えると、曲がった多様体上ですべてがまったく同じように機能します。

• 電磁剥離定理
• 電気真空ソリューション
• ローレンツ群
• ペトロフ分類

• ランダウ、レフ・D.、リフシッツ、EM（1973）。『場の古典理論』ニューヨーク：ペルガモン。ISBN 0-08-025072-6。セクション25を参照してください。