ペトロフ分類

微分幾何学と理論物理学において、ペトロフ分類（ペトロフ・ピラニ・ペンローズ分類とも呼ばれる）は、ローレンツ多様体における各イベントにおけるワイルテンソルの可能な代数的対称性を記述する。

これは、アインシュタインの場の方程式の厳密な解を研究する際に最もよく適用されますが、厳密に言えば、この分類は、物理的解釈とは無関係に、任意のローレンツ多様体に適用される純粋数学の定理です。この分類は、1954年にAZペトロフによって発見され、1957年にフェリックス・ピラニによって独立に発見されました。

あるイベントで評価されるワイルテンソルなどの4 階の テンソルは、ベクトル空間に作用する 線型演算子のように、そのイベントでのバイベクトルの空間に作用すると考えることができます。

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

すると、次のような 固有値 と固有ベクトル（現在は固有二ベクトルと呼ばれる）を求める問題を考えるのが自然である。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

(4 次元) ローレンツ時空では、各イベントに反対称な 6 次元のバイベクトル空間が存在します。ただし、ワイル テンソルの対称性は、すべての固有バイベクトルが 4 次元のサブセットに属している必要があることを意味します。したがって、ワイル テンソル (特定のイベント) は、実際には最大で 4 つの線形独立な固有バイベクトルを持つことができます。

ワイルテンソルの固有ベクトルは、さまざまな重複度で発生する可能性があり、固有ベクトル間の重複度は、特定のイベントにおけるワイルテンソルの一種の代数的対称性を示します。特定のイベントにおけるワイルテンソルの異なるタイプは、特性方程式（この場合は4 次方程式）を解くことで決定できます。上記のすべては、通常の線形演算子の固有ベクトルの理論と同様に発生します。

これらの固有ベクトルは、元の時空における特定のヌルベクトルに関連付けられており、これらは（特定のイベントにおける）主ヌル方向と呼ばれます。関連する多重線型代数は多少複雑ですが（以下の引用を参照）、結果として得られる分類定理では、代数的対称性には正確に 6 つのタイプがあるとされています。これらはペトロフ型として知られています。

• タイプI : 4つの単純な主ヌル方向、
• タイプ II : 1 つの二重主ヌル方向と 2 つの単純主ヌル方向、
• タイプD : 2つの二重主ヌル方向、
• タイプ III : 1 つのトリプルと 1 つの単純な主ヌル方向、
• タイプN : 1つの4重主ヌル方向、
• タイプ O : ワイルテンソルは消滅します。

ペトロフ型間の可能な遷移は図に示されていますが、これは、一部のペトロフ型が他のペトロフ型よりも「より特殊」であることを示すものとして解釈することもできます。たとえば、最も一般的な型である型Iは、型IIまたはDに退化する可能性がありますが、型II は、型III、N、またはDに退化する可能性があります。

特定の時空における異なるイベントは、異なるペトロフ型を持つことができます。タイプI (あるイベントで)を持つワイルテンソルは代数的に一般と呼ばれます。そうでない場合は、タイプ I (そのイベントで) を持つワイルテンソルは代数的に特殊と呼ばれます。一般相対性理論では、タイプO の時空は共形的に平坦です。

分類には、ニューマン・ペンローズ形式がよく使われます。ヌルベクトルの四つ組から構成される次の二ベクトルの集合を考えてみましょう(表記法によっては、記号 l と n が入れ替わっていることに注意してください)。

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

ワイルテンソルはこれらのバイベクトルの組み合わせとして表現できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{aligned}}}$

ここで、はワイルスカラー、ccは複素共役である。6つの異なるペトロフ型は、ワイルスカラーがゼロになるかどうかで区別される。条件は以下の通りである。 ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$

• タイプI  :、${\displaystyle \Psi _{0}=0}$
• タイプII  :、${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$
• タイプD  :、${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$
• タイプIII  ：、${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$
• タイプN  :、${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$
• O型  : .${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$

ローレンツ多様体 上の計量が与えられれば、この計量のワイルテンソルを計算できる。ワイルテンソルがにおいて代数的に特殊である場合、におけるペトロフ型を正確に決定するための、Lluis (または Louis) Bel と Robert Debever ^[1]によって発見された一連の有用な条件が存在する。 におけるワイルテンソルの成分をで表すと（非ゼロ、つまりO型ではないと仮定）、ベル基準は次のように表現できる。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle C_{abcd}}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$がN型であるのは、${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

ここで、は必ず null かつ一意です (スケーリングまで)。 ${\displaystyle k}$

• がN型でない場合、がIII型であるためには、次を満たすベクトルが存在する必要がある。${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle C_{abcd}}$${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

ここで、は必ず null かつ一意です (スケーリングまで)。 ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$を満たすベクトルが存在するとき、かつその場合に限り、タイプIIである。${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$そして（）${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

ここで、は必ず null かつ一意です (スケーリングまで)。 ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$がD型であるためには、 2つの線形独立なベクトル が存在し、次の条件を満たす必要がある。${\displaystyle k}$${\displaystyle k'}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$、（）${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

そして

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$、（）。${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$

ここで、 はにおけるワイルテンソルの双対です。 ${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$${\displaystyle p}$

実際、上記の各基準に対して、ワイル テンソルがその型を持つための同等の条件があります。これらの同等の条件は、ワイル テンソルの双対と自己双対、および特定のバイベクトルの観点から述べられており、Hall (2004) にまとめられています。

ベル基準は一般相対論に応用されており、ペトロフ型の代数的に特殊なワイルテンソルの決定はヌルベクトルの探索によって達成されます。

一般相対性理論によれば、さまざまな代数的に特殊なペトロフ型には興味深い物理的な解釈があり、その分類は重力場の分類と呼ばれることもあります。

タイプ D領域は、星などの孤立した巨大な物体の重力場と関連しています。より正確には、タイプD場は、質量と角運動量によって完全に特徴付けられる重力物体の外部場として発生します。(より一般的な物体は、ゼロではない高次の多重極モーメントを持つ場合があります。) 2 つの二重主ヌル方向は、場のソースである物体の近くで 「放射状に」入ってくるヌル合同と出ていくヌル合同を定義します。

タイプD領域の電気重力テンソル(または潮汐テンソル) は、ニュートンの重力でクーロン型の重力ポテンシャルによって記述される重力場と非常によく似ています。このような潮汐場は、一方向の張力と直交方向の圧縮によって特徴付けられ、固有値は (-2,1,1) のパターンを持ちます。たとえば、地球を周回する宇宙船は、地球の中心から半径に沿って小さな張力と直交方向の小さな圧縮を経験します。ニュートンの重力と同様に、この潮汐場は通常 のように減衰します。ここで は物体からの距離です。 ${\displaystyle O(r^{-3})}$${\displaystyle r}$

物体が何らかの軸の周りを回転している場合、潮汐効果に加えて、観測者が持つジャイロスコープにかかるスピン-スピン力など、さまざまな重力磁気効果が発生します。D型真空解の最もよく知られた例であるカー真空では、この部分の磁場は のように減衰します。 ${\displaystyle O(r^{-4})}$

タイプ III領域は、一種の縦​​方向の重力放射と関連しています。このような領域では、潮汐力はせん断効果を持ちます。この可能性はしばしば無視されますが、その理由の 1 つは、弱場理論で生じる重力放射がタイプNであること、もう 1 つはタイプIII放射が のように崩壊し、タイプN放射よりも速いことです。 ${\displaystyle O(r^{-2})}$

N 型領域は、天文学者がLIGOで検出した横方向の重力放射と関連しています。四重主ヌル方向は、この放射の伝播方向を表す波数ベクトルに対応します。これは通常、 のように崩壊するため、長距離放射場はN型です。 ${\displaystyle O(r^{-1})}$

タイプ II領域は、タイプD、III、およびNについて上記で説明した効果を、かなり複雑な非線形の方法で組み合わせます。

O 型領域、または共形平坦領域は、ワイル テンソルが同一に消失する場所に関連付けられています。この場合、曲率は純粋なリッチと呼ばれます。共形平坦領域では、重力の影響は、物質の直接の存在または何らかの非重力場 (電磁場など) の場のエネルギー によるものでなければなりません。ある意味では、これは、遠方の物体が私たちの領域での出来事に長距離影響を及ぼしていないことを意味します。より正確には、遠方の領域に時間変化する重力場がある場合、そのニュースはまだ私たちの共形平坦領域に届いていません。

孤立したシステムから放射される重力放射は、通常、代数的に特別なものではありません。剥離定理は、放射源から遠ざかるにつれて、放射場のさまざまな成分が「剥がれ」、最終的にN型放射のみが遠距離で目立つようになる様子を説明しています。これは、電磁気剥離定理に似ています。

いくつかの（多かれ少なかれ）よく知られた解では、ワイルテンソルは各イベントで同じペトロフ型を持ちます。

• カー真空はどこでもD型である。
• ロビンソン/トラウトマン真空はどこでもタイプIIIです。
• pp波時空はどこでもN型であり、
• FLRW モデルはどこでもタイプOです。

より一般的には、球対称な時空はすべてD型（またはO型）でなければなりません。さまざまな種類の応力エネルギーテンソルを持つすべての代数的に特殊な時空は、たとえばすべてのD型真空解など、知られています。

いくつかのクラスの解は、ワイルテンソルの代数的対称性を使って不変的に特徴付けることができます。たとえば、膨張するがねじれのないヌル合同を許容する非共形平坦ヌル電気真空またはヌルダスト解のクラスは、まさにロビンソン/トラウトマン時空のクラスです。これらは通常タイプIIですが、タイプIIIやタイプN の例も含まれます。

A. Coley、R. Milson、V. Pravda、A. Pravdová (2004) は、代数的分類の任意の時空次元 への一般化を開発しました。彼らのアプローチは、ヌルフレーム基底アプローチ、つまり 2 つのヌルベクトルと 、および空間的ベクトルを含むフレーム基底を使用します。ワイルテンソルのフレーム基底成分は、局所ローレンツブーストによる変換特性によって分類されます。特定のワイル成分が消える場合、および/または は、ワイル整合ヌル方向(WAND)であると言われます。4 次元では、は、上で定義した意味で主ヌル方向である場合に限り、WAND です。このアプローチは、上で定義したさまざまな代数型II、Dなどのそれぞれに自然な高次元拡張を与えます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d-2}$${\displaystyle l}$${\displaystyle n}$${\displaystyle l}$

代替的だが同等ではない一般化は、スピノリアルアプローチに基づいて、de Smet (2002) によって以前に定義されました。ただし、de Smet のアプローチは 5 次元のみに制限されています。

• 電磁場の分類
• 一般相対論における正確な解
• セグレ分類
• 剥離定理
• プレバンスキーテンソル
• ゴールドバーグ・ザックスの定理

• Coley, A.; et al. (2004). 「高次元におけるワイルテンソルの分類」.古典重力と量子重力. 21 (7): L35–L42. arXiv : gr-qc/0401008 . Bibcode :2004CQGra..21L..35C. doi :10.1088/0264-9381/21/7/L01. S2CID  31859828.
• de Smet, P. (2002). 「円筒上のブラックホールは代数的に特別ではない」.古典重力と量子重力. 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th/0206106 . Bibcode :2002CQGra..19.4877D. doi :10.1088/0264-9381/19/19/307. S2CID  15772816.
• レイ・ディンヴェルノ（1992年）『アインシュタインの相対性理論入門』オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-859686-3。 セクション21.7、21.8を参照
• ホール、グラハム (2004)。一般相対論における対称性と曲率構造 (World Scientific Lecture Notes in Physics)。シンガポール: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5。 ペトロフ分類の包括的な説明については、セクション7.3、7.4を参照してください。
• MacCallum, MAH (2000). 「編集者注: 重力場を定義する空間の分類」.一般相対性理論と重力. 32 (8): 1661–1663. Bibcode :2000GReGr..32.1661P. doi :10.1023/A:1001958823984. S2CID  116370483.
• ペンローズ、ロジャー (1960)。「スピノルによる一般相対論へのアプローチ」。Annals of Physics 10 (2): 171–201。Bibcode : 1960AnPhy..10..171P。doi :10.1016/0003-4916(60)90021-X。
• アリゾナ州ペトロフ（1954年）。 「Klassifikacya prostranstv oppredelyayushchikh Polya tyagoteniya」。うーん。ザピスキ・カザン。そうだね。大学​114 (8): 55–69。 英語訳Petrov, AZ (2000). 「重力場によって定義される空間の分類」.一般相対性理論と重力. 32 (8): 1665–1685. Bibcode :2000GReGr..32.1665P. doi :10.1023/A:1001910908054. S2CID  73540912.
• ペトロフ、AZ (1969)。アインシュタイン空間。オックスフォード：ペルガモン。ISBN 0080123155。、RFケレハーとJ.ウッドローによる翻訳。
• ステファニー、H.クレイマー、D.マッカラム、M. Hoenselaers、C. & Herlt、E. (2003)。アインシュタインの場方程式の正確な解 (第 2 版)。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-46136-7。 第4章、第26章を参照