一般相対論におけるフレーム場

一般相対性理論におけるフレーム場（テトラッドまたは四辺形とも呼ばれる）は、物理的には時空のモデルとして解釈されるロレンツ多様体上で定義される、 1 つの時間的と 3 つの空間的 の 4 つの点ごとの正規直交ベクトル場のセットです。時間的単位ベクトル場は で表され、3 つの空間的単位ベクトル場は で表されます。多様体上で定義されるすべてのテンソル量は、フレーム場とその双対コフレーム場を使用して表現できます。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\,{\vec {e}}_{3}}$

フレーム場は1928年にアルバート・アインシュタインによって一般相対論に導入された[ 1 ] 。 [ ^{2 ]}

四分音符のインデックス表記については、「四分音符 (インデックス表記)」で説明されています。

ロレンツ多様体のフレーム場は、常に、与えられた時空に浸っている理想的な観測者の族に対応します。時間的単位ベクトル場の積分曲線は、これらの観測者の世界線であり、与えられた世界線に沿った各イベントでは、3 つの空間的単位ベクトル場が、観測者が持つ空間トライアドを指定します。トライアドは、観測者の世界線の非常に近くで有効な、局所的な実験室フレームの空間座標軸を定義するものと考えることができます。

一般に、これらの観測者の世界線は時間的測地線である必要はありません。いずれかの世界線がどこかの領域で測地線経路から曲がっている場合、観測者を、加速ベクトルの大きさに等しい推力を持つ理想的なロケットエンジンを使用して加速するテスト粒子と考えることができます。あるいは、観測者が静水圧平衡にある流体の球の中の物質に付着している場合、この物質は一般に、流体の球を自身の重力に抗して支えている圧力の正味の効果によって外側に加速されます。他の可能性としては、電気真空溶液中の自由に帯電したテスト粒子に付着した観測者（もちろんローレンツ力によって加速されます）や、回転するテスト粒子に付着した観測者（スピン-スピン力によって加速される可能性があります）などがあります。

フレームは幾何学的オブジェクトであることを認識することが重要です。つまり、ベクトル場は (滑らかな多様体では)座標チャートの選択とは無関係に意味を持ち、(ローレンツ多様体では) 直交性と長さの概念も同様です。したがって、ベクトル場やその他の幾何学的量と同様に、フレーム場はさまざまな座標チャートで表すことができます。特定のフレームに関するテンソル量の成分の計算は、フレームを表すためにどの座標チャートが使用されても、 常に同じ結果になります。

これらの場は、曲がった時空でディラック方程式を書くために必要です。

フレームを書き出すには、ローレンツ多様体上の座標チャートを選択する必要があります。すると、多様体上のすべてのベクトル場は、4 つの座標基底ベクトル場 の線形結合として書き出すことができます。

${\displaystyle {\vec {X}}=X^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

ここでは、アインシュタインの総和規則が使用され、ベクトル場は1階の 線型 微分作用素として考えられ、成分は反変成分と呼ばれることが多い。これは、接束の切断に対する標準的な表記規則に従っている。一般的に使用されている座標基底ベクトル場の代替表記法は以下のとおりである。${\displaystyle X^{\mu }}$${\displaystyle \partial /\partial x^{\mu }\equiv \partial _{x^{\mu }}\equiv \partial _{\mu }.}$

特に、フレーム内のベクトル場は次のように表現できます。

${\displaystyle {\vec {e}}_{a}={e_{a}}^{\mu }\,\partial _{x^{\mu }}.}$

フレームを「設計」する際には、当然、与えられたメトリックを使用して、4 つのベクトル場がどこでも正規直交であることを確認する必要があります。

より現代的なテキストでは、 およびまたはの表記法が採用されています。これにより、時空計量を座標接線ベクトルの 外積として記述するという視覚的に巧妙なトリックが可能になります。${\displaystyle \mathbf {g} _{\mu }}$${\displaystyle \partial _{x^{\mu }}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \sigma _{a}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{a}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\mathbf {g} _{\mu }\otimes \mathbf {g} _{\nu }}$

平坦空間ミンコフスキー計量はガンマの積として表される。

${\displaystyle \eta _{ab}=\gamma _{a}\otimes \gamma _{b}}$

表記法にを選択することは、ディラック行列に使用される表記法と意図的に融合するものであり、 をベクトルとしてだけでなく、代数、つまり時空代数の要素として扱うことを可能にします。適切に使用すると、スピン接続 の記述に使用される表記法の一部を簡略化できます。 ${\displaystyle \gamma _{a}}$${\displaystyle \gamma _{a}}$

署名が採用されると、双対性により、基底のすべてのベクトルは共基底に双対共ベクトルを持ち、逆もまた同様です。したがって、すべてのフレーム体は一意のコフレーム体に関連付けられ、逆もまた同様です。コフレーム体は、コタンジェントバンドルの 4 つの直交セクションのセットです。

あるいは、計量テンソルは、座標基底を用いてコフレームを記述し、計量テンソルが次のように与えられると規定することによって指定することができる。

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sum _{i=1}^{3}\sigma ^{i}\otimes \sigma ^{i},}$

ここで、 はテンソル積を表します。これは、コフレームが正規直交であるということを言い換えただけです。フレームを書き出して（そしてデュアルコフレームに渡して）から計量テンソルを取得するためにこれを使用するか、計量テンソルから始めて、それを使用してフレームが他の手段で取得されたことを確認するかに関係なく、常に真となります。 ${\displaystyle \otimes }$

ビエルバイン場 には、一般時空座標を表す と、局所ローレンツ時空または局所実験室座標を表す 2 種類のインデックスがあります。${\displaystyle e_{\ a}^{\mu }}$${\displaystyle \mu \,}$${\displaystyle a\,}$

四角場またはフレーム場は、計量テンソルの「行列平方根」とみなすことができます。座標基底では、 ${\displaystyle g^{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle g^{\mu \nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ b}^{\nu }\eta ^{ab}\,}$

ここで、ローレンツ計量です。 ${\displaystyle \eta ^{ab}\,}$

局所ローレンツ指数は、一般時空座標が計量テンソルで増減するのと同じように、ローレンツ計量で増減します。例:

${\displaystyle T^{a}=\eta ^{ab}T_{b}.}$

ビエルバイン場は時空と局所ローレンツ指数間の変換を可能にします。例:

${\displaystyle T_{a}=e_{\ a}^{\mu }T_{\mu }.}$

ビエルバイン場自体も同様の方法で操作できます。

${\displaystyle e_{\ a}^{\nu }=e_{\ a}^{\mu }e_{\ \mu }^{\nu }\,}$、 以来${\displaystyle e_{\ \mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }.}$

そして、これらを組み合わせることもできます。

${\displaystyle T^{a}=e_{\mu }^{\ a}T^{\mu }.}$

さらにいくつかの例: 時空と局所ローレンツ座標を混在させることができます。

${\displaystyle T^{\mu a}=e_{\nu }^{\ a}T^{\mu \nu }.}$

局所ローレンツ座標は、一般時空座標とは異なる変換を行います。一般座標変換では次のようになります。

${\displaystyle T'^{\mu a}={\frac {\partial x'^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}T^{\nu a}}$

一方、局所ローレンツ変換では次のようになります。

${\displaystyle T'^{\mu a}=\Lambda (x)_{\ b}^{a}T^{\mu b}.}$

座標基底ベクトルには、その対のリー括弧が消えるという特別な性質があります。局所的に平坦な領域を除いて、フレームからのベクトル場の少なくとも一部のリー括弧は消えません。フレームに関するテンソル オブジェクトのコンポーネント (座標基底に関するコンポーネントではありません) は、フレームに対応する理想的な観測者のファミリーによって行われた測定の観点から直接解釈できるため、それらを使用して計算するために必要な結果的な負担は許容されます。

座標基底ベクトルはnullになることがあります。これは定義上、フレーム ベクトルでは発生しません。

いくつかのフレームは他のフレームよりも優れています。特に真空または電気真空ソリューションでは、慣性観測者（力を感じない）の物理的経験が特に興味深い場合があります。慣性フレームの数学的特徴付けは非常に単純です。時間的単位ベクトル場の積分曲線は測地線合同を定義する必要があります。言い換えると、その加速度ベクトルはゼロである必要があります。

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}=0}$

また、各観測者が持つ空間トライアドが回転しないようにすることが望まれることもよくあります。この場合、トライアドはジャイロ安定化されていると見なすことができます。非回転慣性（NSI）フレームの基準も非常に単純です。

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j}=0,\;\;j=0\dots 3}$

これは、各観測者の世界線に沿って移動すると、その空間トライアドが平行移動することを意味します。非回転慣性フレームは、一般相対性理論において特別な位置を占めています。なぜなら、それらは、特殊相対性理論で使用されるローレンツ フレーム(ミンコフスキー真空内の特殊な非回転慣性フレーム)に、曲がったローレンツ多様体内で可能な限り近いからです。

より一般的には、観測者の加速度がゼロでない場合、共変微分を${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{0}\neq 0}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}\,{\vec {e}}_{j},\;j=1\dots 3}$

（空間的に投影された）フェルミ–ウォーカー微分を使用して、非回転フレームを定義します。

ロレンツ多様体が与えられれば、慣性運動などの追加の特性が必要な場合でも、無限の数のフレーム フィールドを見つけることができます。ただし、与えられたフレーム フィールドは、多様体の一部にのみ定義される可能性があります。

いくつかの簡単な例を詳しく検討すると有益でしょう。有名なシュワルツシルト真空を考えてみましょう。これは、星のような孤立した非回転球対称の巨大な物体の外側の時空をモデル化したものです。ほとんどの教科書では、計量テンソルは次のように静的な極球図で書かれています。

${\displaystyle ds^{2}=-(1-2m/r)\,dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-2m/r}}+r^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <t<\infty ,\;2m<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

より正式には、計量テンソルは座標共基に関して次のように展開できる。

${\displaystyle g=-(1-2m/r)\,dt\otimes dt+{\frac {1}{1-2m/r}}\,dr\otimes dr+r^{2}\,d\theta \otimes d\theta +r^{2}\sin(\theta )^{2}\,d\phi \otimes d\phi }$

コフレームは次の式から読み取ることができます。

${\displaystyle \sigma ^{0}={\sqrt {1-2m/r}}\,dt,\;\sigma ^{1}={\frac {dr}{\sqrt {1-2m/r}}},\;\sigma ^{2}=rd\theta ,\;\sigma ^{3}=r\sin(\theta )d\phi }$

このコフレームがシュワルツシルト計量テンソルに本当に対応しているかどうかを確認するには、このコフレームを

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

フレーム デュアルは、以下のようにコフレームの逆です。(フレーム デュアルも、ローカル インデックスを同じ位置に保つために転置されます。)

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-2m/r}}}\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\partial _{r},\;{\vec {e}}_{2}={\frac {1}{r}}\partial _{\theta },\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\partial _{\phi }}$

（プラス記号は、が未来を指していることを保証します。）これは、ロケットエンジンを使用して巨大な物体の上を「ホバリング」する静的観測者の経験をモデル化するフレームです。位置を維持するために必要な推力は、加速度ベクトルの大きさによって決まります。 ${\displaystyle \sigma ^{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=-{\frac {m/r^{2}}{\sqrt {1-2m/r}}}\,{\vec {e}}_{1}}$

これは、観測者が物体に向かって落下するのを避けるために物体から離れる方向に加速する必要があるため、放射状に内側を向いています。一方、空間基底ベクトルの空間的に投影されたフェルミ導関数（ に関して）はゼロになるため、これは回転しないフレームです。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

これで、我々のフレームとその双対コフレームに関するさまざまなテンソル量の成分を計算できるようになりました。

例えば、静的観測者に対する潮汐テンソルは、テンソル表記（座標基底用）を使用して次のように定義されます。

${\displaystyle E[X]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

ここで、表記が乱雑にならないように次のように書きます。コフレームに関するゼロでない成分は、 ${\displaystyle {\vec {X}}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle E[X]_{11}=-2m/r^{3},\;E[X]_{22}=E[X]_{33}=m/r^{3}}$

対応する座標基底成分は

${\displaystyle E[X]_{rr}=-2m/r^{3}/(1-2m/r),\;E[X]_{\theta \theta }=m/r,\;E[X]_{\phi \phi }=m\sin(\theta )^{2}/r}$

(表記に関する簡単な注意: 多くの著者は、フレームを参照する抽象的なインデックスにキャレットを置きます。特定のコンポーネントを書き留める場合、フレームのコンポーネントを 0,1,2,3 で表し、座標コンポーネントを で表すと便利です。 のような表現はテンソル方程式として意味をなさないため、混乱する可能性はありません。) ${\displaystyle t,r,\theta ,\phi }$${\displaystyle S_{ab}=36m/r}$

ニュートン重力の潮汐テンソル と比較してください。これは重力ポテンシャルのヘッセ行列のトレースレス部分です。3次元ユークリッド空間で定義されたテンソル場のテンソル表記法を使用すると、これは次のように書くことができます。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=U_{,ij}-{\frac {1}{3}}{U^{,k}}_{,k}\,\eta _{ij}}$

読者はこれをさらに進めて（U が調和的である場合、トレース項は実際には同じように消えることに注意）、結果を次の基本的なアプローチと比較したいと考えるかもしれません。同じ放射状線上にある 2 人の近くの観測者にかかる重力を比較できます。

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

テンソルを議論する際には多重線型代数を扱っているので、1次の項のみを保持するので、 となる。同様に、同じ球面上に横たわる2人の近くの観測者にかかる重力を比較することができる。基本的な三角法と小角近似を使用すると、力のベクトルは球面の接線ベクトルだけ異なることがわかり、その大きさは 次のようになる。${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$${\displaystyle r=r_{0}}$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

小角近似を使用することで、 の項をすべて無視したので、接線成分は になります。ここでは、3 次元ユークリッド空間の極球面チャートから得られる明らかなフレームを参照しています。 ${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

明らかに、上で計算された座標成分は正しい方法でスケーリングされていないため、観測者が近似的に測定するものと対応できないことは明らかです。(偶然にも、ニュートン潮汐テンソル成分は、上で記述した相対論的潮汐テンソル成分と正確に一致します。) ${\displaystyle E[X]_{\theta \theta },\,E[X]_{\phi \phi }}$

慣性フレームを見つけるには、静的フレームを 方向に未決定のブーストパラメータ（ラジアル座標に依存）でブーストし、新しい未決定フレームの加速度ベクトルを計算してこれをゼロに設定し、未知のブーストパラメータについて解きます。結果は、質量の大きい物体に向かって自由にラジアル落下する観測者の物理的体験を研究するために使用できるフレームになります。積分定数を適切に選択することで、空間の無限遠 で静止状態から落下するルメートル観測者のフレームが得られます。（このフレーズは意味をなさないが、読者は間違いなく私たちの意味を理解するのに苦労しないでしょう。）静的極球面チャートでは、このフレームはルメートル座標から取得され、次のように記述できます 。${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\frac {1}{1-2m/r}}\,\partial _{t}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}-{\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

、および は、その積分曲線が、落下する観測者の世界線を表す時間的測地線であるため、当然のことながら「内側に傾く」ことに注意してください 。実際、 に関する 4 つの基底ベクトルすべての共変微分は同一にゼロになるため、新しいフレームは回転しない慣性フレームになります。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}\neq {\vec {f}}_{0},\;{\vec {e}}_{1}\neq {\vec {f}}_{1}}$${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$

もし我々の巨大な物体が実際には（回転しない）ブラックホール であるならば、我々はおそらく で事象の地平線を通り抜けるルメートルの観測者の経験をたどりたいと思うだろう。静的極球座標は地平線で座標特異点を持つので、より適切な座標チャートに切り替える必要がある。最も単純な選択肢は、新しい時間座標を次のように定義することである。 ${\displaystyle r=2m}$

${\displaystyle T(t,r)=t-\int {\frac {\sqrt {2m/r}}{1-2m/r}}\,dr=t+2{\sqrt {2mr}}+2m\log \left({\frac {{\sqrt {r}}-{\sqrt {2m}}}{{\sqrt {r}}+{\sqrt {2m}}}}\right)}$

これにより、パンルヴェチャートが得られます。新しい線要素は

${\displaystyle ds^{2}=-dT^{2}+\left(dr+{\sqrt {2m/r}}\,dT\right)^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle -\infty <T<\infty ,\;0<r<\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

パンルヴェチャートに関して、ルメートルフレームは

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}=\partial _{T}-{\sqrt {2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}={\frac {1}{r\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

それらの空間トライアドは、上で述べた 3 次元ユークリッド空間のフレームとまったく同じように見えることに注目してください (ニュートン潮汐テンソルを計算したとき)。実際、空間ハイパースライスは平坦な 3 次元ユークリッド空間に対して局所的に等長であることがわかります。(これは、シュワルツシルト真空の注目すべき、かなり特殊な特性です。ほとんどの時空は、平坦な空間セクションへのスライスを許可しません。) ${\displaystyle T=T_{0}}$

ルメートル観測点に関してとられた潮汐テンソルは

${\displaystyle E[Y]_{ab}=R_{ambn}\,Y^{m}\,Y^{n}}$

ここでは、表記が乱雑になるのを避けるために と書きます。これは、異なる観測者族を使用して定義されているため、上で得たテンソルとは異なるテンソルです。それでも、その非ゼロ成分は見覚えがあります: 。(これもシュワルツシルト真空のかなり特殊な特性です。) ${\displaystyle Y={\vec {f}}_{0}}$${\displaystyle E[Y]_{11}=-2m/r^{3},\,E[Y]_{22}=E[Y]_{33}=m/r^{3}}$

事象の地平線上または事象の地平線内部に静的観測者を定義する方法がまったくないことに注意してください。一方、ルメートル観測者は静的極球面チャートによってカバーされる外部領域全体でも定義されていないため、これらの例では、ルメートル フレームも静的フレームも多様体全体では定義されていません。

ルメートルの観測者を見つけたのと同じ方法で、静的フレームを方向 の未決定パラメータ（半径座標に依存）でブーストし、加速度ベクトルを計算し、これが赤道面で消えるようにすることができます。新しい萩原フレームは、巨大な物体の周りの安定した円軌道上の観測者の物理的経験を説明します。これは、天文学者の萩原雄介によって最初に議論されたようです。 ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

静的極球面チャートでは、萩原フレームは

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}\,\sin(\theta )}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

赤道面では

${\displaystyle {\vec {h}}_{0}={\frac {1}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{t}+{\frac {\sqrt {m/r^{3}}}{\sqrt {1-3m/r}}}\,\partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{1}={\sqrt {1-2m/r}}\,\partial _{r}}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta }}$

${\displaystyle {\vec {h}}_{3}={\frac {\sqrt {1-2m/r}}{r{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{\phi }+{\frac {\sqrt {m/r}}{{\sqrt {1-2m/r}}\,{\sqrt {1-3m/r}}}}\,\partial _{t}}$

潮汐テンソルは、赤道面では次のように表される。 ${\displaystyle E[Z]_{ab}}$${\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {h}}_{0}}$

${\displaystyle E[Z]_{11}=-{\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {2-3m/r}{1-2m/r}}=-{\frac {2m}{r^{3}}}-{\frac {m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{22}={\frac {m}{r^{3}}}\,{\frac {1}{1-3m/r}}=-{\frac {m}{r^{3}}}+{\frac {3m^{2}}{r^{4}}}+O(1/r^{5})}$

${\displaystyle E[Z]_{33}={\frac {m}{r^{3}}}}$

したがって、与えられた座標半径で静止している観測者と比較すると、同じ座標半径を持つ安定した円軌道上の萩原観測者は、大きさがわずかに大きい放射状の潮汐力と、もはや等方性ではない（ただし、動きの方向に対して直交する方向にわずかに大きい）横方向の潮汐力を測定します。

萩原フレームは領域 上でのみ定義されることに注意してください。実際、安定した円軌道は 上にのみ存在するため、この軌跡内ではフレームを使用しないでください。 ${\displaystyle r>3m}$${\displaystyle r>6m}$

フェルミ導関数を計算すると、先ほど示したフレーム フィールドが、実際にはジャイロ安定化フレームに対して回転していることがわかります。主な理由は簡単にわかります。このフレームでは、各萩原観測者が空間ベクトルを放射状に揃えているため、観測者が中心の質量の大きいオブジェクトの周りを周回するときに回転します。ただし、この観測を補正した後でも、萩原観測者が持つジャイロスコープの回転軸の小さな歳差運動は残ります。これが、ド ジッター歳差運動効果 (測地歳差運動効果とも呼ばれます) です。 ${\displaystyle {\vec {h}}_{1},\;{\vec {h}}_{3}}$${\displaystyle {\vec {h}}_{2}}$

この記事では、一般相対論へのフレームの応用、特にその物理的解釈に焦点を当ててきました。ここでは、一般的な概念について簡単に説明します。n次元リーマン多様体または擬リーマン多様体では、フレーム場は、多様体の各点における接空間の基底を形成する正規直交 ベクトル場の集合です。これは、多様体が平行化可能である場合にのみ、連続的にグローバルに可能です。前と同様に、フレームは与えられた座標基底によって指定でき、平坦でない領域では、フレームのペアワイズリー括弧の一部は消えません。

実際、任意の内積空間 が与えられた場合、 の正規直交基底のすべての組からなる新しい空間を定義できます。この構成を各接空間に適用すると、(擬似)リーマン多様体の正規直交フレームバンドルが得られ、フレームフィールドはこのバンドルのセクションになります。さらに一般的には、任意のベクトルバンドルに関連付けられたフレームバンドル、または任意の主ファイバーバンドルを考慮することもできます。表記法は、基底を参照するインデックスとファイバーを参照するインデックスを区別することを避けるのが難しくなるため、少し複雑になります。多くの著者は、ファイバーによってインデックス付けされたコンポーネントを指すときに、 内部コンポーネントについて語っています。${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

• 一般相対論における正確な解
• ジョルジュ・ルメートル
• カール・シュヴァルツシルト
• 移動フレーム
• ポール・パンルヴェ
• テトラッド形式
• 萩原 雄介

• Manuel Tecchiolli (2019). 「コフレーム形式とアインシュタイン-カルタン理論の数学について - 簡単なレビュー」. Universe . 5(10) (Torsion Gravity): 206. arXiv : 2008.08314 . Bibcode :2019Univ....5..206T. doi : 10.3390/universe5100206 .
• フランダース、ハーレー（1989年）。微分形式とその物理科学への応用。ニューヨーク：ドーバー。ISBN 0-486-66169-5。E ³のフレームについては第 IV 章を参照し、リーマン多様体のフレーム フィールドについては第 VIII 章を参照してください。この本ではローレンツ多様体については詳しく取り上げていませんが、この背景知識があれば、読者は次の引用に十分備えることができます。
• ミスナー、チャールズ; ソーン、キップ・S; ウィーラー、ジョン・アーチボルド (1973)。『重力』サンフランシスコ: WH フリーマン。ISBN 0-7167-0344-0。本書では、フレーム体（コフレーム体）はベクトル（コベクトル）の非ホロノミック基底と呼ばれます。重要な情報は広範囲に散らばっていますが、広範な索引を使用して簡単に見つけることができます。
• Landau, LD; Lifschitz, EF (1980).場の古典理論（第4版） . ロンドン: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9。この本では、フレームフィールドはテトラッドと呼ばれます（ニューマン-ペンローズ形式で使用されている現在の標準用語であるNPテトラッドと混同しないでください）。セクション98を参照してください。
• De Felice, F.; Clarke, CJ (1992)。曲がった多様体上の相対性。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-42908-0。フレームとコフレームについては第 4 章を参照してください。フレーム フィールドに関する詳細情報が必要な場合は、ここを参照するのがよいでしょう。