線形化された重力

一般相対性理論において、線形化重力とは、時空の幾何学を記述する計量テンソルに摂動論を適用したものである。したがって、線形化重力は、重力場が弱い場合の重力の影響をモデル化する有効な方法となる。線形化重力の利用は、重力波や弱重力場における重力レンズ現象の研究に不可欠である。

弱場近似

計量符号 $（-+++）を含むMTW符号規約を用いて$ 時空の幾何学を記述するアインシュタイン場の方程式（EFE）は、

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }

どこ $\displaystyle R_{\mu \nu }}$ はリッチテンソルです。 $R$ はリッチスカラーです。 $\displaystyle T_{\mu \nu }}$ はエネルギー・運動量テンソルであり、 $\kappa$ はアインシュタインの重力定数であり、 $\displaystyle g_{\mu \nu }}$ は、方程式の解を表す時空計量テンソルです。

アインシュタイン記法で書き出すと簡潔ですが、リッチテンソルとリッチスカラーには計量テンソルに対する非常に非線形な依存関係が隠されており、ほとんどのシステムで正確な解を見つけることは現実的ではありません。しかし、時空の曲率が小さいシステム（つまり、EFEの項が2次である）を記述する場合 $\displaystyle g_{\mu \nu }}$ 運動方程式に大きく寄与しない）場の方程式の解をミンコフスキー計量としてモデル化することができる^{[注1 ]} $\eta _{\mu \nu }$ 小さな摂動項 $\displaystyle h_{\mu \nu }}$ 。言い換えると：

g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\qquad |h_{\mu \nu }|\ll 1.

この体制では、一般的な指標を代入すると $\displaystyle g_{\mu \nu }}$ この摂動近似により、リッチテンソルの簡略化された式が得られる。

R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }),

どこ $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ 摂動の痕跡は、 $\displaystyle \partial _{\mu }}$ は、に関する偏微分を表す。 $x^{\mu }$ 時空の座標、そして $\square =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ はダランベール演算子です。

リッチスカラーとともに、

R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\square h,

場の方程式の左辺は次のように簡略化される。

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\square h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\square h).

したがって、EFEは、次の式で表される線形2階偏微分方程式に還元される。 $h_{\mu \nu }$ 。

ゲージ不変性

一般時空を分解するプロセス $g_{\mu \nu }$ ミンコフスキー計量に摂動項を加えたものは一意ではない。これは、座標の選択によって異なる形式が得られる可能性があるためである。 $h_{\mu \nu }$ この現象を捉えるために、ゲージ対称性の概念が導入される。

ゲージ対称性とは、基となる座標系が微小量だけ「シフト」されても変化しないシステムを記述するための数学的手法です。したがって、摂動計量は $h_{\mu \nu }$ は異なる座標系間で一貫して定義されておらず、それが記述する全体的なシステムはです。

これを形式的に捉えるには、摂動の非一意性 $h_{\mu \nu }$ 時空上の多様な微分同相写像の集合の結果として表現され、 $h_{\mu \nu }$ 十分に小さい。したがって、 $h_{\mu \nu }$ を一般的な微分同相写像の集合で定義し、弱場近似に必要な小スケールを保持する部分集合を選択する。したがって、次のように定義できる。 $\phi$ は、平坦なミンコフスキー時空を計量で表されるより一般的な時空に写像する任意の微分同相写像を表す。 $g_{\mu \nu }$ これにより、摂動メトリックは、プルバックの差として定義できます。 $g_{\mu \nu }$ そしてミンコフスキー計量：

h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }.

微分同相写像 $\phi$ したがって、次のように選択することができる。 $\vert h_{\mu \nu }\vert \ll 1$ ⁠ .

ベクトル場が与えられたとき $\xi ^{\mu }$ 平坦な背景時空上で定義される微分同相写像の追加の族 $\psi _{\epsilon }$ は、 $\xi ^{\mu }$ そしてパラメータ化される⁠ $\epsilon >0$ これらの新しい微分同相写像は、上述の「微小シフト」の座標変換を表すために使用されます。 $\phi$ ⁠、摂動の族は次のように与えられる。

{\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}&=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\&=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}

したがって、極限では $\epsilon \rightarrow 0$ ⁠、

h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }

どこ ${\mathcal {L}}_{\xi }$ ベクトル場に沿ったリー微分である $\xi _{\mu }$ ⁠ .

リー微分を計算すると、摂動計量の最終的なゲージ変換が得られる。 $h_{\mu \nu }$ ⁠ :

h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }),

これは、同一の物理系を記述する摂動計量の集合を正確に定義するものである。言い換えれば、線形化された場の方程式のゲージ対称性を特徴づけるものである。

ゲージの選択

ゲージ不変性を利用することで、適切なベクトル場を選択することにより、摂動計量の特定の性質を保証することができる。 $\xi ^{\mu }$ ⁠ .

横方向ゲージ

摂動がどのように影響するかを調べる $h_{\mu \nu }$ 長さの測定値を歪めるため、次の空間テンソルを定義すると便利です。

s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}

（注：インデックスは空間成分のみを対象としています。） $i,j\in \{1,2,3\}$ ⁠ )。したがって、 ⁠を使用することにより $s_{ij}$ 摂動の空間成分は次のように分解できる。

h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}

どこ $\Psi ={\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$ 。

テンソル $s_{ij}$ は、構成上トレースレスであり、摂動が空間の測定値を伸縮させる量を表すため、歪みと呼ばれます。重力波の研究においては、歪みは横方向ゲージと併用すると特に有用です。このゲージは、空間成分を選択することによって定義されます。 $\xi ^{\mu }$ 関係を満たす

\nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij},

次に時間要素を選択する $\xi ^{0}$ 満足させる

\nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}.

前節の式を用いてゲージ変換を行うと、ひずみは空間的に横方向になる。

\partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0,

追加プロパティ付き：

\partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0.

同期ゲージ

同期ゲージは、時間測定を歪めないようにメトリックを要求することで、摂動メトリックを単純化します。より正確には、同期ゲージは、非空間成分が $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ ゼロ、すなわち

h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0.

これは、時間要素を要求することによって達成できます。 $\xi ^{\mu }$ 満足させる

\partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}

空間コンポーネントが満たす必要がある

\partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}.

調和ゲージ

調和ゲージ（ローレンツゲージとも呼ばれる^{[注2 ]}）は、線形化された場の方程式を可能な限り簡略化する必要がある場合に選択されます。これは、条件が満たされる場合に可能です。

\partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h

これは真実です。これを実現するために、 $\xi _{\mu }$ 関係を満たす必要がある

\square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h.

したがって、調和ゲージを使用すると、アインシュタインテンソル $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ に縮小

G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right).

したがって、「トレース反転」メトリックの観点から記述すると、 ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$ ⁠、線形化された場の方程式は次のように簡略化されます。

\square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-2\kappa T_{\mu \nu }.

これは厳密に解くことができ、重力波を定義する波動解が得られる。

注記

↑これは背景時空が平坦であることを前提としています。既に曲がっている時空に摂動論を適用する場合、この項を曲がった背景を表す計量に置き換えることで、同様に機能します。
↑ローレンツと混同しないように。

さらに読む

キャロル、ショーン・M. (2003).時空と幾何学：一般相対性理論入門. アディソン・ウェスリー. ISBN 978-0-805-38732-2。

外部リンク

Wikiquoteにある線形重力に関する引用文

[1] これは背景時空が平坦であることを前提としています。既に曲がっている時空に摂動論を適用する場合、この項を曲がった背景を表す計量に置き換えることで、同様に機能します。

[2] ローレンツと混同しないように。

[注1 ]

[注2 ]