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数学において、積分可能性とは、ある種の力学系が持つ性質であり、大まかに言えば、その系の解が十分に「単純」であるため、（原理的には）正確に書き表すことができることを意味します。より正確には、いくつかの異なる形式的な定義がありますが、積分可能な系とは、保存量、すなわち第一積分が十分に多く、その運動が位相空間の次元よりもはるかに小さい次元の部分多様体に限定される力学系と考えることができます。この意味で、積分可能な系はカオス系とは正反対です。カオス系では、初期条件のわずかな変化が、解の位相空間における振る舞いに大きなずれを引き起こします。
積分可能なシステムを特徴づけるものとして、3つの特徴がよく挙げられます。[ 1 ]
可積分系は、より一般的な力学系（典型的にはカオス系）とは質的に大きく異なると考えられる。後者は一般的に保存量を持たず、漸近的に扱いが困難である。なぜなら、初期条件におけるごくわずかな摂動が、十分な時間経過とともに軌道に極めて大きなずれをもたらす可能性があるからである。
物理学で研究される多くのシステムは、特にハミルトン的な意味で完全に積分可能であり、その代表的な例は多次元調和振動子である。もう一つの標準的な例は、1つの固定中心（例えば太陽）または2つの固定中心の周りを回る惑星の運動である。その他の基本的な例としては、剛体の重心の周りを回る運動（オイラーのコマ）や、軸対称な剛体の対称軸上の点の周りを回る運動（ラグランジュのコマ）などが挙げられる。
1960年代後半、物理学には無限の自由度を持つ完全積分可能なシステムが存在することが認識された。例えば、浅水波のいくつかのモデル（コルテヴェーク・ド・フリース方程式）、非線形シュレディンガー方程式で記述される光ファイバーのカー効果、戸田格子などの特定の積分可能な多体システムなどが挙げられる。積分可能なシステムの現代理論は、1965年にマーティン・クルスカルとノーマン・ザブスキーがソリトンを数値的に発見したことで復活し、 1967年には逆散乱変換法が開発された。
ハミルトン系の特殊な場合、流れのパラメータに対して十分な数の独立したポアソン可換な第一積分が存在し、不変レベル集合（ラグランジュ葉層構造の葉）上の座標系として機能でき、流れが完全でエネルギーレベル集合がコンパクトであれば、これはリウヴィル・アーノルドの定理、すなわち作用角変数の存在を意味します。一般的な力学系にはこのような保存量はありません。自律的なハミルトン系の場合、エネルギーは一般に唯一の保存量であり、エネルギーレベル集合上では、流れは典型的にはカオス的です。
可積分系を特徴づける重要な要素の一つはフロベニウスの定理であり、これは、局所的に最大積分多様体による葉層構造を持つ場合、その系はフロベニウス可積分（すなわち、可積分分布によって生成される）であると述べている。しかし、力学系の意味での可積分性は、葉が部分多様体に埋め込まれた正則な葉層構造を持つことを要求するため、局所的な性質ではなく、大域的な性質である。
積分可能性は、一般的な解が既知の特殊関数の集合によって明示的に表現できることを必ずしも意味するものではありません。それは、システムの幾何学的構造とトポロジー、そして力学の性質に内在する特性です。
微分可能な力学系の文脈において、積分可能性の概念は、不変な正則葉層構造の存在を指します。すなわち、葉が流れの下で不変な最小次元の埋め込み部分多様体である葉層構造です。したがって、積分可能性の度合いは、不変葉層構造の葉の次元に応じて変化する概念となります。この概念は、ハミルトン系の場合には、リウヴィルの意味での完全積分可能性（下記参照）としてより洗練されており、この文脈で最も頻繁に言及されるのはこの完全積分可能性です。
積分可能性の概念の拡張は、格子などの離散システムにも適用可能です。この定義は、微分方程式系または有限差分方程式系である発展方程式を記述するために応用できます。
積分可能な力学系と積分不可能な力学系の区別は、規則的な運動とカオス的な運動という質的な意味合いを持ち、したがって、単にシステムが厳密な形で明示的に積分できるかどうかという問題ではなく、本質的な性質である。
ハミルトン系の特殊な設定では、リウヴィルの意味での可積分性の概念があります。（リウヴィル・アーノルドの定理を参照。）リウヴィル可積分性とは、位相空間を不変多様体で正則に葉層化し、その葉層化の不変量に関連付けられたハミルトンベクトル場が接線分布を張ることを意味します。別の言い方をすれば、機能的に独立なポアソン可換不変量の最大集合（すなわち、位相空間上の独立関数で、そのポアソン括弧が系のハミルトン系および互いにゼロになるもの）が存在するということです。
有限次元において、位相空間がシンプレクティックである場合（すなわち、ポアソン代数の中心が定数のみから構成される場合）、その次元は偶数でなければならない。そして、独立なポアソン可換不変量の最大数（ハミルトニアン自体を含む）は葉層構造の葉はシンプレクティック形式に関して完全に等方的であり、このような最大等方性葉層構造はラグランジュ葉層構造と呼ばれます。すべての自律ハミルトン系（すなわち、ハミルトン括弧とポアソン括弧が明示的に時間依存しない系）は、少なくとも1つの不変量、すなわちハミルトン系自体を持ち、その流れに沿った値はエネルギーです。エネルギー準位集合がコンパクトである場合、ラグランジュ葉層構造の葉はトーラスであり、これらの上の自然な線形座標は「角度」変数と呼ばれます。-形式はアクション変数と呼ばれ、結果として得られる正準座標はアクション角度変数と呼ばれます（下記参照）。
また、リウヴィルの意味での完全積分可能性と部分積分可能性、および超積分可能性と最大超積分可能性の概念も区別されます。本質的に、これらの区別は葉層構造の葉の次元に対応します。独立したポアソン可換不変量の数が最大数より少ない場合（ただし、自律系の場合は1つより多い場合）、そのシステムは部分積分可能であると言います。ポアソン可換可能な最大数を超えてさらに機能的に独立した不変量が存在し、したがって不変葉層構造の葉の次元がnより少ない場合、そのシステムは超積分可能であると言います。1次元の葉（曲線）を持つ正則葉層構造が存在する場合、これは最大超積分可能と呼ばれます。
有限次元ハミルトン系がリウヴィルの意味で完全に積分可能であり、エネルギー準位集合がコンパクトである場合、流れは完全であり、不変葉層構造の葉はトーラスになります。このとき、前述のように、作用-角度変数 と呼ばれる位相空間上の特別な正準座標の集合が存在し、不変トーラスは作用 変数の結合準位集合となります。したがって、これらはハミルトン流の完全な不変量（運動の定数）の集合を提供し、角度変数はトーラス上の自然な周期座標となります。これらの正準座標で表現された不変トーラス上の運動は、角度変数に関して線形です。
正準変換理論には、ハミルトン・ヤコビ法があり、ハミルトン方程式の解は、まず関連するハミルトン・ヤコビ方程式の完全解を見つけることによって求められます。古典的な用語では、これは完全に無視できる変数からなる正準座標系への変換を決定することと説明されます。つまり、ハミルトニアンが完全な正準「位置」座標系に依存しないため、対応する正準共役運動量はすべて保存量となります。コンパクトなエネルギー準位セットの場合、これは作用角変数を決定するための第一歩です。ハミルトン・ヤコビ型の偏微分方程式の一般理論では、完全解（つまり、 n 個の独立した積分定数に依存する解。ここでnは構成空間の次元）は非常に一般的な場合に存在しますが、局所的な意味でのみです。したがって、ハミルトン・ヤコビ方程式の完全解の存在は、リウヴィルの意味で完全積分可能であることを特徴づけるものでは決してありません。明示的に積分可能な場合のほとんどは、変数の完全分離を伴い、分離定数が必要な積分定数の完全なセットを提供します。これらの定数が、完全な位相空間設定内で、ラグランジュ葉層構造の葉に制限された完全なポアソン可換関数の値として再解釈できる場合にのみ、システムはリウヴィルの意味で完全積分可能であるとみなすことができます。
古典的な可積分系への関心が再び高まったのは、1960年代後半に、コルテヴェーク・ド・フリース方程式（浅い盆地における1次元非散逸流体ダイナミクスを記述する方程式）のような偏微分方程式の強安定な局所解であるソリトンが、これらの方程式を無限次元の可積分ハミルトン系と見なすことで理解できることが発見されたことがきっかけでした。ソリトンの研究は、このような系を「積分」するための非常に実りあるアプローチ、すなわち 逆散乱変換とより一般的な逆スペクトル法（多くの場合、リーマン・ヒルベルト問題に還元可能）につながり、関連する積分方程式を解くことによって、フーリエ解析のような局所線形法を非局所線形化に一般化します。
この方法の基本的な考え方は、位相空間内の位置によって決定され、対象となるシステムのダイナミクスの下で進化する線形演算子を導入し、その「スペクトル」（適切に一般化された意味で）が進化の下で不変となるようにすることです（Lax ペアを参照）。これにより、場合によっては、システムを完全に積分可能にするのに十分な不変量、つまり「運動の積分」が得られます。KdV 方程式のように自由度が無限にあるシステムの場合、これだけではリウヴィル積分可能性の性質を正確に定義するには不十分です。しかし、適切に定義された境界条件の下では、スペクトル変換は実際には完全に無視できる座標への変換として解釈でき、その座標では保存量が二重無限の正準座標の半分を形成し、流れはこれらの座標で線形化されます。場合によっては、これは作用角変数への変換と見なすこともできるが、通常、「位置」変数のうち実際に角度座標となるのは有限個だけであり、残りは非コンパクトである。
積分可能システムの現代理論で生まれたもう一つの視点は、廣田良吾[ 2 ]が先駆的に行った計算手法に由来するもので、元の非線形力学系を、後にτ関数として知られるようになった補助量に関する定数係数方程式の双線形系に置き換えるものでした。これらは現在、廣田方程式と呼ばれています。当初は逆散乱アプローチやハミルトニアン構造との明確な関係はなく、単なる計算ツールとして現れましたが、それでもソリトンなどの重要なクラスの解を導出できる非常に直接的な方法を提供しました。
その後、佐藤幹雄[ 3 ]とその弟子たち[ 4 ] [ 5 ]は、最初はカドムツェフ・ペトヴィアシュヴィリ階層のような可積分な偏微分方程式の階層の場合にこれを解釈し、その後、可積分な階層のより一般的なクラスに対して、一種の普遍的な位相空間アプローチとして解釈しました。このアプローチでは、通常、可換なダイナミクスは、(有限または無限)グラスマン多様体上の固定された(有限または無限)アーベル群作用によって決定されると単純に考えられました。τ関数は、群軌道の要素からグラスマン多様体内の何らかの原点への射影演算子の行列式とみなされ、広田方程式は、適切に定義された(無限)外部空間の射影化におけるグラスマン多様体のプリュッカー埋め込みを特徴付けるプリュッカー関係を表すものとされました。この外部空間は、フェルミオンフォック空間とみなされます。
双有理マップ :\mathbb {A} ^{N}} ⇢非定数有理写像が存在する場合、弱代数的に積分可能であると言われる。⇢満足有理マップとして。[ 6 ]
させて非特異アフィン多様体そして、その上で完全に積分可能な（上記参照）ダイナミクスを考え、ハミルトニアンをこのダイナミクスは、一般的な場合、代数的に完全に積分可能である（ACI）と言われます。レベルセットはアーベル多様体のアフィン部分（通常はスペクトル曲線のヤコビアン）であり、ハミルトニアンベクトル場はこのファイバーに限定すると、並進不変となる。 [ 7 ]
させて有限体上で考えられた射影空間に作用する双有理写像である任意の有理点に対して、ディオファントス積分可能であると言われます。反復の高さ多項式よりも速くは成長しない[ 8 ]
量子可積分系という概念も存在する。
量子設定では、位相空間上の関数はヒルベルト空間上の自己共役演算子に置き換えられ、ポアソン可換関数の概念は可換演算子に置き換えられる必要がある。保存則の概念は局所保存則に特化されなければならない。[ 9 ]すべてのハミルトニアンは、そのエネルギー固有状態への射影演算子によって与えられる無限個の保存量を持つ。しかし、これは特別な動的構造を意味するものではない。
量子可積分性を説明するには、自由粒子の設定を考えることが役立ちます。ここでは、すべてのダイナミクスは1体還元可能です。量子系は、ダイナミクスが2体還元可能である場合に可積分であると言われます。ヤン・バクスター方程式はこの還元可能性の結果であり、無限の保存量を与えるトレース恒等式につながります。これらのアイデアはすべて、量子逆散乱法に組み込まれており、代数的ベーテ仮説を使用して明示的な解を得ることができます。量子可積分モデルの例としては、リープ・リニガーモデル、ハバードモデル、およびハイゼンベルクモデルのいくつかのバリエーションがあります。[ 10 ]駆動タビス・カミングスモデルなど、明示的に時間依存する量子問題では、他のタイプの量子可積分性が知られています。[ 11 ]
物理学において、特に無限次元系における完全積分可能な系は、しばしば厳密に解けるモデルと呼ばれる。しかし、これはハミルトン的な意味での積分可能性と、より一般的な力学系的な意味での積分可能性との区別を曖昧にしてしまう。
統計力学には、古典的な系よりも量子可積分系に密接に関連する、厳密に解けるモデルも存在する。ヤン・バクスター方程式に基づく現代的な意味でのベーテ仮説法と量子逆散乱法という、密接に関連する2つの手法は、逆スペクトル法の量子版を提供する。これらは、統計力学における可解モデルの研究において、いずれも同様に重要である。
「厳密な可解性」という概念は、「解を既知の関数を用いて明示的に表現できる」という意味で用いられることがありますが、これはあたかもシステム自体の本質的な性質であるかのように解釈されがちです。実際には、解を表現するために利用できる「既知の」関数がたまたま存在するという、純粋に計算上の特徴に過ぎません。この概念には本質的な意味はありません。「既知の」関数とは、多くの場合、特定の与えられた方程式を満たすという事実によって定義され、そのような「既知の関数」のリストは絶えず増え続けているからです。「積分可能性」のこのような特徴づけには本質的な妥当性はありませんが、積分可能なシステムに期待されるような規則性を暗示している場合が多いのです。
