一般相対論における正確な解

一般相対性理論では、厳密解とは、導出に単純化の仮定を必要としないアインシュタイン場の方程式の解であるが、その導出の出発点は、物質が完全に球形であるような理想的なケースである可能性がある。数学的には、厳密解を見つけるということは、流体などの通常の物質の状態をモデル化するテンソル場や、電磁場などの古典的な非重力場を備えたローレンツ多様体を見つけることを意味する。

これらのテンソル場は、関連する物理法則に従う必要があります（たとえば、すべての電磁場はマクスウェル方程式を満たさなければなりません）。数理物理学で広く使用されている標準的なレシピに従うと、これらのテンソル場は、応力エネルギーテンソル に特定の寄与も生じさせる必要があります。^[1]（場はラグランジアンによって記述され、場 に関して変化すると場の方程式が得られ、計量 に関して変化すると場による応力エネルギー寄与が得られます。） ${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

最後に、応力エネルギーテンソルへのすべての寄与を合計すると、結果はアインシュタイン場の方程式の解になるはずである。

${\displaystyle G^{\alpha \beta }=\kappa \,T^{\alpha \beta }.}$

上記の場の方程式において、はアインシュタインテンソルであり、ローレンツ多様体の定義の一部である計量テンソルから一意に計算されます。アインシュタインテンソルを与えてもリーマンテンソル が完全に決定されるわけではなく、ワイルテンソル が未指定のままになるので (リッチ分解を参照)、アインシュタイン方程式は一種の適合条件と考えることができます。つまり、時空の幾何学は、あらゆる物質または非重力場の量と運動と一致していなければなりません。つまり、「今ここ」での非重力エネルギー運動量の直接的な存在が、「今ここ」でのリッチ曲率の比例量を引き起こすということです。さらに、場の方程式の共変微分を取り、ビアンキ恒等式を適用すると、適切に変化する非重力エネルギー運動量の量/動きによって、物質や非重力場が存在しない真空領域であっても、曲率のさざ波が重力放射として伝播する可能性があることがわかります。 ${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$

任意のローレンツ多様体は、アインシュタイン場の方程式の右辺 の解です。これは次の手順で説明できます。

• 任意のローレンツ多様体を取り、そのアインシュタインテンソル を計算する。これは純粋に数学的な演算である。${\displaystyle G^{\alpha \beta }}$
• アインシュタインの万有引力定数で割る ${\displaystyle \kappa }$
• 結果として得られる対称な2階テンソル場を応力エネルギーテンソル であると宣言します。${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

これは、一般相対性理論を使用する 2 つの補完的な方法があることを示しています。

• 応力エネルギーテンソルの形を（例えば、何らかの物理的な理由から）固定し、そのような右辺を持つアインシュタイン方程式の解を研究することができる（例えば、応力エネルギーテンソルを完全流体のテンソルとして選択すると、球対称の解が恒星モデルとして機能する）。
• あるいは、時空のいくつかの幾何学的特性を固定し、これらの特性を提供できる物質源を探すこともできます。これは、2000 年代以降、宇宙学者が行ってきたことです。彼らは、宇宙が均質、等方性、加速していると仮定し、どのような物質 (ダーク エネルギーと呼ばれる) がそのような構造をサポートできるかを解明しようとしています。

最初のアプローチでは、いわゆる応力エネルギー テンソルは、「合理的な」物質分布または非重力場から標準的な方法で生じなければなりません。実際には、この概念は非常に明確であり、特に許容される非重力場を 1916 年に知られていた唯一の場である電磁場に限定する場合はそうです。しかし、理想的には、仮定上の「応力エネルギー テンソル」に適用できる、純粋に数学的なテストを示す数学的特徴付けが必要です。このテストは、「合理的な」物理的シナリオから生じる可能性のあるすべてのものを通過させ、それ以外のものはすべて拒否します。そのような特徴付けは知られていません。代わりに、エネルギー条件と呼ばれる粗雑なテストがあります。これは、線形演算子の固有値と固有ベクトルに制限を課すのに似ています。一方で、これらの条件はあまりにも寛容すぎます。物理的に合理的であるとほとんど誰も信じない「解」を認めてしまうからです。一方で、それらはあまりにも制限的すぎるかもしれない。最も一般的なエネルギー条件は、カシミール効果によって明らかに破られているのだ。

アインシュタインは、厳密解の定義の別の要素も認識していました。厳密解は、（追加の基準を満たす）ローレンツ多様体、つまり滑らかな多様体でなければなりません。しかし、一般相対性理論を扱う場合、どこでも滑らかではない解を認めることは非常に有用であることがわかりました。例としては、完全な流体の内部解を真空の外部解と一致させることによって作成された多くの解や、衝撃的な平面波などがあります。ここでも、優雅さと利便性の間の創造的な緊張を満足のいく形で解決することは困難であることが判明しました。

このような局所的な反論に加えて、局所的には反論の余地がないものの、大域的には閉じた時間的曲線や分離点を持つ構造 (「ズボンの世界」)などの因果関係が疑わしい特徴を示す正確な解が非常に多く存在するという、はるかに困難な問題があります。実際、最もよく知られている正確な解のいくつかは、大域的には奇妙な特徴を持っています。

多くのよく知られた厳密解は、応力エネルギーテンソルの意図された物理的解釈に応じて、いくつかのタイプのいずれかに属します。

• 真空解：これは物質や非重力場が存在しない領域を記述します。${\displaystyle T^{\alpha \beta }=0}$
• 電磁真空解：与えられた曲がったローレンツ多様体上のソースフリーのマクスウェル方程式を解く電磁場からのみ生じる。これは、重力場の唯一のソースが電磁場の場エネルギー（および運動量）であることを意味する。${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• ヌルダスト解：与えられたローレンツ多様体上のマクスウェル場方程式を必ずしも解くことなく、非コヒーレントな電磁放射から生じると解釈できる応力エネルギーテンソルに対応している必要がある。${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• 流体解:流体(多くの場合、完全流体とみなされる)の応力-エネルギーテンソルからのみ生じる。重力場の唯一の発生源は、流体を構成する物質のエネルギー、運動量、応力(圧力とせん断応力)である。${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

流体や電磁波などの確立された現象に加えて、重力場がさまざまなエキゾチックな仮想場の場エネルギーによって完全に生成されるモデルを検討することもできます。

• スカラー場解：完全にスカラー場（多くの場合、質量のないスカラー場）から生じる。これらは、中間子ビームの古典場理論の処理、またはクインテッセンスとして生じる。${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$
• ラムダ真空解（標準用語ではないが、まだ名前が存在しない標準概念）：ゼロ以外の宇宙定数から完全に生じます。${\displaystyle T^{\alpha \beta }}$

あまり注目されていない可能性の 1 つは (おそらく数学が非常に難しいため)、弾性固体のモデリングの問題です。現在、この特定のタイプに対する正確な解決策は知られていないようです。

以下に、物理的解釈による分類を概説します。リッチテンソルの可能な代数的対称性のセグレ分類を使用して、ソリューションを整理することもできます。

• 非ヌル電子真空はセグレ型で等方性群SO(1,1) x SO(2)を持ち、${\displaystyle \{\,(1,1)(11)\}}$
• ヌル電子真空とヌルダストはセグレ型と等方性群E(2)を持ち、${\displaystyle \{\,(2,11)\}}$
• 完全流体はセグレ型と等方性群SO(3)を持ち、${\displaystyle \{\,1,(111)\}}$
• ラムダ真空はセグレ型で等方性群SO(1,3)を持つ。${\displaystyle \{\,(1,111)\}}$

残りのセグレ型には特別な物理的解釈はなく、そのほとんどは応力エネルギーテンソルへの寄与の既知の型に対応できません。

真空解、電気真空解などの注目すべき例は、専門記事に列挙されています（下記参照）。これらの解は、特定の種類の物質または場によるエネルギー運動量テンソルへの寄与を最大で 1 つ含んでいます。ただし、2 つまたは 3 つの寄与を含む注目すべき厳密解もいくつかあります。

• NUT-カー・ニューマン・ド・ジッター解には、電磁場と正の真空エネルギーの寄与、およびいわゆるNUTパラメータによって指定されるカー真空の真空摂動の一種が含まれます。
• ゲーデルダストには、圧力のない完全流体 (ダスト) と正の真空エネルギーからの寄与が含まれています。

アインシュタイン場方程式は、結合した非線形偏微分方程式のシステムです。一般に、このため解くのは困難です。しかし、正確な解を得るための効果的な手法がいくつか確立されています。

最も単純なのは、計量テンソルに対称条件、たとえば定常性（時間変換に対する対称性）や軸対称性（ある対称軸 の周りの回転に対する対称性）を課すことです。この種の仮定を十分に巧妙に行えば、アインシュタイン場の方程式をはるかに単純な方程式系に簡約できることが多く、単一の偏微分方程式（エルンスト方程式で特徴付けられる定常軸対称真空解の場合のように）や常微分方程式系（シュワルツシルト真空の場合のように）に簡約することもできます。

この単純なアプローチは、通常、座標基底ではなく フレーム フィールドを使用する場合に最適に機能します。

関連する考え方として、ワイルテンソル、リッチテンソル、またはリーマンテンソルに代数的対称性条件を課すというものがあります。これらは、ワイルテンソルの可能な対称性のペトロフ分類、またはリッチテンソルの可能な対称性のセグレ分類という観点から述べられることが多いです。上記の議論から明らかなように、そのようなAnsätze は、その数学的形式からは明らかではないかもしれませんが、物理的な内容を持つことがよくあります。

この 2 番目の種類の対称性アプローチは、より効率的な簿記のためにスピノル量を使用するニューマン - ペンローズ形式論でよく使用されています。

このような対称性の縮小を行った後でも、縮小された方程式系を解くことは難しいことがよくあります。たとえば、エルンスト方程式は、非線形シュレーディンガー方程式( NLS) に多少似た非線形偏微分方程式です。

しかし、ミンコフスキー時空上の共形群はマクスウェル方程式の対称群であることを思い出してください。また、熱方程式の解は、スケーリング仮説を仮定することによって見つけることができることも思い出してください。これらの概念は、微分方程式（または方程式系）の点対称性に関するソフス・リーの概念の特殊なケースにすぎず、リーが示したように、これは非自明な対称群を持つ任意の微分方程式に対する攻撃の手段となります。実際、エルンスト方程式と NLS はどちらも非自明な対称群を持ち、それらの対称性を利用することでいくつかの解を見つけることができます。これらの対称群は無限次元であることが多いですが、これは常に便利な機能であるとは限りません。

エミー・ネーターは、リーの対称性の概念をわずかだが深く一般化すると、さらに強力な攻撃方法が得られることを示した。これは、完全に積分可能であると言われるいくつかの方程式が保存則の無限列を備えているという発見と密接に関係していることが判明した。非常に驚くべきことに、エルンスト方程式（厳密解の研究でいくつかの方法で生じる）とNLSは両方とも完全に積分可能であることが判明した。したがって、これらは、ソリトン理論で生じる非線形偏微分方程式で、これも完全に積分可能なコルテヴェク・ド・フリース（KdV）方程式を解くために元々開発された逆散乱変換に似た手法で解くことができる。残念ながら、これらの方法で得られる解は、多くの場合、期待するほど良好ではない。例えば、KdVの多重ソリトン解を単一ソリトン解（リーの点対称性の概念から得られる）から得るのと類似した方法で、多重カーオブジェクト解を得ることができますが、残念ながら、これには物理的に不可能ないくつかの特徴があります。^[2]

また、他の手段で見つかった真空解を新しい真空解、電気真空解、または流体解などに変換できるさまざまな変換（ベリンスキー・ザハロフ変換を参照）もあります。これらは、ソリトン方程式のいくつかの有名な例を含む、特定の偏微分方程式の理論で知られているバックルンド変換に類似しています。この現象は、対称性に関するノイマンとリーの概念にも関連しているため、これは偶然ではありません。残念ながら、これらの変換は、「十分に理解されている」全体的に許容される解に適用された場合でも、よく理解されていない解を生み出すことが多く、その一般的な解釈はまだわかっていません。

明示的な小さな解の族を構築することの難しさを考えると、アインシュタイン場方程式の「一般的な」解、あるいは真空場方程式の「一般的な」解のようなものを提示することさえ難しいため、すべての解、または少なくともすべての真空解に当てはまる定性的な特性を見つけようとするのは非常に合理的なアプローチです。最も基本的な質問の 1 つは、解が存在するかどうか、存在する場合、いくつ存在するか、ということです。

まず、場の方程式の適切な初期値定式化を採用する必要があります。これにより、2 つの新しい方程式系が得られます。1 つは初期データに対する制約を与え、もう 1 つはこの初期データを解に展開する手順を与えます。次に、他の微分方程式の研究で遭遇するのとそれほど変わらないアイデアを使用して、 少なくとも局所的に に解が存在することを証明できます。

楽観的に期待できる解の「数」について、ある程度の見当をつけるには、アインシュタインの制約カウント法を利用できます。このスタイルの議論から得られる典型的な結論は、アインシュタイン場の方程式に対する一般的な真空解は、3 変数の任意の関数 4 つと 2 変数の任意の関数 6 つを与えることによって指定できるということです。これらの関数は初期データを指定し、そこから一意の真空解を導き出すことができます。(対照的に、すべての定常軸対称真空解の族であるエルンスト真空は、2 変数の関数を 2 つだけ与えることによって指定されます。これらの関数は任意でもなく、2 つの結合した非線形偏微分方程式のシステムを満たす必要があります。これは、物事の全体的枠組みの中で、正確な解の典型的な「大きな」族が実際にはいかに小さいか、ある程度の見当をつけることができます。)

しかし、この粗雑な分析は、解の全体的存在というはるかに難しい問題には程遠いものです。これまでに知られている全体的存在の結果は、別の考え方を伴うことが判明しています。

我々は、「無限遠から何らかの放射線を送り込む」ことによって、孤立した巨大な物体の外側の重力場を「乱す」ことを想像することができる。そこで、入射する放射線が周囲の場と相互作用すると何が起こるのか、という疑問が湧いてくる。古典的摂動論のアプローチでは、ミンコフスキー真空（またはド・ジッターのラムダ真空などの非常に単純な解）から始めて、非常に小さな計量摂動を導入し、適切な摂動展開で、ある次数までの項のみを保持することができる。これは、時空の幾何学に対する一種のテイラー級数を評価することに少し似ている。このアプローチは、本質的には、連星パルサーなどの重力システムのモデル構築に使用されるポストニュートン近似の背後にある考え方である。しかし、摂動展開は、非線形方程式の場合、長期存在と安定性の問題に対しては一般に信頼できない。

完全な場の方程式は高度に非線形であるため、ミンコフスキー真空が、完全な非線形場の方程式を使用して扱われる小さな摂動の下で安定であることを証明することが本当に必要です。これには多くの新しいアイデアの導入が必要です。ミンコフスキー真空は非線形に安定であるというスローガンで表現されることもある望ましい結果は、1993 年にDemetrios ChristodoulouとSergiu Klainermanによってようやく証明されました^。[3]類似の結果は、de Sitter ラムダ真空のラムダ真空摂動 (Helmut Friedrich) と Minkowski 真空の電気真空摂動 (Nina Zipser) で知られています。対照的に、反de Sitter 時空は特定の条件下で不安定であることが知られています。^{[4] [5]}

我々が心配するかもしれないもう一つの問題は、正の質量エネルギー密度 (および運動量) の孤立した集中の正味質量エネルギーが、常に明確に定義された (そして負でない) 正味質量を生み出すかどうかである。正エネルギー定理として知られるこの結果は、1979 年にリチャード ショーンとシン トン ヤウによって最終的に証明された。彼らは、応力エネルギー テンソルの性質について追加の技術的仮定を立てた。最初の証明は非常に難解であったが、エドワード ウィッテンがすぐにずっと短い「物理学者の証明」を提示し、これは数学者によって、さらに非常に難しい議論を用いて正当化された。ロジャー ペンローズらは、元の正エネルギー定理の変種に対する代替の議論も提示した。

• 時空の一覧
• フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量
• ワイルテンソルの代数的対称性に対するペトロフ分類

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