測地線偏差

一般相対性理論では、2 つの物体が当初平行な 2 つの軌道に沿って運動を開始すると、潮汐重力の存在により、軌道は互いに近づいたり遠ざかったりして曲がり、物体間に相対的な加速度が生じる。 ^{[ 1 ]}

数学的には、一般相対性理論における潮汐力はリーマン曲率テンソル[ ^{1 ]}で記述され、重力のみの影響下にある物体の軌道は測地線と呼ばれます。測地線偏差方程式は、^リーマン曲率テンソルと隣接する2つの測地線の相対加速度を関連付けます。微分幾何学では、測地線偏差方程式はヤコビ方程式としてより一般的に知られています。

測地線のずれを定量化するには、まず連続変数sでインデックス付けされ、アフィンパラメータτでパラメータ化された、互いに近接した測地線の族を設定することから始めます。つまり、各固定されたsに対して、 τ が変化するときのγ _s ( τ )によって描かれる曲線は測地線です。質量のある物体の測地線を考える場合、τ をその物体の固有時間とすると便利な場合が多いです。x μ ( s , τ )が測地線γ _s ( τ )の座標である場合、この測地線の接線ベクトルは次のようになります^。

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

τが固有時間である場合、 Tμ^は測地線に沿って移動する物体の4元速度である。

また、2つの物体が無限に離れた2つの測地線に沿って移動する際の変位を表す偏差ベクトルを定義することもできる。

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

2つの物体の相対加速度Aμ^は、おおよそ、物体がそれぞれの測地線に沿って進む際の分離ベクトルXμ^{の2階微分として定義される。具体的には、} Aμ^は、 XのT方向の共変微分を2回取ることによって求められる。

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

測地線偏差方程式は、A ^μ、T ^μ、X ^μ、およびリーマン テンソルR ^μ _νρσに関連します: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

方向共変微分の別の表記法${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$は${\displaystyle D/d\tau }$したがって、測地線偏差方程式は次のように書くこともできます。

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

測地線偏差方程式は、測地線に沿った点粒子ラグランジアンの第2変分、または複合ラグランジアンの第1変分から導出できます。ラグランジアンによるアプローチには2つの利点があります。1つ目は、測地線偏差システムに様々な形式的な量子化手法を適用できることです。2つ目は、測地線よりもはるかに一般的な対象（ 1つの時空インデックス付き運動量を持つあらゆる力学系は、対応する測地線偏差の一般化を持つように見える）に対して偏差を定式化できることです。

測地線偏差と潮汐加速度の関係は、弱場極限における測地線偏差を調べることでより明確に理解できる。弱場極限では、計量はほぼミンコフスキーであり、試験粒子の速度はcよりはるかに小さいと仮定される。この場合、接線ベクトルTμ^はほぼ(1, 0, 0, 0)となる。つまり、時間的成分のみがゼロでない。

相対加速度の空間成分は次のように与えられる。

${\displaystyle A^{i}={R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

ここで、iとjは空間インデックス1、2、3のみを対象とする。

x = y = z = 0にある質量のある物体のニュートンポテンシャル Φ( x , y , z )に対応する計量の特定の場合、次のようになります。

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

これはニュートン力学におけるポテンシャルの潮汐テンソルである。

• ベルンハルト・リーマン
• 曲率
• リーマン幾何学および計量幾何学の用語集

• ステファニ、ハンス（1982）、『一般相対性理論 ― 重力場の理論入門』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-37066-3。
• ウォルド、ロバート・M. (1984)、『一般相対性理論』、シカゴ大学出版局、ISBN 978-0-226-87033-5。

• 一般相対性理論と量子宇宙論
• テンソルと相対性理論：測地線偏差（2011年11月16日にWayback Machineにアーカイブ済み）