シュワルツシルト計量

アインシュタインの一般相対性理論において、シュヴァルツシルト計量（シュヴァルツシルト解とも呼ばれる）は、質量の電荷、質量の角運動量、および宇宙定数がすべてゼロであるという仮定のもとで、球状の質量の外側の重力場を記述するアインシュタイン場の方程式の正確な解である。この解は、地球や太陽を含む多くの恒星や惑星など、ゆっくり回転する天体を記述するための有用な近似である。1916年にカール・シュヴァルツシルトによって発見された。

バーコフの定理によれば、シュワルツシルト計量は、アインシュタイン場の方程式の最も一般的な 球対称真空解である。シュワルツシルト ブラック ホールまたは静的ブラック ホールは、電荷も角運動量も持たない (回転しない)ブラック ホールである。シュワルツシルト ブラック ホールは、シュワルツシルト計量によって記述され、質量以外では他のシュワルツシルト ブラック ホールと区別できない。

シュワルツシルトブラックホールは、事象の地平線と呼ばれる球状の境界で囲まれていることが特徴で、この境界はシュワルツシルト半径( )に位置し、ブラックホールの半径とも呼ばれます。境界は物理的な表面ではなく、事象の地平線を通り抜けた人 (潮汐力によって引き裂かれる前) は、その位置の物理的な表面に気付くことはありません。これは、ブラックホールの特性を決定する上で重要な意味を持つ数学的な表面です。シュワルツシルト半径よりも小さい、回転も電荷も持たない質量はすべてブラックホールを形成します。アインシュタインの場の式の解は、任意の質量Mに対して有効であるため、原理的には (一般相対性理論の範囲内で)、条件が十分に整って形成が可能になれば、任意の質量のシュワルツシルトブラックホールが存在する可能性があります。 ${\displaystyle r_{\text{s}}}$

シュヴァルツシルトブラックホールの近傍では、空間が大きく曲がるため光線さえも屈折し、非常に近い光でもブラックホールの周りを何度も回るほど屈折することがある。^{[1] [2] [3]}

シュワルツシルト計量は、球対称のローレンツ計量（ここでは、署名規則(+, -, -, -)）であり、（のサブセット）上で定義されます。 ここで、は3次元ユークリッド空間であり、は2つの球面です。回転群は、最初の因子を変更せずに、中心 の周りの回転としてまたは因子に作用します。シュワルツシルト計量は、アインシュタインの場の方程式の空の空間での解であり、重力体の外側でのみ有効であることを意味します。つまり、半径の球体の場合、解は に対して有効です。重力体の内側と外側の両方で重力場を記述するには、シュワルツシルト解を⁠ ⁠での適切な内部解、^{[4] （}内部シュワルツシルト計量など）と一致させる必要があります。 $${\displaystyle \mathbb {R} \times \left(E^{3}-O\right)\cong \mathbb {R} \times (0,\infty )\times S^{2}}$$${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle S^{2}\subset E^{3}}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3)=\mathrm {SO} (E^{3})}$${\displaystyle E^{3}-O}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle r>R}$${\displaystyle r=R}$

シュワルツシルト座標 では、シュワルツシルト計量（または、固有時間の線要素）は、2球面上の計量、つまり⁠ ⁠ の形をとります 。さらに、 ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$$${\displaystyle {ds}^{2}=c^{2}\,{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}{d\Omega }^{2},}$$${\displaystyle {d\Omega }^{2}}$${\displaystyle {d\Omega }^{2}=\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}$

• ${\displaystyle d\tau ^{2}}$は時間的曲線に対して正であり、その場合 は固有時間（テスト粒子と同じ世界線に沿って動く時計によって測定される時間）である。${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle c}$光の速度は、
• ${\displaystyle t}$⁠ ⁠${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$の場合、時間座標（質量体から無限に遠く離れた位置にあり、質量体に対して静止している時計によって測定される）であり、
• ${\displaystyle r}$⁠ ⁠${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$の場合、これは半径座標（質量体を中心とした球の円周を2πで割った値）であり、
• ${\displaystyle \Omega }$は2つ${\displaystyle S^{2}}$の球面上の点であり、
• ${\displaystyle \theta }$は、任意にz軸を選んだ後に定義される（北からの角度、単位はラジアン）の余緯度で ある。${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \phi }$は、選択されたz軸の周りの経度（ラジアン単位）であり、${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle r_{\text{s}}}$は大質量物体のシュワルツシルト半径であり、その質量と⁠ ⁠によって関係するスケール係数であり、 は重力定数である。^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle r_{\text{s}}={2GM}/{c^{2}}}$${\displaystyle G}$

シュワルツシルト計量はr = 0のときに特異点を持ち、これは固有の曲率特異点です。また、事象の地平線 r = r _sにも特異点があるように見えます。したがって、視点に応じて、計量は外部領域 のみ、内部領域 のみ、またはその互いに交わらない結合 のみ で定義されます。ただし、適切な座標で見ると、計量は事象の地平線を横切って非特異です (以下を参照)。⁠ ⁠の場合、シュワルツシルト計量はミンコフスキー空間上の標準ローレンツ計量に漸近します。ほとんどすべての天体物理学的オブジェクトでは、この比は非常に小さいです。たとえば、地球のシュワルツシルト半径はおよそ${\displaystyle r>r_{\text{s}}}$${\displaystyle r<r_{\text{s}}}$${\displaystyle r\gg r_{\text{s}}}$${\displaystyle {\frac {r_{\text{s}}}{R}}}$${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Earth}})}}$8.9 mmですが、太陽は3.3 × 10 ⁵倍の質量を持つ^[6]は、シュワルツシルト半径が約3.0 kmです。この比率は、ブラックホールや中性子星などの超高密度天体のすぐ近くでのみ大きくなります。 ${\displaystyle r_{\text{s}}^{({\text{Sun}})}}$

ラジアル座標は、「ラジアル方向に移動する測地線時計を基準にして同時に発生する2つのイベント間の適切な距離、つまり同じラジアル座標線上にある2つのイベント間の適切な距離」として物理的な意味を持つことが判明しました。^[7]

シュワルツシルト解は、点粒子の周りの重力場に対応する古典的なニュートン重力理論に類似している。地球の表面でさえ、ニュートン重力の補正は10億分の1に過ぎない。^[8]

シュヴァルツシルト解は、1915年に厳密解を発見し、1916年1月に発表したカール・シュヴァルツシルトにちなんで名付けられました。 ^[9]これは、アインシュタインの一般相対性理論の発表から1か月強後のことでした。これは、自明な平坦空間解を除く、アインシュタイン場の方程式の最初の厳密解でした。シュヴァルツシルトは、第一次世界大戦中にドイツ軍に従軍中に発症した病気（天疱瘡と思われる）が原因で、論文発表後まもなく亡くなりました。^[10]

ヨハネス・ドロステは1916年に^[11]、 より単純で直接的な導出を用いてシュヴァルツシルトと同じ解を独自に導きました^{[12] 。}

一般相対性理論の初期には、シュワルツシルトやアインシュタイン場の方程式の他の解に見られる特異点の性質について多くの混乱がありました。シュワルツシルトの最初の論文では、彼は現在事象の地平線と呼ばれるものを座標系の原点に置きました。この論文では、シュワルツシルトは現在シュワルツシルト動径座標（上記の式のr）として知られているものを補助変数として導入しました。彼の方程式では、シュワルツシルトはシュワルツシルト半径でゼロになる別の動径座標を使用していました。

特異点構造のより完全な解析は翌年デイヴィッド・ヒルベルト^{[13]によって行われ、} r = 0とr = r _sの両方の特異点が特定されました。r = 0の特異点は「本物の」物理的特異点であるという一般的なコンセンサスがありましたが、r = r _sの特異点の性質は不明のままでした。^[14]

1921年にポール・パンルヴェ、1922年にアルヴァー・グルストランドはそれぞれ独立に、アインシュタインの方程式の球対称解である計量を生み出した。これは現在ではシュワルツシルト計量の座標変換であることが分かっている。グルストランド・パンルヴェ座標ではr = r _sに特異点は生じなかった。しかし彼らは自分たちの解が単なる座標変換であることを認識せず、むしろ自分たちの解を使ってアインシュタインの理論が間違っていると主張した。1924年にアーサー・エディントンは、r = r _sの特異点は座標の産物であることを示す最初の座標変換（エディントン・フィンケルシュタイン座標）を生み出したが、彼もこの発見の重要性に気付いていなかったようである。その後、1932年にジョルジュ・ルメートルは、同じ効果を持つ別の座標変換（ルメートル座標）を与え、これがr = r _sの特異点が物理的ではないことを意味することを初めて認識した。1939年にハワード・ロバートソンは、シュワルツシルト計量で自由落下する観測者は、座標時間tでは無限の時間がかかるにもかかわらず、 r = r _s特異点を有限の固有時間で通過することを示した。^[14]

1950年、ジョン・シングはシュワルツシルト計量の最大限の解析的拡張を示した論文^{[15]を発表し、} r = r _sにおける特異点は座標のアーティファクトであり、2つの地平線を表していることを再び示した。同様の結果が後にジョージ・シェケレス[ ^16]とマーティン・クラスカル^[17]によって再発見された。今日ではクラスカル-シェケレス座標として知られる新しい座標はシングのものよりはるかに単純であったが、どちらも時空全体をカバーする単一の座標セットを提供した。しかし、おそらくルメートルとシングの論文が発表された雑誌の無名さのために、彼らの結論は注目されず、アインシュタインを含むこの分野の多くの主要人物は、シュワルツシルト半径における特異点は物理的なものだと信じていた。^[14]シングが後に導出したクラスカル・シェケレス計量解^[18]は、 「『悪い』[シュワルツシルト]座標を使って『良い』[クラスカル・シェケレス]座標を得る」ことを避けたいという願望から導かれたもので、文献では一般的に過小評価されてきたが、チャンドラセカールがブラックホールのモノグラフで採用した。^[19]

1960年代に、微分幾何学の厳密な数学的定式化が一般相対論の分野に導入され、ローレンツ多様体が特異であるということの意味をより正確に定義できるようになり、真の進歩が遂げられました。これにより、シュワルツシルト計量のr = r _s特異点が事象の地平線、すなわち一方向にしか通過できない時空内の超曲面であることが明確に特定されました。 ^[14]

シュワルツシルト解はr = 0およびr = r _sで特異点を持つように見えます。これらの半径では、計量成分の一部が「爆発」します (ゼロ除算または無限大による乗算を伴います)。シュワルツシルト計量は、重力体の半径Rよりも大きい半径に対してのみ有効であると予想されるため、 R > r _sである限り問題はありません。通常の恒星や惑星では、これは常に当てはまります。たとえば、太陽の半径はおよそ70万 kmであるのに対し、シュワルツシルト半径はわずか3キロ。

r = r _sにおける特異点は、シュワルツシルト座標を 2 つの分離した パッチに分割します。r > r _sである外部シュワルツシルト解は、恒星や惑星の重力場に関係するものです。r = 0における特異点を含む0 ≤ r < r _sである内部シュワルツシルト解は、 r = r _sにおける特異点によって外部パッチから完全に分離されます。 したがって、シュワルツシルト座標は、別々の解と見なすことができる 2 つのパッチ間に物理的な接続を与えません。ただし、 r = r _{sにおける特異点は錯覚であり、}座標特異点と呼ばれるものの一例です。 名前が示すように、特異点は座標または座標条件の不適切な選択から生じます。異なる座標系（例えば、ルメートル座標、エディントン・フィンケルシュタイン座標、クラスカル・シェケレス座標、ノビコフ座標、またはグルストランド・パンルヴェ座標）に変更する場合、計量はr = r _sで正規になり、 rがr _sより小さい値まで外部パッチを拡張できます。異なる座標変換を使用すると、拡張された外部パッチを内部パッチに関連付けることができます。^[20]

しかし、 r = 0の場合は異なります。すべてのrに対して解が妥当であるように求めると、原点で真の物理的特異点、または重力特異点に遭遇します。これが真の特異点であることを確認するには、座標の選択に依存しない量を見る必要があります。そのような重要な量の1つは、次式で与えられる クレッチマン不変量です。

${\displaystyle R^{\alpha \beta \gamma \delta }R_{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

r = 0では曲率が無限大となり、特異点の存在を示します。この時点では計量は滑らかな方法で拡張できず (クレッチマン不変量は計量の 2 次導関数を含む)、時空自体がもはや明確に定義されなくなります。さらに、Sbierski ^[21]は計量は連続的にも拡張できないことを示しました。長い間、このような解は非物理的であると考えられていました。しかし、一般相対性理論の理解が深まるにつれて、このような特異点は理論の一般的な特徴であり、単に珍しい特殊なケースではないことが認識されるようになりました。

シュワルツシルト解は、 r > 0のすべてに当てはまるとされ、シュワルツシルトブラックホールと呼ばれています。これはアインシュタイン場の方程式の完全に有効な解ですが、（他のブラックホールと同様に）かなり奇妙な特性を持っています。r < r _sの場合、シュワルツシルト動径座標r は時間的になり、時間座標t は空間的になります。^{[22]一定の}rでの曲線は、たとえそれをそこに留めようとする力が加えられたとしても、もはや粒子または観測者の可能な世界線ではありません。これは、時空が大きく曲がったために、原因と結果の方向（粒子の将来の光円錐）が特異点を指すために発生します。^[要出典] r = r _sの表面は、ブラックホールの事象の地平線と呼ばれるものを区切っています。これは、光が重力場から逃れることができなくなる点を表しています。半径Rがシュワルツシルト半径以下になる物理物体は、重力崩壊を起こしてブラックホールになります。

シュワルツシルト解は、上で使用したシュワルツシルト座標以外にも、さまざまな座標を選択して表現できます。選択が異なると、解のさまざまな特徴が強調される傾向があります。以下の表は、一般的な選択をいくつか示しています。

上の表では、簡潔にするためにいくつかの省略形が導入されています。光速cは 1に設定されています。表記法

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

は、単位半径の 2 次元球の測定基準として使用されます。さらに、各エントリのRとT は、特定の座標の半径座標と時間座標の代替選択肢を示します。RまたはTはエントリごとに異なる場合があること に注意してください。

Kruskal-Szekeres 座標は、Belinski-Zakharov 変換を適用できる形式を持ちます。これは、シュワルツシルト ブラック ホールが重力ソリトンの一種であることを意味します。

r > r _sのシュワルツシルト解の空間曲率は、図に示すように視覚化できます。θ = ⁠を固定して、シュワルツシルト解を通る一定時間赤道スライスH を考えます。 π/2⁠、 t = 定数、そして残りのシュワルツシルト座標( r、φ )は変化させます。ここで、物理的実在性を持たない（時空の一部ではない）追加のユークリッド次元wがあると想像してください。次に、 ( r、φ )平面を、方程式 (フラムの放物面) に従ってw方向にくぼんだ面で

${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{\mathrm {s} }\left(r-r_{\mathrm {s} }\right)}}.}$

この面は、その内部で測定された距離がシュワルツシルト距離と一致するという性質を持っている。なぜなら、上記の wの定義により、

${\displaystyle dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}={\frac {dr^{2}}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}+r^{2}\,d\varphi ^{2}=-ds^{2}}$

したがって、フラムの放物面は、シュワルツシルト計量の空間曲率を視覚化するのに便利です。ただし、重力井戸と混同しないでください。通常の（質量のある、または質量のない）粒子は、放物面上のすべての距離が空間的であるため、放物面上に位置する世界線を持つことはできません（これはある瞬間の断面であるため、その上を移動するすべての粒子は無限の速度を持ちます）。タキオンは、単一の放物面上に完全に位置している空間的な世界線を持つことができます。ただし、その場合でも、その測地線経路は、重力井戸の「ゴムシート」アナロジーによって得られる軌道ではありません。特に、くぼみが下ではなく上を向いて描かれている場合、タキオンの測地線経路は、中心質量から離れるのではなく、中心質量に向かって曲がっています。詳細については、重力井戸の記事を参照してください。

フラムの放物面は次のように導出できる。円筒座標 （r、φ、w）におけるユークリッド計量は次のように表される。

${\displaystyle -ds^{2}=dw^{2}+dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,.}$

表面を関数w = w ( r )で記述すると、ユークリッド計量は次のように表される。

${\displaystyle -ds^{2}=\left(1+\left({\frac {dw}{dr}}\right)^{2}\right)\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

これを赤道面のシュワルツシルト計量（θ = ⁠π/2⁠）を一定の時間（ t = 定数、 dt = 0）

${\displaystyle -ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

w ( r )の積分表現が得られる。

${\displaystyle w(r)=\int {\frac {dr}{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}}=2r_{\mathrm {s} }{\sqrt {{\frac {r}{r_{\mathrm {s} }}}-1}}+{\mbox{constant}}}$

その解はフラムの放物面です。

シュワルツシルト計量で軌道を回る粒子は、 r > 3 r _sで安定した円軌道を持つことができます。 rが1.5 r _sから3 r _sの間の円軌道は不安定で、r < 1.5 r _sでは円軌道は存在しません。最小半径1.5 r _sの円軌道は、光速に近づく軌道速度に相当します。r _sから1.5 r _sの間で粒子がrの一定値を持つことは可能ですが、それは何らかの力がその値を維持するように作用する場合に限られます。

水星のような非円形軌道は、ニュートンの重力で予想されるよりも小さな半径でより長くとどまります。これは、粒子が事象の地平線を通過してその中に永遠にとどまるというより劇的なケースの、それほど極端ではないバージョンと見ることができます。水星の場合と物体が事象の地平線を越​​えて落下する場合の中間には、ナイフエッジ軌道などの風変わりな可能性があり、この場合、衛星はほぼ円形の軌道を任意の数だけ実行し、その後外側に飛び戻ります。

シュワルツシルト計量の等長群は⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathrm {O} (3)\times \{\pm 1\}}$であり、 は3次元における回転と反射の直交群、は時間変換で構成され、 は時間反転によって生成される群です。 ${\displaystyle \mathrm {O} (3)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{\pm 1\}}$

これは、時間軸 (星の軌道) を自身に持つ 10 次元ポアンカレ群のサブグループです。空間変換 (3 次元) とブースト (3 次元) は省略されます。時間変換 (1 次元) と回転 (3 次元) は保持されます。したがって、4 次元になります。ポアンカレ群と同様に、恒等成分、時間反転成分、空間反転成分、および時間反転と空間反転の両方の成分という 4 つの接続成分があります。

リッチ曲率スカラーとリッチ曲率テンソルはともにゼロである。リーマン曲率テンソルの非ゼロ成分は^[25]で与えられる。

${\displaystyle -R^{t}{}_{rtr}=2R^{\theta }{}_{r\theta r}=2R^{\phi }{}_{r\phi r}={\frac {r_{\text{s}}}{r^{2}(r_{\text{s}}-r)}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\theta t\theta }=2R^{r}{}_{\theta r\theta }=-R^{\phi }{}_{\theta \phi \theta }=-{\frac {r_{\text{s}}}{r}},}$

${\displaystyle 2R^{t}{}_{\phi t\phi }=2R^{r}{}_{\phi r\phi }=-R^{\theta }{}_{\phi \theta \phi }=-{\frac {r_{\text{s}}\sin ^{2}(\theta )}{r}},}$

${\displaystyle R^{r}{}_{trt}=-2R^{\theta }{}_{t\theta t}=-2R^{\phi }{}_{t\phi t}=c^{2}{\frac {r_{\text{s}}(r_{\text{s}}-r)}{r^{4}}},}$

ここから であることがわかる。これらの式のうち6つはCarroll ^[26]の式5.13であり、 によって残りの6つが導かれる。リーマンテンソルの他の対称性によって得られる成分は表示されていない。 ${\displaystyle R^{\gamma }{}_{\alpha \gamma \beta }=0}$${\displaystyle R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }=g^{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }R^{\lambda }{}_{\kappa \delta \gamma }}$

これらの量の物理的な意味を理解するには、曲率テンソルを正規直交基底で表現することが有用である。観測者の正規直交基底では、幾何学的単位の非ゼロ成分は[ ^25]

${\displaystyle R^{\hat {r}}{}_{{\hat {t}}{\hat {r}}{\hat {t}}}=-R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {\theta }}{\hat {\phi }}}=-{\frac {r_{\text{s}}}{r^{3}}},}$

${\displaystyle R^{\hat {\theta }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\theta }}{\hat {t}}}=R^{\hat {\phi }}{}_{{\hat {t}}{\hat {\phi }}{\hat {t}}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\theta }}{\hat {r}}{\hat {\theta }}}=-R^{\hat {r}}{}_{{\hat {\phi }}{\hat {r}}{\hat {\phi }}}={\frac {r_{\text{s}}}{2r^{3}}}.}$

ここでも、リーマン テンソルの対称性によって得られる成分は表示されません。これらの結果は、ローレンツ ブーストに対して不変であるため、成分は非静的観測者に対して変化しません。測地偏差方程式は、離れた 2 つの観測者間の潮汐加速度が であることを示しています。したがって、長さ の物体は、見かけの加速度によって半径方向に引き伸ばされ、垂直方向に によって圧縮されます 。 ${\displaystyle \xi ^{\hat {j}}}$${\displaystyle D^{2}\xi ^{\hat {j}}/D\tau ^{2}=-R^{\hat {j}}{}_{{\hat {t}}{\hat {k}}{\hat {t}}}\xi ^{\hat {k}}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle (r_{\text{s}}/r^{3})c^{2}L}$${\displaystyle -(r_{\text{s}}/(2r^{3}))c^{2}L}$

• シュワルツシルト解の導出
• ライスナー・ノルドストローム計量（荷電、非回転解）
• カーメトリック（非荷電、回転溶液）
• カー・ニューマン計量（荷電回転解）
• ブラックホール、総評
• シュヴァルツシルト座標
• クラスカル-セーケレス座標
• エディントン・フィンケルシュタイン座標
• ガルストランド - パンルベ座標
• ルメートル座標（同期座標におけるシュワルツシルト解）
• 一般相対論におけるフレーム場（シュワルツシルト真空におけるルメートル観測者）
• トールマン・オッペンハイマー・フォルコフ方程式（等方性材料の静的かつ球対称な物体の計量方程式と圧力方程式）
• プランク長

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• ウィキソースの原文
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