多項式根の幾何学的性質

数学では、実数または複素数の係数を持つ n 次単変数多項式は、その重複度を含めて数えると n 個の複素根を持ちます。それらは複素平面上でn点の多重集合を形成します。この記事では、これらの点の幾何学、つまり多項式の次数と係数から推測できる複素平面におけるそれらの局在に関する情報について説明します。

これらの幾何学的特性のいくつかは、すべての根を含む円を定義する根の絶対値の上限や、2 つの根の間の距離の下限など、単一の多項式に関連しています。このような境界は、多項式の根を求めるアルゴリズムで、それらの調整や計算の複雑さの計算に広く使用されています。

その他のいくつかの特性は確率的であり、例えば、実係数を持つn次のランダム多項式の実根の期待数は、 nが十分に大きい場合よりも少なくなります 。 ${\displaystyle 1+{\frac {2}{\pi }}\ln(n)}$

この記事では、考慮される多項式は常に次のように表記される。

${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n},}$

ここで、は実数または複素数であり、は多項式の次数です。 ${\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{n}\neq 0}$${\displaystyle n}$

n次多項式のn個の根は係数に連続的に依存します。単根の場合、これは暗黙の関数定理から直ちに得られます。これは多重根の場合にも当てはまりますが、証明には注意が必要です。

係数の小さな変化が根の劇的な変化を引き起こす可能性があり、実根がかなり大きな虚数部を持つ複素根に変化することもあります (ウィルキンソンの多項式を参照)。その結果、古典的な数値根探索アルゴリズムでは、係数が与えられた場合に根を近似する問題は、多くの入力に対して悪条件になる可能性があります。

複素共役根定理は、多項式の係数が実数の場合、非実数根は ( a + ib、a – ib )の形式のペアで現れることを述べています。

したがって、実係数を持つ多項式の根は実軸に対して 鏡映対称になります。

これは代数的共役に拡張できます。有理係数を持つ多項式の根は、多項式のガロア群の作用の下で共役（つまり不変）です。ただし、この対称性は、ほとんど幾何学的に解釈できません。

多項式根の絶対値の上限は、根を検索する領域を制限するため、またはこれらのアルゴリズムの 計算の複雑さを計算するために、根を求めるアルゴリズムに広く使用されています。

このような境界は数多く与えられており、より厳しい境界は一般に、考慮される係数の特定のシーケンスに依存します。ほとんどの境界は 1 以上であるため、絶対値が 1 未満の根のみを持つ多項式では厳密ではありません。ただし、以下に示すように、このような多項式は非常にまれです。

根の絶対値の上限は対応する下限を提供する。実際、Uが根の絶対値の上限である 場合、${\displaystyle a_{n}\neq 0,}$

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n},}$

1/ Uは、根の絶対値の下限値である。

${\displaystyle a_{n}+a_{n-1}x+\cdots +a_{0}x^{n},}$

どちらの多項式の根も、もう一方の多項式の根の逆数となるからです。したがって、この記事の残りの部分では下限は明示的に示されません。

ラグランジュとコーシーは、すべての複素根の上限を初めて示した。^[1]ラグランジュの上限は^[2]

${\displaystyle \max \left\{1,\sum _{i=0}^{n-1}\left|{\frac {a_{i}}{a_{n}}}\right|\right\},}$

コーシーの境界は^[3]

${\displaystyle 1+\max \left\{\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|,\left|{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\right|,\ldots ,\left|{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\right|\right\}}$

ラグランジュの境界がコーシーの境界より鋭い（小さい）のは、1 が最大値以外のすべての値の合計より大きい場合のみです。これは実際には比較的まれなケースであり、コーシーの境界がラグランジュの境界より広く使用されている理由を説明しています。 ${\displaystyle \left|{\frac {a_{i}}{a_{n}}}\right|}$

両方の境界は、多項式とその転置の伴行列にゲルシュゴリンの円定理を適用した結果です。これらは初等的な方法で証明することもできます。

これらの境界はスケーリングによって不変ではありません。つまり、多項式p ( sx )の根はpの根のsによる商であり、 p ( sx )の根に与えられた境界はpの境界のsによる商ではありません。したがって、可能なスケーリングを最小化することで、より明確な境界を得ることができます。これは次のようになります。

${\displaystyle \min _{s\in \mathbb {R} _{+}}\left(\max \left\{s,\sum _{i=0}^{n-1}\left|{\frac {a_{i}}{a_{n}}}\right|s^{i-n+1}\right\}}\right),}$

そして

${\displaystyle \min _{s\in \mathbb {R} _{+}}\left(s+\max _{0\leq i\leq n-1}\left(\left|{\frac {a_{i}}{a_{n}}}\right|s^{i-n+1}\right)\right),}$

それぞれラグランジュの境界とコーシーの境界です。

もう一つの境界は、もともとラグランジュによって与えられたが、ドナルド・クヌースによってザッセンハウスに帰せられたものである ^[4]。

${\displaystyle 2\max \left\{\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|,\left|{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\right|^{1/2},\ldots ,\left|{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\right|^{1/n}\right\}.}$

この境界はスケーリングによって不変です。

ラグランジュは、この後者の境界を、数列の２つの最大値（おそらく等しい）の合計に改良した^[4]

${\displaystyle \left[\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|,\left|{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\right|^{1/2},\ldots ,\left|{\frac {a_{0}}{a_{n}}}\right|^{1/n}\right].}$

ラグランジュはまた、境界値も与えた^[要出典]

${\displaystyle \sum _{i}\left|{\frac {a_{i}}{a_{i+1}}}\right|,}$

ここで、多項式の項が昇順で並べられている場合、 はi番目の非ゼロ係数を表します。${\displaystyle a_{i}}$

ホルダーの不等式により、ラグランジュとコーシーの境界をあらゆるhノルムに拡張することができます。数列の hノルムは、

${\displaystyle s=(a_{0},\ldots ,a_{n})}$

は

${\displaystyle \|s\|_{h}=\left(\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|^{h}\right)^{1/h},}$

任意の実数h ≥ 1に対して、

${\displaystyle \|s\|_{\infty }=\textstyle {\max _{i=0}^{n}}|a_{i}|.}$

1 ≤ h、k ≤ ∞、1 / ∞ = 0の場合、 pの根の絶対値の上限は ${\displaystyle {\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}=1,}$

${\displaystyle {\frac {1}{|a_{n}|}}\left\|(|a_{n}|,\left\|(|a_{n-1}|,\ldots ,|a_{0}|\right)\|_{h}\right)\|_{k}.}$

k = 1およびk = ∞の場合、それぞれコーシーの境界とラグランジュの境界が得られます。

h = k = 2の場合、次の境界が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {1}{|a_{n}|}}{\sqrt {|a_{n}|^{2}+|a_{n-1}|^{2}+\cdots +|a_{0}|^{2}}}.}$

これは根の絶対値の上界であるだけでなく、根の絶対値の積が 1 より大きい場合の上界でもあります。以下の § ランダウの不等式を参照してください。

すべての根の大きさの上限は他にも数多く与えられている。^[5]

藤原の縛り^[6]

${\displaystyle 2\,\max \left\{\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|,\left|{\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\right|^{\frac {1}{2}},\ldots ,\left|{\frac {a_{1}}{a_{n}}}\right|^{\frac {1}{n-1}},\left|{\frac {a_{0}}{2a_{n}}}\right|^{\frac {1}{n}}\right\},}$

最大値の最後の引数を 2 で割ることで、上記の境界がわずかに改善されます。

小島の境界は^{[7] [検証が必要]}

${\displaystyle 2\,\max \left\{\left|{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right|,\left|{\frac {a_{n-2}}{a_{n-1}}}\right|,\ldots ,\left|{\frac {a_{0}}{2a_{1}}}\right|\right\},}$

ここで、多項式の項が次数の増加順に並べられている場合、はi番目の非ゼロ係数を表します。すべての係数が非ゼロの場合、藤原の境界はより鮮明になります。これは、藤原の境界の各要素が小島の境界の最初の要素の 幾何平均であるためです。${\displaystyle a_{i}}$

SunとHsiehはコーシーの境界をさらに改良した。^[8]多項式が一般項a _i x ^iを持つモニックであると仮定する。SunとHsiehは、上限1 + d ₁と1 + d ₂が次の式から得られることを示した。

${\displaystyle d_{1}={\tfrac {1}{2}}\left((|a_{n-1}|-1)+{\sqrt {(|a_{n-1}|-1)^{2}+4a}}\right),\qquad a=\max\{|a_{i}|\}.}$

d _{2 は}3次方程式の正の根である。

${\displaystyle Q(x)=x^{3}+(2-|a_{n-1}|)x^{2}+(1-|a_{n-1}|-|a_{n-2}|)x-a,\qquad a=\max\{|a_{i}|\}}$

彼らはまた、d ₂ ≤ d ₁であることにも注目しました。

前述の境界は、各根の上限です。ランダウの不等式は、絶対値が1より大きい根の積の絶対値の上限を提供します。この不等式は、1905年にエドモンド・ランダウによって発見されました^[9]が、20世紀の間に少なくとも3回忘れられ、再発見されました。^{[10] [11] [12]}

この根の積の境界は、各根の個別の最善の境界よりもそれほど大きくない。^[13]多項式pのn個の根を と する。 ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$

${\displaystyle M(p)=|a_{n}|\prod _{j=1}^{n}\max(1,|z_{j}|)}$

はpのマーラー測度であり、

${\displaystyle M(p)\leq {\sqrt {\sum _{k=0}^{n}|a_{k}|^{2}}}.}$

驚くべきことに、根の絶対値が 1 より大きい場合の積のこの境界は、 1 つの根に対して上記で与えられた1 つの根の最良の境界よりもそれほど大きくありません。この境界は、ヘルダーの不等式を使用して得られる境界の 1 つとまったく同じです。

この境界は、整数係数を持つ 多項式の約数の係数を境界付けるのにも有用である：^[14]

${\displaystyle q=\sum _{k=0}^{m}b_{k}x^{k}}$

がpの約数である場合、

${\displaystyle |b_{m}|\leq |a_{n}|,}$

そして、ヴィエタの公式によれば、

${\displaystyle {\frac {|b_{i}|}{|b_{m}|}}\leq {\binom {m}{i}}{\frac {M(p)}{|a_{n}|}},}$

i = 0, ..., m、ここで は二項係数である。 したがって${\displaystyle {\binom {m}{i}}}$

${\displaystyle |b_{i}|\leq {\binom {m}{i}}M(p)\leq {\binom {m}{i}}{\sqrt {\sum _{k=0}^{n}|a_{k}|^{2}}},}$

そして

${\displaystyle \sum _{i=0}^{m}|b_{i}|\leq 2^{m}M(p)\leq 2^{m}{\sqrt {\sum _{k=0}^{n}|a_{k}|^{2}}}.}$

ルーシェの定理は、ゼロを中心とし、与えられた数の根を含む円板を定義することを可能にする。より正確には、正の実数Rと整数0 ≤ k ≤ nがあり、

${\displaystyle |a_{k}|R^{k}>|a_{0}|+\cdots +|a_{k-1}|R^{k-1}+|a_{k+1}|R^{k+1}+\cdots +|a_{n}|R^{n},}$

すると、重複度を考慮して、絶対値がRより小さい根はちょうどk 個存在します。

上記の結果は、多項式

${\displaystyle h_{k}(x)=|a_{0}|+\cdots +|a_{k-1}|x^{k-1}-|a_{k}|x^{k}+|a_{k+1}|x^{k+1}+\cdots +|a_{n}|x^{n}.}$

xの正の実数値に対して負の値を取ります。

このセクションの残りの部分では、 0 ≠ 0 と仮定します。そうでない場合、ゼロは根であり、他の根_の局所化は、多項式を不定数の累乗で割って、ゼロ以外の定数項を持つ多項式を取得することによって調べることができます。

k = 0かつk = nの場合、デカルトの符号則は多項式がちょうど1つの正の実根を持つことを示しています。 およびがこれらの根である場合、上記の結果はすべての根がを満たすことを示しています 。${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{n}}$

${\displaystyle R_{0}\leq |z|\leq R_{1}.}$

これらの不等式は にも適用され、これらの境界は係数の絶対値の与えられたシーケンスを持つ多項式に最適です。したがって、これらは前のセクションで示したすべての境界よりも厳密です。 ${\displaystyle h_{0}}$${\displaystyle h_{n},}$

0 < k < nの場合、デカルトの符号規則は、が 2 つの正の実根を持ち、その根が重複していないか、xのすべての正の値に対して が非負であることを意味します。したがって、上記の結果は最初の場合にのみ適用できます。 がこれらの 2 つの根である場合、上記の結果は次のことを意味します。 ${\displaystyle h_{k}(x)}$${\displaystyle R_{k,1}<R_{k,2}}$

${\displaystyle |z|\leq R_{k,1}}$

pのk個の根に対して、

${\displaystyle |z|\geq R_{k,2}}$

n – k 個の他の根について。

とを明示的に計算する代わりに、（必然的に）となる値を計算すれば一般に十分である。これらは 根をその絶対値で分離する性質を持つ。つまり、h < kに対して、とが存在する場合、 k – h 個の根zが存在し、${\displaystyle R_{k,1}}$${\displaystyle R_{k,2},}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle h_{k}(R_{k})<0}$${\displaystyle R_{k,1}<R_{k}<R_{k,2}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle R_{h}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle R_{h}<|z|<R_{k}.}$

を計算するには、が凸関数である（2 次導関数が正である）という事実を利用できます。したがって、 が唯一の最小値で負である場合に限り、 が存在します。この最小値を計算するには、任意の最適化手法を使用するか、またはの導関数の唯一の正のゼロを計算するニュートン法を使用できます（導関数 は単調関数であるため、急速に収束します）。 ${\displaystyle R_{k},}$${\displaystyle {\frac {h(x)}{x^{k}}}}$${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle {\frac {h(x)}{x^{k}}}}$${\displaystyle {\frac {h(x)}{x^{k}}}}$

ダンデリン・グラーフェ反復法の平方根演算を適用することで、既存の の数を増やすことができます。根が異なる絶対値を持つ場合、最終的には根をその絶対値に関して完全に分離することができます。つまり、k = 1, ..., nの開区間に絶対値を持つ根が 1 つだけ存在するようなn + 1 個の正の数を計算します。 ${\displaystyle R_{k}}$${\displaystyle R_{0}<R_{1}<\dots <R_{n}}$${\displaystyle (R_{k-1},R_{k}),}$

ゲルシュゴリン円定理は、ラグランジュ補間に関連する基底に多項式の随伴行列を適用して、補間点を中心とする円を定義します。各円には多項式の根が含まれます。詳細については、デュラン・ケルナー法 § ゲルシュゴリン円による根の包含を参照してください。

補間点が多項式の根の根に近い場合、円板の半径は小さくなり、これが多項式の根を計算するためのデュラン・ケルナー法の重要な要素となります。

実係数を持つ多項式の場合、実根のみを境界とすることが有用な場合がよくあります。p ( x )の負の根はp (– x )の正の根であるため、正の根を境界とするだけで十分です。

明らかに、すべての根の境界は実根にも適用されます。しかし、状況によっては、より厳密な実根の境界が役に立つことがあります。たとえば、実根分離に対する連分数法の効率は、正の根の境界の厳密さに大きく依存します。このため、すべての根の一般的な境界よりも厳密な新しい境界が確立されました。これらの境界は、一般に係数の絶対値だけでなく、その符号でも表されます。

その他の境界は、すべての根が実数である多項式にのみ適用されます (以下を参照)。

正の根の境界を与えるには、すべての係数の符号を変更しても根は変化しないため、一般性を失うことなく仮定することができます。 ${\displaystyle a_{n}>0}$

の正根の上限は

${\displaystyle q(x)=a_{n}x^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}\min(0,a_{i})x^{i}}$

は、

${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$。

実際、B がそのような境界である場合、すべてのx > Bに対して、p ( x ) ≥ q ( x ) > 0が成立します。

これをコーシーの境界に適用すると、上限は次のようになる。

${\displaystyle 1+{\textstyle \max _{i=0}^{n-1}}{\frac {-a_{i}}{a_{n}}}}$

実係数の多項式の実根について。この境界が1、これはすべての非ゼロ係数が同じ符号を持ち、正の根が存在しないことを意味します。

同様に、正の根のもう一つの上限は

${\displaystyle 2\,{\max _{a_{i}a_{n}<0}}\left({\frac {-a_{i}}{a_{n}}}\right)^{\frac {1}{n-i}}.}$

すべての非ゼロ係数が同じ符号を持つ場合、正の根は存在せず、最大値はゼロになります。

最近では、主に実根分離法の連分数法に関する他の境界も開発されている。^{[15] [16]}

多項式のすべての根が実数である場合、ラゲールはサミュエルソンの不等式と呼ばれるものを用いて、根の下限と上限を証明した。^[17]

をすべての実根を持つ多項式とする。その根は、端点が ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$

${\displaystyle -{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}\pm {\frac {n-1}{na_{n}}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}-{\frac {2n}{n-1}}a_{n}a_{n-2}}}.}$

例えば、多項式の根は ${\displaystyle x^{4}+5x^{3}+5x^{2}-5x-6=(x+3)(x+2)(x+1)(x-1)}$

${\displaystyle -3.8118<-{\frac {5}{4}}-{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{3}}}\leq x\leq -{\frac {5}{4}}+{\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{3}}}<1.3118.}$

多項式の根の分離は、2 つの根の間の最小距離、つまり 2 つの根の差の絶対値の最小値です。

${\displaystyle \operatorname {sep} (p)=\min\{|\alpha -\beta |\;;\;\alpha \neq \beta {\text{ and }}p(\alpha )=p(\beta )=0\}}$

根分離は、多項式の根を求めるアルゴリズムの計算複雑性の基本的なパラメータです。実際、根分離は、異なる根を確実に区別するために必要な数値表現の精度を決定します。また、実根分離の場合、すべての根を分離するために必要な区間分割の数を制限することができます。

実数または複素数の係数を持つ多項式の場合、係数の次数と絶対値のみで根の分離の下限を表すことはできません。これは、単一の係数を少し変更するだけで、多重根を持つ多項式が、根の分離が小さく、係数の絶対値が基本的に同じである平方のない多項式に変換されるためです。ただし、多項式の判別式を含めると下限が可能になります。

整数係数を持つ平方自由多項式の場合、判別式は整数であり、したがって絶対値は1 . これにより、判別式から独立したルート分離の下限が可能になります。

ミニョットの分離境界は^{[18] [19] [20]}

${\displaystyle \operatorname {sep} (p)>{\frac {\sqrt {3|\Delta (p)|}}{n^{(n+1)/2}(\|p\|_{2})^{n-1}}},}$

判別式はどこにあるか、${\displaystyle \Delta (p)}$${\displaystyle \textstyle \|p\|_{2}={\sqrt {a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}}}.}$

整数係数を持つ平方自由多項式の場合、これは次のことを意味する。

${\displaystyle \operatorname {sep} (p)>{\frac {\sqrt {3}}{n^{n/2+1}(\|p\|_{2})^{n-1}}}>{\frac {1}{2^{2s^{2}}}},}$

ここで、sはpのビットサイズ、つまりその係数のビット サイズの合計です。

ガウス・ルーカスの定理は、多項式の根の凸包には多項式の 導関数の根が含まれることを述べています。

時々役に立つ帰結として、多項式のすべての根が正の実部を持つ場合、その多項式のすべての導関数の根も正の実部を持つということがあります。

関連する結果はベルンシュタインの不等式である。これは、n次の多項式Pとその導関数P′に対して、

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}{\big |}P'(z){\big |}\leq n\max _{|z|\leq 1}{\big |}P(z){\big |}.}$

ランダム多項式の係数a _iが独立かつ同一に分布し、平均が 0 である場合、ほとんどの複素根は単位円上またはその近くにあります。特に、実根は大部分が±1付近に位置し、さらに、大きな次数の場合、その期待値は次数の 自然対数よりも小さくなります。

係数が平均0、分散σのガウス分布に従う場合、実根の平均密度はカッツの公式^{[21] [22]で与えられる。}

${\displaystyle m(x)={\frac {\sqrt {A(x)C(x)-B(x)^{2}}}{\pi A(x)}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}A(x)&=\sigma \sum _{i=0}^{n-1}x^{2i}=\sigma {\frac {x^{2n}-1}{x^{2}-1}},\\B(x)&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}A(x),\\C(x)&={\frac {1}{4}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}A(x)+{\frac {1}{4x}}{\frac {d}{dx}}A(x).\end{aligned}}}$

係数が平均がゼロで分散がσのガウス分布に従う場合、同様だがより複雑な式が知られています。^[要出典]

nが大きい場合、 x付近の実根の平均密度は漸近的に

${\displaystyle m(x)={\frac {1}{\pi |1-x^{2}|}}}$

もし、 そして ${\displaystyle x^{2}-1\neq 0,}$

${\displaystyle m(\pm 1)={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {\frac {n^{2}-1}{12}}}}$

実根の期待数は、ビッグオー記法を用いると次のようになる。

${\displaystyle N_{n}={\frac {2}{\pi }}\ln n+C+{\frac {2}{\pi n}}+O(n^{-2})}$

ここでCはおよそ次の定数である。0.625 735 8072 . ^[23]

言い換えれば、高次数のランダム多項式の実根の期待値は、次数の自然対数よりも小さくなります。

カッツ、エルデシュらは、係数が独立で平均がゼロの同じ分布を持つ場合、これらの結果は係数の分布に影響を受けないことを示した。しかし、i番目の係数の分散が期待される実根の数は^[23]に等しい場合、${\displaystyle {\binom {n}{i}},}$${\displaystyle {\sqrt {n}}.}$

多項式は次のように表される。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p(x)=a(x-z_{1})^{m_{1}}\cdots (x-z_{k})^{m_{k}}}$

異なる根とそれに対応する重複度を持つ。根が単根であるのは の場合であり、多重根であるのは の場合である。単根は係数に関してリプシッツ連続であるが、多重根はそうではない。言い換えれば、単根は有界な感度を持つが、多重根は係数が任意に摂動された場合に無限に敏感である。その結果、ほとんどの根探索アルゴリズムは、数値計算において多重根の精度が大幅に低下する。 ${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{k}}$ ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}}$${\displaystyle z_{j}}$${\displaystyle m_{j}=1}$${\displaystyle m_{j}\geq 2}$

1972年、ウィリアム・カーハンは多重根には固有の安定性があることを証明した。^{[24]カーハンは、特定の多重度を持つ多項式が彼が「}ペジェラティブ多様体」と呼ぶものを形成することを発見し、摂動が多重度を維持する場合、多重根はリプシッツ連続であることを証明した。

多重根のこの幾何学的性質は、多重根の数値計算において極めて重要です。

• デカルトの符号規則 – 係数に基づいて多項式の実根を数える
• マーデンの定理 – 3次多項式の導関数の零点について
• ニュートンの恒等式 – べき乗和と基本対称関数の関係
• 二次関数#根の大きさの上限
• 実根分離 – 多項式の実根を見つける方法
• 多項式の根を求める – 多項式の零点を求めるアルゴリズム
• 平方根のない多項式 – 重複根を持たない多項式
• ヴィエタの公式 – 多項式の係数と根の関係
• 自己反転多項式の根とその導関数の逆数多項式の根を関連付けるコーンの定理。

• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002).多項式の解析理論. ロンドン数学会モノグラフ. 新シリーズ. 第26巻. オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853493-0.ZBL1072.30006  。​
• Yap, Chee-Keng (2000). アルゴリズム代数の基本問題(PDF) . Oxford University Press . ISBN 978-0195125160。。

• 根の美しさ、つまり、ある範囲の次数と整数係数を持つすべての多項式のすべての根の分布を視覚化したものです。