フェルマーの最終定理

ピタゴラスの定理、​${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$は、無限個の正の整数解を持つ。${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 そして${\displaystyle z}$これらの解はピタゴラス数（最も簡単な例は3、4、5）として知られています。1637年頃、フェルマーは本の余白に、より一般的な方程式について書き記しました。${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$正の整数に解がない場合${\displaystyle n}$は 2 より大きい整数である。フェルマーは自身の予想の一般的な証明 を持っていると主張したが、証明の詳細を何も残しておらず、これまで発見されていない。彼の主張は、彼の死後約 30 年後に発見された。フェルマーの最終定理として知られるようになったこの主張は、その後 3 世紀半にわたって未解決のままであり、フェルマーが知らなかった数学によって解決された。^{[ 4 ]}

この主張は最終的に、数学における最も注目すべき未解決問題の一つとなった。それを証明しようとする試みは数論の著しい発展を促し、時を経てフェルマーの最終定理は数学における未解決問題としてより重要な位置を占めるようになった。

特別なケース${\displaystyle n=4}$フェルマー自身によって証明されたこの定理は、ある指数に対して定理が偽である場合、${\displaystyle n}$それは素数ではないので、より小さい数に対しても偽であるはずです。${\displaystyle n}$素数のみ${\displaystyle n}$さらなる調査が必要。^{[注1 ]}次の2世紀（1637～1839年）の間、この予想は素数3、5、7についてのみ証明されたが、ソフィー・ジェルマンは素数のクラス全体に関連するアプローチを革新し証明した。^{[ 5 ] [ 6 ]} 19世紀半ば、エルンスト・クンマーはこれを拡張し、すべての正則素数について定理を証明し、不規則素数は個別に分析されることになった。^{[ 5 ] [ 7 ]}クンマーの研究に基づいて、高度なコンピュータ研究を使用して、他の数学者は証明を400万までのすべての素数指数に拡張することができたが、^{[ 8 ]}すべての指数に対する証明は、当時の知識では極めて困難または達成不可能であると考えられていた。^{[ 9 ]}

1955年頃、日本の数学者、志村五郎と谷山豊は、楕円曲線とモジュラー形式という全く異なる数学分野の間に何らかの関連性があるのではないかと疑った。当時、谷山・志村予想として知られていたこの予想は、フェルマーの最終定理とは明らかな関連性はなかった。この予想はそれ自体で重要かつ意義深いものと広く認識されていたが、（フェルマーの定理と同様に）証明は不可能だと考えられていた。^{[ 10 ]}

1984 年、ゲルハルト・フライは、これまで無関係で未解決だったこれら 2 つの問題の間に明らかな関連性があることに気づき、これを証明できる可能性を示唆する概要を示しました。^{[ 11 ] [ 12 ]} 2 つの問題が密接に関連していることの完全な証明は、1986 年にケン・リベットによって達成されました。これは、ジャン＝ピエール・セールによる部分的な証明に基づいており、セールは「イプシロン予想」として知られる部分を除くすべてを証明しました (リベットの定理とフライ曲線を参照)。^{[ 3 ]}フライ、セール、リベットによるこれらの論文は、谷山-志村予想が少なくとも半安定クラスの楕円曲線に対して証明できれば、フェルマーの最終定理の証明も自動的に得られることを示しました。その関連性は以下に説明されています。フェルマーの最終定理に矛盾する可能性のある解は、谷山-志村予想に矛盾するためにも使用できます。つまり、谷山・志村予想が正しいと判明した場合、フェルマーの最終定理に矛盾する解は存在し得ないため、フェルマーの最終定理もまた正しいということになる。

どちらの問題も当時は難解で証明は「全く不可能」と広く考えられていたが、^{[ 3 ]}これはフェルマーの最終定理を拡張して、一部の数だけでなくすべての数に対して証明できる道筋を初めて示唆したものであった。フェルマーの最終定理とは異なり、谷山・志村予想は活発な研究分野であり、現代数学の手の届く範囲にあると考えられていた。^{[ 13 ]}しかし、これは谷山・志村予想を証明することの非現実性を示したにすぎないというのが一般的な見解であった。^{[ 14 ]}数学者ジョン・コーツの引用された反応はよくあるものであった。^{[ 14 ]}

フェルマーの最終定理と谷山・志村予想の美しい関連性が実際に何かにつながるとは、私自身は非常に懐疑的でした。というのも、谷山・志村予想は証明可能な問題だとは思っていなかったからです。この問題は確かに美しいものでしたが、実際に証明するのは不可能に思えました。正直なところ、生きているうちに証明されるのを見ることはないだろうと思っていました。

リベがフレイのリンクが正しいことを証明したと聞いて、フェルマーの最終定理に幼い頃から魅了され、楕円曲線や関連分野で研究してきた経歴を持つイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、フェルマーの最終定理を証明する方法として谷山・志村予想を証明してみようと決意した。^{[ 15 ]} 1993年、この問題に6年間秘密裏に取り組んだ後、ワイルズはフェルマーの最終定理を証明するのに十分な予想を証明することに成功した。 ^{[ 16 ] [ 17 ]}ワイルズの論文は規模と範囲が非常に大きかった。査読中に彼の元の論文の一部に欠陥が発見され、解決にはさらに1年と元教え子のリチャード・テイラーとの共同作業が必要となった。 ^{[ 16 ] [ 18 ]}その結果、1995年の最終的な証明には、固定された手順が有効であることを示すより小さな共同論文が添えられた。^{[ 18 ]}ワイルズの業績は一般紙で広く報道され、書籍やテレビ番組で広く知られるようになった。^{[ 19 ] [ 20 ]}谷山-志村-ワイル予想の残りの部分は、現在では証明されモジュラリティ定理として知られており、1996年から2001年の間にワイルズの研究に基づいて他の数学者によって後に証明された。^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}ワイルズは証明に対して称賛され、2016年のアーベル賞を含む数々の賞を受賞した。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

フェルマーの最終定理を述べるには、元の問題提起と数学的に等価な、いくつかの代替的な方法が存在する。

これらを記述するために、次の表記法を使用します。${\displaystyle \mathbb {N} }$自然数の集合とする${\displaystyle 1,2,3,\dots ,}$させて${\displaystyle \mathbb {Z} }$整数の集合とする${\displaystyle 0,\pm 1,\pm 2,\dots ,}$そして${\displaystyle \mathbb {Q} }$有理数の集合とする${\displaystyle a/b}$、 どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は${\displaystyle \mathbb {Z} }$と${\displaystyle b\neq 0}$以下では、${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$1 つ以上の${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、 または${\displaystyle z}$ゼロは自明な解です。3つすべてがゼロでない解は、非自明な解と呼ばれます。

比較のために、まずは元の定式化から始めましょう。

• 元の声明。${\displaystyle n,x,y,z\in \mathbb {N} }$（つまり、${\displaystyle n,x,y,z}$（すべて正の整数）${\displaystyle n>2}$方程式${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$解決策はない。

この主題に関する最も一般的な解説では、次のように述べられているが、^{[ 27 ]}時にはそれ以上に述べられていることもある。${\displaystyle \mathbb {Z} }$: ^{[ 28 ]}

• 同等の記述1：x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ、ただし ${\displaystyle n\geq 3}$非自明な解は存在しない${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$。

nが偶数の場合は、等価性は明らかです。n が奇数で、x、y、z の 3 つすべてが負の場合、x、y、zを−x、−y、−zに置き換えることで、 Nの解が得られます。そのうち 2 つが負の場合は、xとzまたはyとzのいずれかでなければなりません。x と z が負で y が正の場合は、( − z ) n + yn = (−x)n と変形して N の解が得られます。もう1^つの場合も同様に^処理され^ます。次に、1 つだけが負の場合は、xまたはyのいずれかでなければなりません。x が負で、y と z が正の場合は、( − x ) n + ^zn = ynと^変形して再びNの解が得られます。y が負の場合は、結果は対称的に得られます。したがって、すべての場合において、 Zの非自明な解は、^問題の元の定式化であるNにも解が存在することを意味します。

• 同値な記述2：x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ（整数n ≥ 3 ）は、非自明な解x、y、z ∈ Qを持たない。

これは、 x、y、zの指数が等しい ( nに等しい) ため、 Qに解があれば、適切な共通分母を掛けることでZの解が得られ、したがってNの解が得られるためです。^{[ 27 ]}

• 同値なステートメント 3: x ⁿ + y ⁿ = 1、ただし整数n ≥ 3、非自明な解x、y ∈ Qは存在しない。

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿの非自明解a , b , c ∈ Zは、 v ⁿ + w ⁿ = 1の非自明解a / c , b / c ∈ Qをもたらします。逆に、v ⁿ + w ⁿ = 1の解a / b , c / d ∈ Qは、 x ⁿ + y ⁿ = z ⁿの非自明解ad , cb , bdをもたらします。

この最後の定式化は特に有益である。なぜなら、3次元の曲面に関する問題を2次元の曲線に関する問題に還元できるからである。さらに、環Zではなく体Q上で作業できるという利点もある。体は環よりも構造が複雑であるため、その要素をより深く分析することが可能となる。

• 同等の記述4 – 素数指数への還元:もし⁠${\displaystyle n=4}$または​​${\displaystyle n}$は奇素数であるとき、 x ⁿ + y ⁿ = z ⁿには非自明な解は存在しない。${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} .}$

この事件${\displaystyle n=4}$はフェルマーによって既に証明されていたため、省略することができた。

2より大きいすべての正の整数は次のように表すことができます。${\displaystyle pq}$どちらか​${\displaystyle p=4}$または​​${\displaystyle p}$は奇素数（おそらく、${\displaystyle q=1}$⁠ ) 等価性は等式から生じる。$${\displaystyle x^{pq}+y^{pq}-z^{pq}=(x^{q})^{p}+(y^{q})^{p}-(z^{q})^{p}.}$$ したがって、指数nの解が存在する場合、その解は指数pの解も提供します。

• 同値な記述 5 – 楕円曲線との関連: a、b、cがa ^p + b ^p = c ^pの非自明な解である場合(p は奇素数)、y 2 = ^x ( x − a p ) ⁽ x + b p ⁾ (フレイ曲線) はモジュラー形式を持たない楕円曲線になります。 ^{[ 29 ]}

リベットの定理を用いてこの楕円曲線を調べると、モジュラー形式を持たないことがわかる。しかし、アンドリュー・ワイルズによる証明では、 y ² = x ( x − a ⁿ )( x + b ⁿ )の形の任意の方程式はモジュラー形式を持つことが証明されている。したがって、 x ^p + y ^p = z ^p ( pは奇素数)の非自明な解は矛盾を生じさせ、非自明な解は存在しないことが証明される。^{[ 30 ]}

言い換えれば、フェルマーの最終定理に矛盾する解は、モジュラリティ定理にも矛盾する解となり得る。したがって、モジュラリティ定理が真であると判明すれば、フェルマーの最終定理に矛盾する解は存在しないことになる。前述のように、この同値命題の発見は、フェルマーの最終定理をあらゆる数に対して同時に「攻撃」できる手段を提供したため、最終的な解決に決定的に重要であった。

中世イスラム世界の数学の時代に、アブ・マフムード・フジャンディ（ 940年頃～1000年）が三次フェルマー方程式x ³ + y ³ = z ³を研究した。彼は、この方程式には整数解も有理数解もないことを証明したと主張したが、彼の証明は現在では誤りであると考えられている。^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}中世イスラム時代後期の別の数学者、ナスィール・アルディン・アル・トゥースィーの弟子であるアブドゥッラー・イブン・ムハンマド・イブン・アブド・アル・ラッザーク・イブン・アル・カワーム（1243年～1324年以降）は、フェルマーの最終定理の3次と4次の両方のケースを含む未解決問題のリストを発表した。^{[ 44 ]}

『算術』第2章8節の現代代数的な再定式化では、与えられた有理数の平方が 他の2つの有理数の平方に分割される方法を問うています。言い換えれば、与えられた有理数kに対して、 k ² = u ² + v ²となる有理数uとvを見つけるように求めています。ディオファントスは、 k = 4の場合のこの平方和問題を解く方法を示しており、その解はu = 16/5およびv = 12/5です。^{[ 45 ]}

1637年頃、フェルマーは『算術』の自分の写本の余白に、ディオファントスの平方和の問題の隣にラテン語で最終定理を書き記した。^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}

1665年にフェルマーが亡くなった後、息子のクレマン＝サミュエル・フェルマーは、父の注釈を加えた新版（1670年）を出版した。^{[ 52 ]}当時は実際には定理（証明が存在する数学的命題）ではなかったが、この欄外注記は、フェルマーが主張した定理の中で最後に証明されなかったものであったため、時を経て「フェルマーの最後の定理」として知られるようになった。^{[ 46 ] [ 53 ] [ 54 ]}

フェルマーが実際にすべての指数nに対して有効な証明を見つけたかどうかは不明ですが、可能性は低いと思われます。彼による関連する証明は、 n = 4の場合のみ残っており、 § 特定の指数に対する証明のセクションで説明されています。

フェルマーは、 n = 4とn = 3の場合を、マラン・メルセンヌ、ブレーズ・パスカル、ジョン・ウォリスなどの数学の通信相手への挑戦として提示したが、^{[ 55 ]}一般の場合を提示することはなかった。^{[ 56 ]}さらに、フェルマーは晩年の 30 年間、一般の場合の「本当に素晴らしい証明」について再び書くことはなく、それを公表することもなかった。ファン・デル・ポーテン^{[ 56 ]}は、証明がないことは重要ではないが、挑戦がないということは、フェルマーが証明がないことに気づいていたことを意味すると示唆している。彼は、フェルマーが取り返しのつかない考えで一時的に自分を欺いていたに違いないというワイル^{[ 57 ]}の言葉を引用している。フェルマーがそのような「素晴らしい証明」で使用したであろう手法は不明である。

ワイルズとテイラーの証明は20世紀の技術に基づいている。^{[ 58 ]}フェルマーの証明は、当時の数学的知識を考慮すると、それに比べれば初歩的なものであったはずだ。^{[ 59 ]}

ハーヴェイ・フリードマンの壮大な予想は、証明可能な定理（フェルマーの最終定理を含む）は初等関数演算のみを使用して証明できることを示唆しているが、^{[ 60 ]}そのような証明は技術的な意味で「初等的」である必要はなく、何百万ものステップを含む可能性があり、したがってフェルマーの証明としては長すぎるものであった。

フェルマーの最終定理の証明に最終的に成功した戦略は、1955 年頃に提案された「驚くべき」^{[ 150 ]}谷山-志村-ワイル予想から生まれた。多くの数学者は、この予想を証明することはほぼ不可能だと考えていたが、^{[ 9 ]} 1980 年代にはゲルハルト・フライ、ジャン＝ピエール・セール、ケン・リベによってフェルマーの方程式と関連付けられた。アンドリュー・ワイルズは 1994 年にこの予想の部分的な証明を達成し、最終的にフェルマーの最終定理の証明に成功しただけでなく、現在モジュラリティ定理として知られるものの完全な証明への道も開いた。

1986年にリベがε予想を証明したことで、フレイが提案した2つの目標のうち最初の目標が達成された。リベの成功を知った、フェルマーの最終定理に幼い頃から魅了され、楕円曲線の研究をしていたイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、後半の目標、すなわち半安定楕円曲線に対するモジュラリティ定理（当時は谷山・志村予想として知られていた）の特殊な場合を証明することに尽力することを決意した。^{[ 155 ] [ 156 ]}

ワイルズは、ほぼ完全に秘密裏にその課題に6年間取り組み、以前の研究を小さな断片として別々の論文として発表し、妻にのみ打ち明けることで努力を隠蔽した。^{[ 157 ]}彼の最初の研究は帰納法による証明を示唆し、^{[ 158 ]}彼は最初の研究と最初の重要なブレークスルーをガロア理論に基づいて行ったが、 ^{[ 159 ]} 1990年から91年頃には、この問題に適した既存のアプローチがないように見えたため、帰納的議論のために水平岩澤理論を拡張する試みに切り替えた。 ^{[ 160 ]}しかし、1991年半ばまでに、岩澤理論もこの問題の中心的な問題に到達していないように見えた。^{[ 161 ] [ 162 ]}これに対し、彼は最先端の研究や新しい技術の手がかりを探すために同僚に連絡を取り、ヴィクトル・コリヴァギンとマティアス・フラッハによって最近開発されたオイラーシステムを発見し、それが彼の証明の帰納部分に「特注」されているように見えた。^{[ 163 ]}ワイルズはこのアプローチを研究し、拡張し、それがうまくいった。彼の研究はこのアプローチに大きく依存しており、それは数学にとってもワイルズにとっても新しいものであったため、1993 年 1 月に、彼はプリンストン大学の同僚であるニック・カッツに、自分の推論に微妙な誤りがないか確認するよう依頼した。当時の彼らの結論は、ワイルズが使用した手法は正しく機能しているように見えるというものだった。^{[ 164 ] [ 165 ]}

1993 年 5 月中旬までに、ワイルズはフェルマーの最終定理の証明を解いたと思うと妻に伝える準備ができていました。^{[ 166 ]}そして 6 月には、1993 年 6 月 21 ～ 23 日にアイザック ニュートン数学科学研究所で行われた 3 つの講演で結果を発表するのに十分な自信を感じていました。^{[ 167 ] [ 168 ]}具体的には、ワイルズは半安定楕円曲線の谷山-志村予想の証明を発表しました。これは、リベのイプシロン予想の証明と合わせて、フェルマーの最終定理を意味していました。しかし、査読中に証明の重要な点が間違っていることが明らかになりました。それは、特定の群の位数の上限に誤りがありました。この誤りは、ワイルズの原稿を査読していた数人の数学者によって発見され、その中には（査読者として）カッツ^{[ 169 ]}も含まれており、カッツは1993年8月23日にワイルズに警告した^{[ 170 ]。}

この誤りによって彼の研究が無価値になるわけではありませんでした。ワイルズの研究の各部分はそれぞれ非常に重要かつ革新的であり、研究の過程で彼が生み出した多くの発展や技術も同様で、影響を受けたのはその一部だけでした。^{[ 171 ]}しかし、この部分が証明されなければ、フェルマーの最終定理の実際の証明は存在しませんでした。ワイルズは、最初は一人で、その後はかつての教え子であるリチャード・テイラーと共同で、ほぼ1年間かけて証明を修正しようとしましたが、成功しませんでした。^{[ 172 ] [ 173 ]} 1993年末までに、精査の結果、ワイルズの証明が失敗したという噂が広まりましたが、その深刻さは不明でした。数学者たちは、ワイルズに、完成しているかどうかにかかわらず、彼の研究を公開するよう圧力をかけ始め、より広いコミュニティが彼が成し遂げたことを探求し、利用できるようにしました。しかし、当初は些細に思えた問題は修正されるどころか、今や非常に重要で、はるかに深刻で、解決が容易ではない問題となりました。^{[ 174 ]}

ワイルズは、1994年9月19日の朝、自分が失敗したことを受け入れ、自分が試みたさまざまな失敗したアプローチの詳細を、同じような困難を乗り越える方法を見つけられるかもしれない他の人が使えるように公開することにほぼ諦めていたと述べている。自分のアプローチがうまくいかなかった根本的な理由を明確にしようとしたとき、彼は突然ひらめいた。コリヴァギン-フラッハのアプローチが直接機能しない具体的な理由は、コリヴァギン-フラッハのアプローチから得た経験を使って岩澤理論を強化すれば、岩澤理論を使った最初の試みが機能することも意味していた。一方のアプローチをもう一方のアプローチのツールで修正すれば、査読済みの論文ですでに証明されていないすべてのケースの問題が解決するだろう。^{[ 175 ] [ 176 ]}彼は後に、岩澤理論とコリヴァギン-フラッハのアプローチはそれぞれ単独では不十分だが、両方を組み合わせると、この最後のハードルを克服するのに十分な力を持つことができると説明した。

私は机に座って、コリヴァギン・フラッハ法を調べていました。うまくいくとは思っていませんでしたが、少なくともなぜうまくいかないのかは説明できると思っていました。すると突然、信じられないようなひらめきが訪れました。コリヴァギン・フラッハ法はうまくいっていなかったけれど、3年前に提唱した岩沢理論を機能させるのに必要なのは、まさにそれだったのです。コリヴァギン・フラッハ法の灰の中から、問題の真の答えが浮かび上がってきたようでした。それは言葉では言い表せないほど美しく、シンプルで、そして優雅でした。どうして今まで気づかなかったのか理解できず、20分間、ただただ信じられない思いでそれを見つめていました。その後、日中、研究室を歩き回り、何度も自分の机に戻って、それがまだそこにあるかどうかを確認しました。それはまだそこにありました。興奮を抑えきれませんでした。それは私の仕事人生で最も重要な瞬間でした。今後、どんなことをしても、これほど大きな意味を持つことはないでしょう。

1994 年 10 月 24 日、ワイルズは「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」^{[ 16 ]}と「特定のヘッケ代数の環論的性質」^{[ 178 ]}の 2 つの原稿を提出した。後者はテイラーとの共著で、主論文の修正された手順を正当化するために必要な特定の条件が満たされていることを証明した。この 2 つの論文は審査され、1995 年 5 月号の Annals of Mathematicsに全体として掲載された。変形環をヘッケ代数と同一視する証明方法 (現在ではR=T 定理と呼ばれている) は、モジュラー性持ち上げ定理を証明するために用いられ、代数的整数論において影響力のある発展となった。

これらの論文は、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理を確立し、フェルマーの最終定理が予想されてから358年後に、その証明における最後のステップとなった。

谷山-志村-ワイル予想の完全な証明は、ワイルズの研究に基づいて残りのケースを段階的に解決して完全な結果が証明されたダイヤモンド（1996）^{[ 21 ]}、コンラッドら（ 1999） ^{[ 22 ]} 、およびブリュイユら（2001）^{[ 23 ]}によって最終的に行われた。現在完全に証明された予想はモジュラリティ定理として知られるようになった。

フェルマーの最終定理に類似した数論の定理は他にもいくつかあり、モジュラリティ定理を用いて同様の推論から導き出される。例えば、n ≥ 3 の場合、立方数は互いに素なn乗の和として表すことはできない。（ n = 3の場合は既にオイラーによって知られていた。）

一般化フェルマー方程式は、正の整数解a、b、c、m、n、kを考慮してフェルマーの最終定理の記述を一般化します^{[ 179 ]}$${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}.}$$ 特に、指数m、n、k は必ずしも等しい必要はなく、フェルマーの最終定理はm = n = kの場合を考察している。

ビール予想は、 a 、 b、 cが互いに素であり、m、n、kがすべて2より大きい正の整数a、b、c、m、n、kにおいて、一般化フェルマー方程式の解が存在しないことを述べている。^{[ 180 ]}

フェルマー・カタラン予想は、カタラン予想の考え方を用いてフェルマーの最終定理を一般化したものである。^{[ 181 ] [ 182 ]}この予想は、一般化されたフェルマー方程式には、異なる値の三つ組( a ^m , b ⁿ , c k ) を持つ有限個の解 ( a , b , c , m , n , ^k )しか存在しないと述べている。ここで、 a , b , cは互いに素な正の整数であり、m , n , kは正の整数である。 $$\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$$この記述は、既知の解が 10個あるため、解の集合が有限であることに関するものです。^{[ 179 ]}

指数nを整数の逆数、すなわちn = 1/ m (mはある整数) とすると、逆フェルマー方程式が得られます。 $${\displaystyle a^{\frac {1}{m}}+b^{\frac {1}{m}}=c^{\frac {1}{m}}.}$$ この方程式のすべての解は、1992 年にHendrik Lenstraによって計算されました。 ^{[ 183 ]}​​ m乗根が実数かつ正である必要がある場合、すべての解は次のように与えられます。 ^{[ 184 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=rs^{m}\\b&=rt^{m}\\c&=r(s+t)^{m}\end{aligned}}}$$ 正の整数r、s、tに対して、sとtは互いに素である。

ディオファントス方程式の場合 $${\displaystyle a^{\frac {n}{m}}+b^{\frac {n}{m}}=c^{\frac {n}{m}}}$$nが 1 でない 場合、Bennett、Glass、および Székely は 2004 年にn > 2 の場合、nとmが互いに素であれば、整数解が存在するのは、6 がmを割り切り、a ^{1/ m}、b ^{1/ m}、およびc ^{1/ m}が同じ実数の異なる複素 6 乗根である場合のみであることを証明した。^{[ 185 ]}

abc予想は、3つの正の整数a、b、c（そのためこの名前が付けられている）が互いに素で、a + b = cを満たす場合、abcの根号d は通常cよりそれほど小さくならないことを大まかに述べている。特に、abc予想の最も標準的な定式化では、nが十分に大きい場合、フェルマーの最終定理が導かれる。^{[ 189 ] [ 190 ] [ 191 ]}修正された Szpiro 予想はabc 予想と同等であり、したがって同じ含意を持つ。^{[ 192 ] [ 191 ]} abc 予想の有効なバージョン、または修正された Szpiro 予想の有効なバージョンは、フェルマーの最終定理を直接的に導く。^{[ 191 ]}