フレイ曲線

数学において、フレイ曲線またはフレイ・ヘレグアルク曲線は、 ABC トリプルに関連付けられた楕円曲線です。これは、方程式の解の特性を楕円曲線に関連付けます。この曲線は、フェルマーの最終定理への応用で有名になりました。フェルマーの最終定理では、 フェルマーの方程式の (仮説的な) 解を調べます。$${\displaystyle y^{2}=x(x-\alpha )(x+\beta )}$$${\displaystyle \alpha +\beta =\gamma }$

${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell }.}$

この曲線はゲルハルト・フレイと（場合によっては）イヴ・ヘレグアルシュ （フランス語; ドイツ語）にちなんで名付けられました。

イヴ・ヘレグアルシュ（1975）は、フェルマー方程式の解を全く異なる数学的対象である楕円曲線に関連付けるというアイデアを思いつきました。^[1] ℓ が奇数の素数で、a、b、c が次の正の整数で ある場合 、対応するフレイ曲線は次の方程式で与えられる代数曲線です 。または、同等に次の 方程式で与えられます。 これはQ 上で定義された種数 1 の非特異代数曲線であり、その射影完備化はQ上の楕円曲線です。 ${\displaystyle (a,b,c)}$$${\displaystyle a^{\ell }+b^{\ell }=c^{\ell },}$$$${\displaystyle y^{2}=x(xa^{\ell })(x+b^{\ell }),}$$$${\displaystyle y^{2}=x(x-a^{\ell })(x-c^{\ell }).}$$

ゲルハルト・フレイ (1982) は、ヘレグアルクと同じ曲線の珍しい性質に注目し、フレイ曲線と呼ばれるようになった。これは、フェルマーの最終定理の反例がモジュラーではない曲線を作成することを示し、フェルマーと谷山の間の架け橋となった。谷山・志村・ヴェイユ予想はフェルマーの最終定理を意味するとフレイ (1986) が示唆したとき、この予想はかなりの注目を集めた。 ^[2]しかし、彼の議論は完全ではなかった。1985年、ジャン＝ピエール・セールは、フレイ曲線はモジュラーではあり得ないと提案し、これの部分的な証明を示した。これは、谷山・志村予想の半安定ケースの証明はフェルマーの最終定理を意味することを示した。セールは完全な証明を提供しなかったため、欠けている部分はイプシロン予想またはε予想として知られるようになった。 1986年の夏、リベット（1990）はイプシロン予想を証明し、谷山・志村・ヴェイユ予想がフェルマーの最終定理を意味することを証明した。^[3]

• Frey, Gerhard (1986)、「安定楕円曲線と特定のディオファントス方程式との関連」、Annales Universitatis Saraviensis。Series Mathematicae、1 (1): iv+40、ISSN  0933-8268、MR  0853387
• Frey、Gerhard (1982)、「Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven」、J. reine angew。数学。、331 : 185–191
• Helleguearch、Yves (1975)、「Points d'ordre 2ph sur les courbes elliptiques」(PDF)、Polska Akademia Nauk。マテマティチヌイ研究所。 Acta Arithmetica、26 (3): 253–263、ISSN  0065-1036、MR  0379507
• Helleguarch、Yves (2000)、「H. Darmon intitulé の記事の修正: "La Conjecture de Shimura-Taniyama-Weil est enfin démontré""、Gazette des Mathématiciens、83、ISSN  0224-8999、オリジナルからアーカイブ2012年2月4日、2012-01-02取得
• ヘレグアーク、イヴ（2002）、フェルマーとワイルズの数学への招待、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 978-0-12-339251-0、MR  1475927
• リベット、ケネス A. (1990)、「モジュラー形式から生じるGal( Q /Q)のモジュラー表現について」、 Inventions Mathematicae、100 (2): 431–476、Bibcode :1990InMat.100..431R、doi :10.1007/BF01231195、hdl : 10338.dmlcz/147454、ISSN  0020-9910、MR  1047143、S2CID  120614740