オイラーシステム

数学において、オイラー系は、体によってインデックス付けされたガロアコホモロジー群の互換性のある元の集合である。これらは、Kolyvagin (1990) がモジュラー楕円曲線上のヒーグナー点 に関する研究で導入したものであり、これは彼の以前の論文 Kolyvagin (1988) と Thaine (1988) の研究に触発されたものである。オイラー系は、オイラー系の異なる要素に関連する因子がオイラー積のオイラー因子に似ていることから、レオンハルト・オイラーにちなんで名付けられている。

オイラー系はイデアル類群やセルマー群の消滅群を構成するために使用することができ、それによってそれらの順序に上限が与えられ、その結果、いくつかのテイト・シャファレビッチ群の有限性などの深い定理が導かれた。これはカール・ルービンによる岩澤理論の主予想の新しい証明につながり、バリー・マズールとアンドリュー・ワイルズによる元の証明よりも簡単であると考えられている。

特殊な種類のオイラー系にはいくつかの定義がありますが、すべての既知のケースを網羅するオイラー系の定義は公表されていないようです。しかし、オイラー系がどのようなものかは、次のように大まかに言うことができます。

• オイラー系は、c _Fの要素の集合で与えられます。これらの要素は、固定された数体Kを含む特定の数体F、または平方自由整数などの密接に関連するものによってインデックス付けされることがよくあります。要素c _{F は}^{、通常、 H 1} ( F , T )などのガロアコホモロジー群の要素です。ここで、 T はKの絶対ガロア群のp進表現です。
• 最も重要な条件は、 2つの異なる体F⊆Gの要素c Fと_c Gが_次 の ような簡単な式で関係付けられることである。

${\displaystyle {\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^{-1}|{\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}}$

ここで、「オイラー因子」P (τ| B ; x ) は、O[ x ]の要素として考慮される要素 det(1-τ x | B ) として定義されます。これは、 x がBに作用する場合、O の要素として考慮されるdet(1-τ x | B )と同じではありません。

• 合同条件など、c _{F が}満たさなければならない他の条件が存在する場合もあります。

加藤和也はオイラー系の要素を「ゼータの算術的化身」と呼び、オイラー系の性質を「これらの化身がオイラー積の特殊な値に関連しているという事実の算術的反映」と説明しています。^[1]

平方根のない正の整数nに対して、 ζ _nのn乗根 ζ _nをとります。ここで、mとn_{は互いに素です。すると、円分オイラー法は、数 α n} = 1 − ζ _nの集合です。これらは、次の関係式を満たします。

${\displaystyle N_{Q(\zeta _{nl})/Q(\zeta _{l})}(\alpha _{nl})=\alpha _{n}^{F_{l}-1}}$

${\displaystyle \alpha _{nl}\equiv \alpha _{n}}$lより大きいすべての素数を法とする

ここでlはnを割り切れない素数であり、Fl_はFl (ζn ₎ =ζとなるフロベニウス自己同型である_。^l
_nコリヴァギンはこのオイラー系を使ってグラス予想の初歩的な証明を与えた。

コリヴァギンは楕円曲線のヒーグナー点からオイラー系を構築し、これを使用してテイト・シャファレヴィッチ群が有限である場合があることを証明しました。

加藤のオイラー体系は、モジュラー曲線の代数的K理論に現れる特定の要素から構成される。これらの要素は、 Beilinson (1984)で導入したAlexander BeilinsonにちなんでBeilinson要素と名付けられ、Kato (2004)で加藤和也によって使用され、楕円曲線の岩澤理論に関するBarry Mazurの主予想における1つの割り切れることを証明した。^[2]

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• Coates, JH ; Greenberg, R.; Ribet, KA ; Rubin, K. (1999)、楕円曲線の算術理論、数学講義ノート、第 1716 巻、Springer-Verlag、ISBN 3-540-66546-3
• Coates, J. ; Sujatha, R. (2006)、「オイラー系」、Cyclotomic Fields and Zeta Values、Springer Monographs in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 71–87、ISBN 3-540-33068-2
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• Kolyvagin システムに関するいくつかの論文は、 Wayback Machineの 2011-05-17 アーカイブされた Barry Mazur の Web ページ(2005 年 7 月現在)で入手できます。