整数の根号

数論では、正の整数nの根号は、 n を割り切る異なる素数の積として定義されます。 nの各素因数は、この積の因数として正確に 1 回出現します。

$${\displaystyle \displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{\scriptstyle p\mid n \atop p{\text{ prime}}}p}$$

根号はabc予想の記述において中心的な役割を果たす。^[1]

最初のいくつかの正の整数の根号数は

1、2、3、2、5、6、7、2、3、10、11、6、13、14、15、2、17、6、19、10、21、22、23、6、5、26、3、14、29、30、31、2、33、34、35、6、37、38、39、10、41、42、43、22、15、46、47、6、7、10、...（OEISのシーケンスA007947 ）。

例えば、 $${\displaystyle 504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7}$$

そしてそれゆえ $${\displaystyle \operatorname {rad} (504)=2\cdot 3\cdot 7=42}$$

この関数は乗法関数です（ただし、完全に乗法ではありません）。 ${\displaystyle \mathrm {rad} }$

任意の整数の根号はの最大の平方自由約数であり、の平方自由核とも呼ばれる。^[2]整数の平方自由部分を計算する多項式時間アルゴリズムは知られていない。^[3]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

この定義は、 、の最大の-自由約数に一般化され、これらは素数冪に作用する乗法関数である。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}}$

$${\displaystyle \mathrm {rad} _{t}(p^{e})=p^{\mathrm {min} (e,t-1)}}$$

事例およびは、OEIS :A007948およびOEIS :A058035にまとめられています。 ${\displaystyle t=3}$${\displaystyle t=4}$

根号の概念はabc予想に登場し、任意の に対して、 、 、を満たす互いに素な正の整数の3つ組に対して、 となる有限 が存在することを述べている^[1]。${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a+b=c}$

$${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\,\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }}$$

任意の整数 に対して、有限環の冪零元はの倍数すべてです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {rad} (n)}$

ディリクレ級数は

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {p^{1-s}}{1-p^{-s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\operatorname {rad} (n)}{n^{s}}}}$