半群

数学において、半群とは、集合と、その集合に対する結合法則を満たす内部二項演算からなる代数構造のことである。数学解析においては、この用語は1パラメータ作用素半群の理論にも現れる（C0半群を参照）。

半群の二項演算は、多くの場合、乗法的に表されます。 $x\cdot y$ または単に $xy$ は、順序対に半群演算を適用した結果を表します。 $(x,y)$ 結合法則は形式的には次のように表現される。 $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ すべての人々のために $x$ 、 $y$ そして $z$ 半群において。半群の例としては、文字列連結によって形成される半群があります。文字列連結とは、文字列を結合することです。例えば、文字列「spot」と「run」の連結は、文字列「spot」・「run」=「spot run」となります。結合法則とは、

「見る」・（「スポット」・「走る」）＝「見る」・「スポット走る」＝「スポットを見る走る」＝「スポットを見る」・「走る」＝（「見る」・「スポット」）・「走る」。

半群の正式な研究は20世紀初頭に始まった。初期の成果としては、任意の半群を変換半群として実現するケイリーの定理があり、これは群論における全単射の役割を任意の関数に置き換えたものである。有限半群の分類における重要な成果としては、有限群のジョルダン・ヘルダー分解に類似したクローン・ローズ理論がある。グリーン関係など、半群を研究するための他の手法は、群論のどの概念とも似ていない。

有限半群の理論は、構文モノイドを介して有限半群と有限オートマトンとの間に自然なつながりがあるため、1950年代以降、理論計算機科学において特に重要視されてきました。確率論では、半群はマルコフ過程と関連付けられています。 [ 1 ]応用数学の他の^分野^で^は、半群は線形時不変システムの基本的なモデルです。偏微分方程式では、空間的発展が時間に依存しない任意の方程式に半群が関連付けられます。

代数の概要

半群は、演算が結合法則を満たすマグマの特殊なケース、あるいは単位元や逆元の存在を必要としない群の一般化とみなすことができる。 ^{[ a ]}群やマグマの場合と同様に、半群演算は可換である必要はないので、 $x\cdot y$ 必ずしも等しいとは限らない $y\cdot x$ 結合法則を満たすが非可換な演算のよく知られた例としては、行列の乗算がある。半群演算が可換である場合、その半群は可換半群と呼ばれるか、（群の場合ほど頻繁ではないが）アーベル半群と呼ばれることもある。

モノイドは半群と群の中間の代数構造であり、単位元を持つ半群であるため、群の公理のうち逆元の存在が必須ではないという点を除いて、すべての公理を満たします。自然な例としては、連結を二項演算とし、空文字列を単位元とする文字列があります。空でない文字列に限定すると、モノイドではない半群の例が得られます。加算を持つ正の整数は、モノイドではない可換半群を形成しますが、非負の整数はモノイドを形成します。単位元を持たない半群は、単位元を追加するだけで簡単にモノイドにすることができます。したがって、モノイドは群論ではなく半群論で研究されます。半群は、群を異なる方向に一般化した準群と混同してはなりません。準群の演算は結合法則を満たす必要はありませんが、準群は群から除算の概念を保持しています。半群（またはモノイド）における分割は一般には不可能である。

半群には、特定の応用分野で現れる、追加的な性質を持つ特殊なクラスが数多く存在します。これらのクラスの中には、群のすべての性質ではなく、いくつかの追加的な性質を示すことで、群により近いものもあります。これらの例としては、正則半群、正統半群、対合を持つ半群、逆半群、および消去半群が挙げられます。また、自明群以外の群を一切含まない興味深い半群のクラスも存在します。後者の例としては、バンドとその可換部分クラスである半束があり、これらも順序代数構造です。

意味

半群とは集合のことである $S$ 二項演算と併せて $\cdot$ （つまり、関数） $\cdot :S\times S\to S$ 結合法則を満たすもの：

すべての人々のために

a,b,c\in S

方程式

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

保持する。

より簡潔に言えば、半群は結合マグマである。

半群の例

空の半群：空集合は、空関数を二項演算とする半群を形成する。
要素が1つだけの半群：本質的に1つしかない（具体的には、同型を除いて 1つだけ）、つまり単元である。 $\{a\}$ 操作付き $a\cdot a=a$ 。
2つの要素を持つ半群：本質的に異なる要素は5つあります。
任意の空でない集合上の、選択された零点を持つ零半群、または任意の集合上の左零半群／右零半群。
「フリップフロップ」モノイド：スイッチの3つの操作（セット、リセット、何もしない）を表す3つの要素を持つ半群。このモノイドはクローン＝ローズ理論において中心的な役割を果たす。
加算を含む正の整数の集合。（0を含めると、モノイドとなる。）
最小値または最大値を持つ整数の集合。（正の無限大と負の無限大を含めると、モノイドとなる。）
与えられたサイズの正方非負行列と行列乗算（これはモノイドです）。
環の乗法を伴う環の任意のイデアル。
固定されたアルファベット上のすべての有限文字列の集合 $\Sigma$ 文字列の連結を半群演算とする、自由半群と呼ばれる $\Sigma$ 空文字列を含めると、この半群は自由モノイドになる。 $\Sigma$ 。
確率分布 $F$ すべての畳み込みパワーとともに $F$ 演算として畳み込みを用いる。これは畳み込み半群と呼ばれる。
変換半群とモノイド。
位相空間からその空間自身への連続関数の集合は、関数の合成によってモノイドを形成し、恒等関数が恒等関数として作用する。より一般的には、ある圏の任意の対象の自己準同型写像は、合成に関してモノイドを形成する。
超平面の配置の面の積。

基本概念

アイデンティティとゼロ

半群の左恒等式 $S$ （あるいはより一般的には、マグマ）は元素である $e$ すべての $x$ で $S$ 、 $e\cdot x=x$ 同様に、正しいアイデンティティは要素である $f$ すべての $x$ で $S$ 、 $x\cdot f=x$ 左恒等式と右恒等式はどちらも片側恒等式と呼ばれます。半群は1つ以上の左恒等式を持つが右恒等式を持たない場合もあれば、その逆の場合もあります。

両側単位元（または単に単位元）とは、左単位元と右単位元の両方である要素のことです。両側単位元を持つ半群はモノイドと呼ばれます。半群は、最大で1つの両側単位元を持つことができます。半群が両側単位元を持つ場合、その両側単位元は半群内の唯一の片側単位元となります。半群が左単位元と右単位元の両方を持つ場合、その半群は両側単位元を持ちます（したがって、それが唯一の片側単位元となります）。

半群 $S$ 同一性を持たない要素は、要素を隣接させることによって形成されるモノイドに埋め込むことができる。 $e\notin S$ に $S$ そして定義する $e\cdot s=s\cdot e=s$ すべての人々のために $s\in S\cup \{e\}$ [ ^{2 ] [}³^]表記^法 $\displaystyle S^{1}}$ は、から得られるモノイドを表します。 $S$ 必要に応じてアイデンティティを隣接させることにより（ $S^{1}=S$ モノイドの場合）。^{[ 3 ]}

同様に、すべてのマグマには最大で 1 つの吸収要素があり、これは半群理論では零点と呼ばれます。上記の構成と同様に、すべての半群に対して $S$ 定義することができる $S^{0}$ 0 の半群を埋め込む $S$ 。

部分半群とイデアル

半群演算は、その部分集合の集合に対する演算を誘導します。与えられた部分集合 $A$ そして $B$ 半群の $S$ 彼らの製品 $A\cdot B$ 一般的には次のように表記される $AB$ 、は集合です $\{ab\mid a\in A{\text{ かつ }}b\in B\}$ （この概念は、グループの場合と全く同じように定義されます。）この操作に関して、部分集合は $A$ と呼ばれる

部分半群の場合 $AA$ は、 $A$ 、
正しい理想 $AS$ は、 $A$ 、そして
左のイデアル $SA$ は、 $A$ 。

もし $A$ が左イデアルかつ右イデアルである場合、それはイデアル（または両側イデアル）と呼ばれます。

もし $S$ が半群である場合、の任意の部分半群の集合の共通部分は $S$ は、の部分半群でもある。 $S$ 。したがって、部分半群は $S$ 完全な格子を形成する。

最小イデアルを持たない半群の例として、加法に関する正の整数の集合が挙げられる。可換半群の最小イデアルは、存在する場合には群となる。

グリーン関係とは、要素が生成する主イデアルの観点から要素を特徴付ける5つの同値関係の集合であり、半群のイデアルや関連する構造概念を分析するための重要なツールである。

半群のすべての要素が他のすべての要素と可換であるという性質を持つ部分集合を半群の中心と呼ぶ。 ^{[ 4 ]}半群の中心は実際には部分半群である。^{[ 5 ]}

準同型写像と合同式

半群準同型とは、半群構造を保存する関数である。 $f:S\to T$ 2 つの半群間の準同型写像は、次の式が成り立つ場合に準同型写像となる。

f(ab)=f(a)f(b)

。

すべての要素に適用される $a$ 、 $b$ で $S$ つまり、マップを適用する前でも後でも、半群演算を実行しても結果は同じです。 $f$ 。

モノイド間の半群準同型写像は、それがモノイド準同型写像であれば、同一性を保持する。しかし、モノイド準同型写像ではない半群準同型写像も存在する。例えば、半群の標準埋め込みなどである。 $S$ 身元不明のまま $S^{1}$ モノイド準同型を特徴付ける条件についてさらに議論する。 $f:S_{0}\to S_{1}$ 半群準同型である。 $f$ も半群です。 $S_{0}$ 単位元を持つモノイドである $e_{0}$ 、それから $f(e_{0})$ は、 $f$ 。もし $S_{1}$ 単位元を持つモノイドでもある $e_{1}$ そして $e_{1}$ の画像に属する $f$ 、それから $f(e_{0})=e_{1}$ つまり $f$ はモノイド準同型です。特に、 $f$ が全射であれば、それはモノイド準同型である。

2つの半群 $S$ そして $T$ 全単射半群準同型が存在する場合、それらは同型であると言われる。 $f:S\to T$ 同型半群は同じ構造を持つ。

半群の合同 $\sim$ は半群演算と互換性のある同値関係です。つまり、部分集合 $\sim \,\subseteq S\times S$ それは同値関係であり、 $x\sim y$ そして $u\sim v$ 暗示する $xu\sim yv$ すべての $x,y,u,v$ で $S$ あらゆる同値関係と同様に、半群の合同 $\sim$ 合同クラスを誘導する

[a]=\{x\in S\mid x\sim a\}

そして半群演算は二項演算を誘導する $\circ$ 合同類について：

[u]\circ [v]=[uv]

。

なぜなら $\sim$ は合同式であり、すべての合同式のクラスの集合である。 $\sim$ 半群を形成する $\circ$ 商半群または因子半群と呼ばれ、 $S/\!\sim$ マッピング $x\mapsto [x]$ は半群準同型であり、商写像、正準全射または射影と呼ばれる。 $S$ がモノイドである場合、商半群は単位元を持つモノイドである。 $[1]$ 逆に、任意の半群準同型の核は半群合同である。これらの結果は、普遍代数における第一同型定理の特殊化にすぎない。合同類と因子モノイドは、文字列書き換えシステムにおける研究対象である。

核の一致 $S$ は、内準同型の核である。 $S$ [ ⁶^]

半群 $S$ 合同関係の任意の族が最大条件を満たす場合、 $S$ 包含関係によって順序付けられたは、最大要素を持つ。ツォルンの補題によれば、これは昇連鎖条件が成り立つことと同値である。すなわち、上には無限に厳密に昇る合同関係の連鎖は存在しない。 $S$ [ ⁷^]

すべての理想 $I$ 半群の合同式により、因子半群、リース因子半群が誘導される。 $\rho$ 定義される $x\rho y$ どちらか $x=y$ または両方 $x$ そして $y$ は $I$ 。

商と除算

以下の概念^{[ 8 ]}は、半群が別の半群に含まれるという考え方を導入する。

半群Tが半群Sの商であるとは、 SからTへの全射半群射が存在する場合をいう。例えば、( Z /2 Z , +)は、整数の 2 を法とする剰余を取る射を用いて、( Z /4 Z , +)の商である。

半群Tが半群Sを分割するとは、T が部分半群Sの商である場合をいい、 T ≼ Sと表記する。特に、Sの部分半群はT を分割するが、 Sの商が存在するとは限らない。

これらの関係はどちらも推移的である。

半群の構造

Sの任意の部分集合Aに対して、 Aを含むSの最小の部分半群Tが存在し、A がTを生成すると言います。Sの単一の要素xは、部分半群 ${$ $x$ $n$ $|$ $n$ $\in$ $Z$ $+$ $}$ を生成します。これが有限であれば、x は有限位数であると言われ、そうでなければ無限位数であると言われます。半群は、そのすべての要素が有限位数である場合、周期的であると言われます。単一の要素によって生成される半群は、単生成（または巡回的）であると言われます。単生成半群が無限であれば、加算演算を持つ正の整数の半群と同型です。有限かつ空でない場合、少なくとも 1 つの冪等元を含まなければなりません。したがって、すべての空でない周期半群は、少なくとも 1 つの冪等元を持ちます。

半群でありながら群でもある部分を部分群と呼ぶ。半群の部分群とその冪等元の間には密接な関係がある。各部分群は、その部分群の単位元である冪等元をちょうど1つ含む。半群の各冪等元eに対して、 eを含む唯一の極大部分群が存在する。各極大部分群はこのようにして生じるため、冪等元と極大部分群の間には1対1の対応関係がある。ここでいう極大部分群という用語は、群論における通常の用法とは異なる。

順序が有限である場合、より多くのことが言える場合が多い。例えば、空でない有限半群はすべて周期的であり、最小イデアルと少なくとも１つの冪等元を持つ。与えられたサイズ（1より大きい）の有限半群の数は、（当然ながら）同じサイズの群の数よりも多い。例えば、2つの要素の集合 ${a, b}$ に対する16個の可能な「乗算表」のうち、8個は半群^{[ b ]}を形成するが、そのうちモノイドは4個のみであり、群を形成するのは2個のみである。有限半群の構造の詳細については、クローン・ローズ理論を参照のこと。

半群の特殊なクラス

モノイドとは、単位元を持つ半群のことである。
群とは、すべての要素が逆元を持つモノイドのことである。
部分半群とは、半群演算に関して閉じている半群の部分集合のことである。
取り消し可能な半群とは、取り消し性質を持つ半群のことである。^{[ 9 ]} a · b = a · cならばb = cであり、同様にb · a = c · aも成り立つ。すべての群は取り消し可能な半群であり、すべての有限取り消し可能な半群は群である。
バンドとは、演算が冪等である半群のことである。
半束とは、演算が冪等かつ可換である半群のことである。
0-単純半群。
変換半群：任意の有限半群S は、最大で| S | + 1個の状態からなる（状態）集合Qの変換によって表現できます。Sの各要素xは、 Q を自身に写像x : Q → Qとなり、シーケンスxyは、 Qの各要素qに対してq ( xy ) = ( qx ) yで定義されます。シーケンス化は明らかに結合法則を満たす演算であり、ここでは関数合成に相当します。この表現は、あらゆるオートマトンまたは有限状態機械(FSM) の基本となります。
二環式半群は実際にはモノイドであり、関係pq = 1の下で2 つの生成元pとq上の自由半群として記述できます。
C ₀ -半群。
正則半群。すべての要素xには、 xyx = xおよびyxy = yを満たす逆元y が少なくとも 1 つ存在します。要素xとyは「相互に逆元である」と呼ばれることもあります。
逆半群とは、すべての要素がただ1つの逆元を持つ正則半群のことである。言い換えれば、正則半群が逆半群であるのは、任意の2つの冪等元が可換である場合に限る。
^{アフィン半群：Z d}の有限生成部分半群と同型な半群。これらの半群は可換代数に応用される。

可換半群の構造定理

半束に関する可換半群の構造定理が存在する。^{[ 10 ]}半束（より正確にはミート半束） $（ L 、\leq）$ は、要素のペア $a$ $、$ $b$ $\in$ $L$ のすべてに最大下限 $a$ $\land$ $b$ があるような半順序集合である。演算 ∧ により、Lは追加の冪等法則 $a$ $\land$ $a$ $=$ $a$ を満たす半群となる。

任意の半群から半束への準同型写像 $f : S \to Lが与えられたとき、各逆像$ $S a = f -1 {a}$ は（空である可能性もある）半群である。さらに、S はLによって次数付けされる。つまり、 $S$ $a$ $S$ $b$ $\subseteq$ $S$ $a$ $\land$ $b$ となる。

fが全射である場合、半束Lは、 $f$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $y$ $)$ の場合に限り $x$ $~$ $y$ となるような同値関係~によるSの商と同型である。この同値関係は、上で定義した半群合同関係である。

可換半群を合同関係で割った商をとると、別の可換半群が得られます。構造定理によれば、任意の可換半群Sに対して、 Sをこの同値関係で割った商が半束となるような、最も細かい合同関係 ~ が存在します。この半束をLとすると、 SからLへの準同型写像fが得られます。前述のように、S はこの半束によって次数付きになります。

さらに、成分S _aはすべてアルキメデス半群です。アルキメデス半群とは、任意の要素のペアx、yに対して、 $x$ $n$ $=$ $yz$ となる要素zと $n > 0$ が存在する半群のことです。

アルキメデス性は半束Lの順序付けから直ちに導かれる。なぜなら、この順序付けでは、あるzと $n$ $> 0に対して$ $x$ $n$ $=$ $yz$ である場合に限り $f (x) \leq f (y)$ となるからである。

分数のグループ

半群Sの分数の群または群完備化は、 Sの要素を生成元とし、Sで成り立つすべての方程式xy = zを関係として生成する群G = G ( S )です。^[¹¹^] Sの各要素を対応する生成元に送る明らかな半群準同型j : S → G ( S ) があります。これは、 Sから群への射に対して普遍的な性質を持ちます。 ^[¹²^] 任意の群Hと任意の半群準同型k : S → Hが与えられたとき、 k = fjとなる一意の群準同型f : G → Hが存在します。Gは、 Sの準同型像を含む「最も一般的な」群と考えることができます。

重要な問題は、この写像が埋め込みとなる半群を特徴づけることである。これは必ずしもそうである必要はない。例えば、集合論的交差を二項演算とする集合Xの部分集合の半群をSとする(これは半束の一例である)。A . A = AがSのすべての要素に対して成り立つので、これはG ( S ) のすべての生成元に対しても成り立つはずであり、したがって自明群となる。埋め込み可能性のためには、 S が相殺特性を持つことが明らかに必要である。S が可換である場合、この条件は十分条件でもある^[¹³^]。分数の群は、半群のグロタンディーク群として、または整域の分数の体の標準的な構成のマイナーな変種を介して構成することができる。 ^[¹⁴^] 非可換半群の問題は、半群に関する最初の本格的な論文に遡ることができる。^[¹⁵^]^[¹⁶^]アナトリー・マルツェフは1937年に埋め込み可能性の必要十分条件を与えた。^[¹⁷^]

偏微分方程式における半群法

半群理論は、偏微分方程式の分野におけるいくつかの問題を研究するために使用できます。大まかに言えば、半群アプローチは、時間依存の偏微分方程式を関数空間上の常微分方程式とみなすことです。例えば、空間区間(0, 1) ⊂ Rおよび時刻t ≥ 0における熱方程式の次の初期値/境界値問題を考えてみましょう。

{\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}

X = L ² ((0, 1) R )を、定義域が区間(0, 1)である二乗可積分実数値関数のL ^p空間とし、A を定義域が 2 階微分演算子とする。

D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},

どこ $H^{2}$ はソボレフ空間である。すると、上記の初期値／境界値問題は、空間X上の常微分方程式の初期値問題として解釈できる。

{\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}

ヒューリスティックなレベルでは、この問題の解決策は「あるべき」は $u(t)=\exp(tA)u_{0}.$ しかし、厳密な扱いをするためには、 tAの指数関数に意味を与える必要がある。t の関数として、 exp( tA ) は、時刻t = 0における初期状態u ₀を時刻tにおける状態u ( t ) = exp( tA ) u ₀に変換する、 Xからそれ自身への演算子の半群である。演算子Aは、この半群の無限小生成子と呼ばれる。

歴史

半群の研究は、群や環など、より複雑な公理を持つ他の代数構造の研究に比べて遅れていた。多くの文献^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}は、この用語（フランス語）の最初の使用を、1904年のJ.-A. de Séguierの『Élements de la Théorie des Groupes Abstraits』（抽象群理論の要素）に帰している。この用語は、1908年のHarold Hintonの『Theory of Groups of Finite Order』で英語で使用されている。

アントン・スシュケヴィッチは、半群に関する最初の非自明な結果を得た。彼の1928年の論文「一意可逆性の規則のない有限群について」は、有限単純半群の構造を決定し、有限半群の最小イデアル（またはグリーン関係のJクラス）が単純であることを示した。^{[ 19 ]}それ以降、半群理論の基礎は、デイヴィッド・リース、ジェームズ・アレクサンダー・グリーン、エフゲニー・セルゲーエヴィチ・リャピン、アルフレッド・H・クリフォード、ゴードン・プレストンによってさらに築かれた。後者の2人は、それぞれ1961年と1967年に半群理論に関する2巻のモノグラフを出版した。 1970年、セミグループ・フォーラム（現在はシュプリンガー・フェルラーク社から出版）という新しい定期刊行物が創刊され、半群理論に特化した数少ない数学雑誌の一つとなった。

半群の表現論は、1963 年にボリス・シャインによって、集合 A 上の二項関係と半群積の関係の合成を用いて開発されました。[ 20 ] 1972年の代数会議で、^シャイン^は^A上の関係の半群B _A に関する文献を調査しました。^[²¹^] 1997 年に、シャインとラルフ・マッケンジーは、すべての半群が二項関係の推移的半群と同型であることを証明しました。^[²²^]

近年、この分野の研究者はより専門化が進み、逆半群のような重要な半群のクラスに関する専門書や、代数オートマトン理論、特に有限オートマトン、そして関数解析への応用を扱った専門書が出版されている。

一般化

半群の結合法則公理を省略すると、結果としてマグマが得られます。マグマとは、閉じた二項演算M × M → Mを備えた集合Mに他なりません。

別の方向に一般化すると、n項半群( n 項半群、多項半群、または多項半群とも呼ばれる) は、2 項演算の代わりにn 項演算を持つ集合Gへの半群の一般化である。 ^[²³^]結合法則は次のように一般化される。3 項結合法則は( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) 、つまり任意の 3 つの隣接要素が括弧で囲まれた文字列abcdeである。n項結合法則は、任意のn 個の隣接要素が括弧で囲まれた長さn + ( n − 1)の文字列である。2 項半群は単なる半群である。さらに公理を加えるとn 項群になる。

3つ目の一般化は半群圏であり、二項関係が全関係であるという要件が取り除かれる。圏がモノイドを同様に一般化するのと同様に、半群圏は圏とよく似た振る舞いをするが、単位元を持たない。

可換半群の無限一般化は、これまで様々な著者によって検討されてきた。^{[ c ]}

注記

↑閉包公理は、集合上の二項演算の定義によって暗黙的に導かれる。そのため、一部の著者はこれを省略し、群に対しては3つの公理を、半群に対しては1つの公理（結合法則）のみを指定する。
↑すなわち、(すべてのxとyについて) $xy$ $=$ $a$ となる自明な半群と $、 xy$ $=$ $b$ となるその対応物、2 を法とする乗法に基づく半群 ( $単位元 1 としてa$ または $b を$ 選択)、2 を法とする加算と同等の群 ( $単位元 0 としてa$ または $b$ を選択)、および要素が両方とも左単位元であるか両方とも右単位元である半群。
↑参照文献は、Udo Hebisch と Hanns Joachim Weinert のSemirings and Semifields、特に、 M. Hazewinkel編『Handbook of Algebra』第 1 巻、Elsevier、1996 年、第 10 節「無限和を持つ半環」を参照。なお、この文脈では、著者らは半群の代わりに半加群という用語を使用している。

引用文献

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参考文献

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[2] 閉包公理は、集合上の二項演算の定義によって暗黙的に導かれる。そのため、一部の著者はこれを省略し、群に対しては3つの公理を、半群に対しては1つの公理（結合法則）のみを指定する。

[10] すなわち、(すべてのxとyについて) $xy$ $=$ $a$ となる自明な半群と $、 xy$ $=$ $b$ となるその対応物、2 を法とする乗法に基づく半群 ( $単位元 1 としてa$ または $b を$ 選択)、2 を法とする加算と同等の群 ( $単位元 0 としてa$ または $b$ を選択)、および要素が両方とも左単位元であるか両方とも右単位元である半群。

[26] 参照文献は、Udo Hebisch と Hanns Joachim Weinert のSemirings and Semifields、特に、 M. Hazewinkel編『Handbook of Algebra』第 1 巻、Elsevier、1996 年、第 10 節「無限和を持つ半環」を参照。なお、この文脈では、著者らは半群の代わりに半加群という用語を使用している。

[FOOTNOTEFeller1971-1] フェラー 1971

[FOOTNOTEJacobson200930ex._5-3] ジェイコブソン 2009、30ページ、例5

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