ジーンズ方程式

ジーンズ方程式は、重力場における一群の星の運動を記述する偏微分方程式のセットです。ジーンズ方程式は、衝突のないシステムについて、2次の速度モーメントを星系の密度とポテンシャルに関連付けます。これらは流体の流れに関するオイラー方程式に類似しており、衝突のないボルツマン方程式から導出できます。ジーンズ方程式は、モデル化される構造に応じて、さまざまな形式をとることができます。これらの方程式は、重力で束縛された多数の物体を含むシミュレーションで最もよく利用されています。

ジーンズ方程式はもともとジェームズ・クラーク・マクスウェルによって導き出された。しかし、1915年にジェームズ・ジーンズが恒星の流体力学の研究中に初めて天文学に応用された。それ以来、方程式の複数の解が解析的および数値的に計算されてきた。注目すべき解には、1983年にジェームズ・ビニーによって導き出された球対称解や、1995年にリチャード・アーノルドによって発見された軸対称解などがある。^{[1] [2]}

無衝突ボルツマン方程式はヴラソフ方程式とも呼ばれ、リウヴィル方程式の特殊な形であり、次のように表される。^[3]

${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+v{\partial f \over \partial r}-{\partial \Phi \over \partial r}{\partial f \over \partial v}=0}$ またはベクトル形式では: ${\displaystyle {\partial f \over \partial t}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}f-{\vec {\nabla }}\Phi \cdot {\partial f \ \partial {\vec {v}}}=0} 以上$

重力に関するVlasov 方程式とポアソン方程式を組み合わせると、 Jeans 方程式が得られます。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .}$$

より具体的には、n = n ( x , t ) が宇宙の星の密度で、位置x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) と時間tの関数として、v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ ) が速度、Φ = Φ( x , t ) が重​​力ポテンシャルである場合、ジーンズ方程式は次のように表される: ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial (n\langle {v_{j}}\rangle )}{\partial t}}+n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}+\sum _{i}{\frac {\partial (n\langle {v_{i}v_{j}}\rangle )}{\partial x_{i}}}=0\qquad (j=1,2,3.)}$

ここで、⟨...⟩ という表記は、与えられた時点 (x,t) における平均を意味し、例えば、は与えられた時点における星の速度の成分 1 の平均です。2 番目の式は次のように書くこともできます。 ${\displaystyle \langle {v_{1}}\rangle }$

${\displaystyle n{\frac {\partial \langle {v_{j}}\rangle }{\partial t}}+\sum _{i}n\langle {v_{i}}\rangle {\frac {\partial {\langle {v_{j}}\rangle }}{\partial x_{i}}}=-n{\frac {\partial \Phi }{\partial x_{j}}}-\sum _{i}{\frac {\partial (n\sigma _{ij}^{2})}{\partial x_{i}}}\qquad (j=1,2,3.)}$

ここで、応力エネルギーテンソルの空間部分は次のように定義されます。また、特定の点における 成分iとjの速度分散を測定します。${\displaystyle \sigma _{ij}^{2}=\langle {v_{i}v_{j}}\rangle -\langle {v_{i}}\rangle \langle {v_{j}}\rangle }$

これらの方程式に関するいくつかの仮定は次のとおりです。

• 位相空間の流れは質量を保存しなければならない
• 特定の星の周囲の密度は同じまま、または圧縮不可能である

ジーンズ方程式には9つの未知数（3つの平均速度と6つの応力テンソル項）が含まれていますが、方程式は3つしかないことに注意してください。これは、ジーンズ方程式が閉じていないことを意味します。さまざまなシステムを解くために、応力テンソルについてさまざまな仮定が立てられます。^[6]

ジャンの方程式の基本的な使用法の一つは、球状の重力体においてである。球座標では、方程式は次のようになる。^[6]

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{r}\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}^{2}\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[2\langle v_{r}^{2}\rangle -\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle ]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\theta }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\theta }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\theta }\rangle +(\langle v_{\theta }^{2}\rangle -\langle v_{\phi }^{2}\rangle )\cot(\theta )]=0}$

${\displaystyle {\partial \rho \langle v_{\phi }\rangle \over \partial t}+{\partial \rho \langle v_{r}v_{\phi }\rangle \over \partial r}+{\rho \over r}[3\langle v_{r}v_{\phi }\rangle +2\langle v_{\theta }v_{\phi }\rangle \cot(\theta )]=0}$

応力テンソルが対角であり、であると仮定して使用すると、これらの方程式を 1 つの簡略化された方程式に簡略化できます。 ${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}=\sigma _{\phi }^{2}}$

${\displaystyle {\partial (\rho \sigma _{r}^{2}) \over \partial r}+{2\rho \over r}[\sigma _{r}^{2}-\sigma _{\theta }^{2}]+\rho {\partial \Phi \over \partial r}=0}$

ここでも、方程式を解くために仮定を必要とする 2 つの未知の関数 (および)があります。${\displaystyle \sigma _{r}^{2}(r)}$${\displaystyle \sigma _{\theta }^{2}(r)}$

ジーンズ方程式は、 N体シミュレーションの重力研究で非常に有用であることがわかっています。^{[7]これらのシミュレーションの規模は、}太陽系から宇宙全体までさまざまです。恒星の数密度とさまざまな運動量の測定値を使用して、ジーンズ方程式内のパラメーターを推定できます。これにより、ジーンズ方程式のレンズを介してさまざまな分析を行うことができます。これは、等温で非相互作用的な動作のため、暗黒物質ハロー分布をシミュレートするときに特に便利です。銀河形成、暗黒物質形成、宇宙形成の構造の探索では、ジーンズ方程式を使用したシミュレーションで補足された観測を行うことができます。

このような分析の一例は、天の川銀河内の暗黒物質ハローに課される制約によって示されます。銀河系のスローンデジタルスカイサーベイ測定を使用して、研究者はジーンズ方程式を使用して暗黒物質ハローの分布をシミュレートすることができました。^[8]測定値をジーンズ方程式のシミュレーション結果と比較することにより、研究者は追加の暗黒物質の必要性を確認し、その楕円体のサイズに制限を設けました。研究者は、このハローの短軸と長軸の比を 0.47: 0.14 と推定しました。この方法は他の多くの銀河ハローに適用されており^[9]、暗黒物質ハローのトポロジーに関して同様の結果が得られています。 ${\displaystyle \pm }$

しかし、これらのシミュレーションの制限要因は、ジーンズ方程式の挙動を規定する応力テンソルパラメータ値を近似するために必要なデータでした。さらに、信頼性の高い結果を生成するために、ジーンズ方程式シミュレーションにいくつかの制約を課すことができます^{[10] [11]} これらの制限には、波長分解能の要件、可変重力軟化、および最小垂直構造粒子分解能が含まれます。

• ジーンズの定理