フルード数

方程式を無次元化するために、特性長さ r₀_と特性速度 u₀_を定義する必要があります。これらは、無次元変数がすべて 1 のオーダーになるように選択する必要があります。したがって、次の無次元変数が得られます。 $${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

これらの逆関係をオイラー運動量方程式に代入し、フルード数を定義する。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$ そしてオイラー数： $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$ 最終的に、方程式は（物質微分を用いて、添え字を省略して）次のように表される。

高フルード極限Fr → ∞ (外部場が無視できる場合に対応) におけるコーシー型方程式は自由方程式と呼ばれます。一方、低オイラー極限Eu → 0 (応力が無視できる場合に対応) では、一般的なコーシー運動量方程式は非斉次バーガース方程式になります (ここでは物質微分を明示的に示します)。

これは、ストークス方程式が純粋な拡散方程式であるのと同様に、不均質な純粋な移流方程式である。

オイラー運動量方程式は、応力構成関係として パスカルの法則を用いたコーシー運動量方程式である。$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$ 無次元ラグランジュ形式では次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

自由オイラー方程式は保存的である。したがって、高フルード数（低外部場）の極限は注目に値し、摂動論を用いて研究することができる。

非圧縮性ナビエ・ストークス運動量方程式は、パスカルの法則とストークスの法則を応力構成関係式とする コーシー運動量方程式である。$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ 無次元対流形式では次のようになります。^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$ ここでReはレイノルズ数です。自由ナビエ・ストークス方程式は散逸的（非保存的）です。

海洋流体力学の応用では、フルード数は通常Fnという表記で参照され、次のように定義されます。^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$ ここで、uは海と船の間の相対流速、gは特に重力加速度、Lは喫水線レベルでの船の長さ、または表記によってはL _wlです。これは、特に造波抵抗の観点から、船の抗力または抵抗に関して重要なパラメータです。

滑走艇の場合、水線長は速度に大きく依存するため意味をなさない。そのため、フルード数は排水量フルード数として定義するのが最適であり、基準長さは船体の体積排水量の立方根とする。 $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}。$$

津波や水理ジャンプなどの浅水波の場合、特性速度Uは、流れの方向に垂直な断面で平均化された平均流速です。波の速度は、伝播速度cと呼ばれ、重力加速度gの平方根に断面積Aを掛け、自由表面幅Bで割った値に等しくなります。 $${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$ したがって、浅水域におけるフルード数は次のようになります。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}。}$$深さd が均一な長方形断面の場合、フルード数は次のように簡略化できます。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$Fr < 1 の場合、流れは亜臨界流と呼ばれ、Fr > 1の場合、流れは超臨界流として特徴づけられます。Fr ≈ 1の場合、流れは臨界流と呼ばれます。

吊り橋のような動的に敏感な構造物に対する風の影響を考慮する場合、構造物の振動質量と風の変動する力の複合的な影響をシミュレートする必要がある場合があります。このような場合、フルード数を考慮する必要があります。同様に、高温の煙の噴煙と自然風を組み合わせたシミュレートを行う場合、浮力と風の運動量の適切なバランスを維持するために、フルード数のスケーリングが必要です。

フルード数は、アンテロープ^{[ 10 ]}や恐竜^{[ 11 ]}を含む陸生動物の運動の研究にもアロメトリーで応用されている^{[ 9 ] 。}

回転窯工学におけるフルード数は、窯の回転によって生じる遠心力と、焼成床材に作用する重力とのバランスを表すパラメータです。フルード数は次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\omega ^{2}{R}_{i}}{g}}}$$ ここで、ω はキルンの角速度 (rad/s)、R _iはキルンの内径、g は重力加速度です。これは粒状層の運動様式、つまり固体が滑るか、転がるか、カスケードするか、滝のように流れ落ちるか、シェルに遠心分離されるかを表すために使用されます。低いフルード数 (通常Fr < 10 ⁻⁴ ) は、固体層の混合が非常に少ない滑りまたは崩落様式に対応します。

粒子運動は混合、熱および物質移動、そして窯内での滞留時間を支配するため、フルード数は回転窯の重要なスケールパラメータとして機能します。フルード数が類似していることは、実験室規模、パイロット規模、および工業規模の回転窯において、同様の流動挙動とベッド形状が得られることを示す良い初期指標となります。

撹拌槽の研究において、フルード数は表面渦の形成を支配します。インペラ先端速度はωr（円運動）であり、ここでωはインペラ周波数（通常はrpm）、rはインペラ半径（工学では直径が用いられることが多い）であるため、フルード数は次の形式になります。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$ フルード数は粉体ミキサーでも同様の用途があります。実際、ミキサーがどの混合モードで動作しているかを判断するために使用されます。Fr<1 の場合、粒子は単に攪拌されますが、Fr>1 の場合、粉体に加わる遠心力が重力を上回り、少なくともミキサーの一部で粒子層が流動化し、混合が促進されます^{[ 13 ] 。}

ブシネスク近似の文脈で使用される場合、密度フルード数は次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$ ここで、g ′は換算重力加速度である。 $${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

密度フルード数は、成層せん断層を考慮する際によく用いられるリチャードソン数よりも、速度の優先順位を無次元化したいモデラーに好まれることが多い。例えば、重力流の先端は、前面フルード数が約1で移動する。

フルード数は、動物の歩行パターンの傾向を研究するために使用できます。脚による移動の力学の解析では、歩行肢はしばしば倒立振子としてモデル化され、その重心は足を中心とした円弧を描きます。^{[ 14 ]}フルード数は、運動の中心である足と歩行する動物の体重の周りの向心力の比です。 $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$ ここで、mは質量、lは特性長さ、gは重力加速度、vは速度です。特性長さl は、研究内容に合わせて選択できます。たとえば、股関節から地面までの垂直距離を使用した研究もあれば、脚全体の長さを使用した研究もあります。^{[ 15 ] [ 14 ] [ 16 ]}

フルード数は、歩行周波数fから次のように計算することもできます。^{[ 15 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

脚の全長を特徴的な長さとして使用する場合、理論上の歩行の最大速度のフルード数は 1.0 になります。これより高い値では、地面から足が離れてしまうためです。二足歩行から走行への典型的な遷移速度はFr ≈ 0.5で発生します。^{[ 17 ]} RM Alexander は、異なるサイズと質量の動物が異なる速度で移動しているが、フルード数が同じである動物は、一貫して同様の歩行を示すことを発見しました。この研究では、動物は通常、フルード数が 1.0 付近で、アンブルから対称的な走行歩行 (例えば、トロットやペース) に切り替わることがわかりました。非対称歩行 (例えば、キャンター、横ギャロップ、回転ギャロップ、バウンド、またはプロンク) を好む傾向は、フルード数が 2.0 ～ 3.0 の間で観察されました。^{[ 15 ]}