バーガースの方程式

バーガース方程式またはベイトマン・バーガース方程式は、流体力学、^[2]非線形音響学、^[3]気体力学、交通流^[4]など、応用数学のさまざまな分野で現れる基本的な偏微分方程式および対流拡散方程式[1] です。この方程式は、 1915 年にハリー・ベイトマンによって初めて導入され^{[5] [6] 、後に}ヨハネス・マルチヌス・バーガースによって1948 年に研究されました^[7]。与えられた場と拡散係数(または、元の流体力学の文脈では動粘性) に対して、1 つの空間次元におけるバーガース方程式 (粘性バーガース方程式とも呼ばれる)の一般的な形式は、散逸システムです。 ${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

この項は と書き直すこともできます。拡散項が存在しない場合（つまり）、バーガース方程式は非粘性バーガース方程式になります。 ${\displaystyle u\partial u/\partial x}$${\displaystyle \partial (u^{2}/2)/\partial x}$${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

これは不連続性（衝撃波） を発生できる保存方程式のプロトタイプです。

の値が小さい場合に急激な勾配が形成される理由は、方程式の左側を調べると直感的に明らかになります。 項は明らかに、速度 で正の -方向に伝播する波を記述する波動演算子です。 波の速度は であるため、 の値が大きい領域は、 の値が小さい領域よりも右方向に速く伝播します。言い換えると、が -方向に最初に減少する場合、後ろ側にある大きな が前側にある小さな に追いつきます。 右側の拡散項の役割は、基本的に勾配が無限大にならないようにすることです。 ${\displaystyle \nu}$${\displaystyle \partial /\partial t+u\partial /\partial x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

非粘性バーガース方程式は保存方程式であり、より一般的には1次準線型双曲方程式である。方程式の解と初期条件は

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

は特性方程式法によって構築できる。を-平面上の任意の特性を表すパラメータとすると、特性方程式は次のように表される。 ${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

2番目の方程式の積分は、特性に沿って一定であることを示しています。また、1番目の方程式の積分は、特性が直線であることを示しています。つまり、 ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

ここで、 は特性曲線が描かれるx - t平面のx -軸 ( t  = 0)上の点 (またはパラメータ) です。 軸では初期条件と、各点 から発せられる特性 に沿って移動しても は変化しないという事実から既知であるため、各特性 に と書きます。したがって、 によってパラメータ化された特性 の軌跡の族は、 ${\displaystyle \xi}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$${\displaystyle x=\xi}$${\displaystyle u=c=f(\xi )}$${\displaystyle \xi}$

${\displaystyle x=f(\xi)t+\xi .}$

したがって、解は次のように与えられる。

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =xf(\xi )t.}$

これは、特性が交差しない場合に非粘性バーガース方程式の解を決定する暗黙の関係です。特性が交差する場合、偏微分方程式の古典的な解は存在せず、衝撃波の形成につながります。特性が交差するかどうかは初期条件に依存します。実際、衝撃波が形成されるまでの破壊時間は、 ^{[8] [9]で与えられます。}

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.}$

任意の関数を含む上記の暗黙の解は、一般積分と呼ばれます。しかし、非粘性バーガース方程式は、1階偏微分方程式であるため、2つの任意の定数（2つの独立変数に対して）を含む完全積分も持っています。 ^{[10] [より良い情報源が必要]}スブラマニアン・チャンドラセカールは1943年に完全積分を提供しました。^[11]これは次のように与えられます。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.}$

ここで、 および は任意の定数です。完全積分は線形初期条件、つまり を満たします。上記の完全積分を使用して一般積分を構築することもできます。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f(x)=ax+b}$

粘性バーガース方程式はコール・ホップ変換によって線形方程式に変換できる。^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),}$

それは次の式になります

${\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}$

これを積分すると次の式が得られる。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

ここで、は時間の任意の関数である。変換を導入すると（関数には影響しない）、必要な方程式は熱方程式の方程式に簡約される^[15]。${\displaystyle df/dt}$${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}$${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

拡散方程式は解くことができる。つまり、 ならば、 ${\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}$

${\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}$

初期関数は初期関数と次のよう に関係している。${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

ここで下限は任意に選択される。コール・ホップ変換を逆にすると、

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

これは、対数関数の引数における時間依存の因子を取り除くことで、次のように単純化される。

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

この解は、としてゼロに減少するの熱方程式の解から導出されます。 のその他の解は、異なる境界条件を満たす の解から開始して取得できます。${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle x\to \pm \infty }$${\displaystyle u}$${\displaystyle \varphi }$

粘性バーガース方程式の明示的な表現は利用可能である。物理的に関連する解のいくつかを以下に示す：^[16]

が、かつ となるような場合、進行波解（一定速度）は次のように表される。 ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$${\displaystyle f(-\infty )=f^{+}}$${\displaystyle f(+\infty )=f^{-}}$${\displaystyle f'(x)<0}$${\displaystyle c=(f^{+}+f^{-})/2}$

${\displaystyle u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].}$

この解は、もともと1915年にハリー・ベイトマンによって導き出されたもので、^[5]弱い衝撃波^[15]を横切る 圧力の変化を記述するために使われています。${\displaystyle f^{+}=2}$${\displaystyle f^{-}=0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{1+e^{\frac {x-t}{\nu }}}}}$

と。 ${\displaystyle c=1}$

（レイノルズ数）が定数である場合、[ 17 ^]${\displaystyle u(x,0)=2\nu Re\delta (x)}$${\displaystyle Re}$

${\displaystyle u(x,t)={\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{Re}-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{Re}-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/{\sqrt {2}}}}\right].}$

の極限では、極限挙動はソースの拡散拡散であり、したがって次のように表される。 ${\displaystyle Re\to 0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2\nu Re}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nu t}}\right).}$

一方、極限では、解は前述のチャンドラセカールの非粘性バーガース方程式の衝撃波解に近づき、次のように表される。 ${\displaystyle Re\to \infty }$

${\displaystyle u(x,t)={\begin{cases}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nu Re\,t}},\\0,\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

衝撃波の位置と速度は次のように表される。${\displaystyle x={\sqrt {2\nu Re\,t}}}$${\displaystyle {\sqrt {\nu Re/t}}.}$

N波解は、圧縮波とそれに続く緩和波から構成されます。このタイプの解は次のように表されます。

${\displaystyle u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{Re_{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {Re(t)x^{2}}{4\nu Re_{0}t}}\right)\right]^{-1}}$

ここで、 は時間における初期レイノルズ数とみなすことができ、 は時間とともに変化するレイノルズ数とみなすことができます 。${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle t=t_{0}}$${\displaystyle Re(t)=(1/2\nu )\int _{0}^{\infty }udx=\ln(1+{\sqrt {\tau /t}})}$${\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {e^{Re_{0}}-1}}}$

2次元以上の場合、バーガース方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot \nabla u=\nu \nabla ^{2}u.}$

ベクトル場の式を次のように拡張することもできる。 ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} .}$

一般化バーガース方程式は、準線型対流方程式をより一般化した形式に拡張したものである。

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

ここでuの任意の関数である。非粘性方程式は依然として準線型双曲方程式であり、その解は以前と同様に特性曲線法を用いて構築することができる。^[18]${\displaystyle c(u)}$${\displaystyle \nu =0}$${\displaystyle c(u)>0}$

追加された時空ノイズはウィーナー過程であり、確率的バーガース方程式を形成する^[19]${\displaystyle \eta (x,t)={\dot {W}}(x,t)}$${\displaystyle W}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$

この確率偏微分方程式は、 を代入すると、体におけるKardar–Parisi–Zhang 方程式の 1 次元バージョンになります。 ${\displaystyle h(x,t)}$${\displaystyle u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x}$

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• 非線形方程式百科事典 NEQwiki の Burgers 方程式。