ベルヌーイの原理

ベンチュリ管を通過する空気の流れ。2つの水柱の高さの差が示すように、流体圧力が低下する代わりに運動エネルギーが増加する。

実験室で使用されたベンチュリ計の動画

ベルヌーイの原理は、流体力学における圧力、速度、高さの関係を表す概念です。例えば、水平方向に流れる流体の場合、ベルヌーイの原理によれば、速度が増加すると圧力が同時に減少します。^{[ 1 ]}^{: Ch.3}^{[ 2 ]}^{: 156–164、§ 3.5}この原理は、1738 年に著書Hydrodynamicaで発表したスイスの数学者で物理学者のダニエル・ベルヌーイにちなんで名付けられました。 ^[³^]ベルヌーイは流速が増加すると圧力が減少することを推論しましたが、ベルヌーイの方程式を通常の形式で導出したのは 1752 年のレオンハルト・オイラーでした。^[⁴^]^[⁵^]

ベルヌーイの原理は、アイザック・ニュートンの運動の第2法則から直接導き出すことができます。少量の流体が高圧領域から低圧領域へ水平方向に流れるとき、前方よりも後方からの圧力が大きくなります。これにより、流体には正味の力が働き、流線に沿って加速されます。^{[ a ]} 流線に沿って圧力が減少すると、流体は加速され、速度が増加します。したがって、圧力の減少が速度の増加の原因となります。^{[ 7 ]}^{[ b ]}同様に、圧力が増加すると、速度は減少します。

ベルヌーイの原理は、定常流体の流れにおいて、あらゆる形態のエネルギーの総和が流れ全体で一定であるというエネルギー保存の法則からも導き出すことができる。これは、運動エネルギー、位置エネルギー、および内部エネルギーの総和が一定であることを要求する。^{[ 2 ]}^{： §3.5}したがって、流体の運動エネルギーが増加すると、同時に位置エネルギーと内部エネルギーが減少する。^{[ 9 ]}^{：例3.5およびp.116}

概要

上流側の静圧（1）は狭窄部（2）よりも高く、また「1」の断面積が「2」よりも大きいため、「1」の流速は「2」よりも低くなります。

ベルヌーイの原理は、一定エネルギーの流れの中で、流体が低圧領域を通過すると速度が上がり、高圧領域を通過すると速度が下がることを述べている。^{[ 10 ]}このように、ベルヌーイの原理は、流れ場内の速度の変化と圧力の変化を定量化する。

ベルヌーイの式は流線に沿った力やエネルギーを考慮して導出されますが、すべての流線が均一な速度と圧力の領域から発生する流れ場にも適用できます。^{[ 11 ]}ただし、異なる流れ場を比較するために使用することはできません。 ^{[ 12 ]}例えば、空気の噴流やジェットと周囲の静止した空気を比較する場合などです。（以下の例を参照）。

流体粒子は圧力と自身の重力のみの影響を受けます。流体が水平方向に流れている場合、その速度が増加するのは、その部分の流体が高圧領域から低圧領域に移動したためです。また、速度が減少するのは、低圧領域から高圧領域に移動したためです。したがって、水平方向に流れる流体内では、圧力が最も低い場所で速度が最大になり、圧力が最も高い場所で速度が最小になります。^{[ 13 ]}

ベルヌーイの原理は、等エントロピー流にのみ適用可能です。つまり、不可逆過程（乱流など）や非断熱過程（熱放射など）の影響が小さく、無視できる場合に限ります。ベルヌーイの式の単純な形式は、非圧縮性流（ほとんどの液体流や低マッハ数で流れる気体など）に有効です。より高度な形式は、高マッハ数の圧縮性流に適用できます。

非圧縮性流れ方程式

ほとんどの液体の流れ、および低マッハ数の気体の流れでは、流体の密度は流れの中の圧力変動に関係なく一定とみなすことができます。したがって、流体は非圧縮性であるとみなすことができ、このような流れは非圧縮性流れと呼ばれます。ベルヌーイは液体で実験を行ったため、彼の式は元の形では非圧縮性流れにのみ有効です。

ベルヌーイの式の一般的な形式は次のとおりです。

どこ：

$v$ ある地点における流体の流れ速度は、
$g$ 重力による加速度は、
$z$ は基準面からの点の高さであり、正の値は $z$ -上向きの方向、つまり重力加速度とは反対の方向、
$p$ は選択された点における静圧であり、
$\rho$ は、流体中のあらゆる点における流体の密度です。

ベルヌーイの式とベルヌーイ定数は、単位質量あたりのエネルギーが均一な流れの領域であればどこでも適用可能です。よく混合された貯水槽内の液体の単位質量あたりのエネルギーは全体的に均一であるため、粘性力が支配的で単位質量あたりのエネルギーを低下させる場合を除き、ベルヌーイの式を用いてその貯水槽内のあらゆる場所（貯水槽から供給されるパイプや流れ場を含む）の流体の流れを解析できます。^[⁹^]^：^{例3.5およびp.116}

このベルヌーイ方程式を適用するには、以下の前提条件を満たす必要があります。^{[ 2 ]}^{： 265}

流れは定常でなければならない。つまり、どの点においても流れのパラメータ（速度、密度など）は時間とともに変化してはならない。
流れは非圧縮性でなければならない。圧力が変化しても、流線に沿って密度は一定に保たれなければならない。
粘性力による摩擦は無視できるほど小さくなければならない。

保存力場（重力場に限定されない）の場合、ベルヌーイの式は次のように一般化できる。^{[ 2 ]}^{： 265} $\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +{\frac {p}{\rho }}={\text{定数}}}$ ここで $、Ψ$ は考慮する点における力のポテンシャルです。例えば、地球の重力の場合 $、Ψ = gz$ となります。

流体密度 $ρ$ を乗じることで、式（A）は次のように書き換えることができる。 $\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho gz+p={\text{定数}}}$ または： $q+\rho gh=p_{0}+\rho gz={\text{定数}}$ どこ

$q = 1 / 2 ρv 2 は$ 動圧です。 $$
$h = z + ⁠ p / ρg ⁠$ はピエゾ水頭または水頭（標高 $z$ と圧力水頭の合計）^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}であり、
$p 0 = p + q$ は停滞圧（静圧 $p$ と動圧 $q$ の合計である。^{[ 16 ]}

ベルヌーイ方程式の定数は正規化できる。一般的なアプローチは、全水頭またはエネルギー水頭 $H$ で表す方法である。 $H=z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}=h+{\frac {v^{2}}{2g}},$

上記の式は、圧力がゼロになる流速が存在し、さらに速い流速では圧力が負になることを示唆しています。しかし、ほとんどの場合、気体や液体は負の絶対圧力、あるいはゼロ圧力さえも持ち得ないため、明らかにベルヌーイの式はゼロ圧力に達する前に有効ではなくなります。液体では、圧力が低すぎるとキャビテーションが発生します。上記の式は、流速の二乗と圧力の間に線形関係を使用しています。気体中の流速が速い場合、あるいは液体中の音波の場合、質量密度の変化が大きくなるため、密度が一定であるという仮定は無効になります。

簡略化された形式

$ベルヌーイの式の多くの応用例では、 ρgz$ 項の変化は他の項に比べて非常に小さいため、無視することができます。例えば、飛行中の航空機の場合、高度 $z$ の変化は非常に小さいため、 $ρgz$ 項を省略できます。これにより、上記の式を次のように簡略化して表すことができます。 $p+q=p_{0}$ ここで、 $p₀ は$ 全圧、 $q$ は動圧と呼ばれる。^[¹⁷^] $多くの著者は、全圧$ $p₀$ および動圧 $q$ と区別するために、圧力 $p$ を静圧と呼ぶ。LJ Clancyは『空気力学』の中で、「流体の実際の圧力は、その運動ではなく状態に関連付けられており、全圧および動圧と区別するために、しばしば静圧と呼ばれるが、圧力という用語のみを使用する場合は、この静圧を指す」と述べている。^[¹^]^：^§3.5

ベルヌーイの式の簡略化された形式は、次の覚えやすい言葉の式で要約できます。^{[ 1 ]}^{: §3.5}

静圧＋動圧＝全圧。

一定速度で流れる流体中のあらゆる点は、その点での流速に関係なく、それぞれ固有の静圧 $p$ と動圧 $q$ を持ちます。それらの合計 $p + q$ は全圧 $p 0$ と定義されます。ベルヌーイの原理の意義は、「粘性力のない領域では全圧は一定である」と要約できます。流体の流れがどこかで停止した場合、その点をよどみ点と呼び、その点における静圧はよどみ点圧力に等しくなります。

流体の流れが非回転の場合、全圧は均一であり、ベルヌーイの原理は「流体の流れのあらゆる場所で全圧は一定である」と要約できます。^{[ 1 ]}^：式3.12大量の流体が固体のそばを流れるあらゆる状況で非回転流が存在すると考えるのは妥当です。例としては、飛行中の航空機や、開けた水域を移動する船舶などがあります。しかし、ベルヌーイの原理は、長いパイプを通る流れなどの境界層には適用されないという重要な点があります。

非定常ポテンシャル流

$非定常ポテンシャル流に対するベルヌーイ方程式は、$ 海洋表面波と音響の理論で用いられる。非回転流の場合、流速は速度ポテンシャル $φ$ の勾配 $\nablaφ$ として表すことができる。この場合、密度 $ρが$ 一定であれば、オイラー方程式の運動量方程式を積分すると次のようになる。^[²^]^：³⁸³ ${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),$

$これは、$ 非定常流（または時間依存流）にも有効なベルヌーイ方程式です。ここで $、$ $\partialφ$ $/$ $\partialt$ $は$ 速度ポテンシャル $φの時間$ $t$ に関する偏微分を表し $、$ v $=$ $|$ $\nablaφ$ $|$ $は$ 流速です。関数 $f$ $($ $t$ $)$ $は$ 時間のみに依存し、流体内の位置には依存しません。その結果、ある瞬間 $tにおけるベルヌーイ方程式は$ $、$ 流体領域全体に適用されます。これは、定常非回転流の特殊な場合にも当てはまります。この場合、 $f$ と $\partialφ$ $/$ $\partialt$ $は$ 定数であるため、方程式( A ) $は$ 流体領域のすべての点に適用できます。^[²^]^:³⁸³さらに、 $f$ $($ $t$ $)は$ $、$ 変換を使用して速度ポテンシャルに組み込むことにより、ゼロにすることができます。 $\Phi =\varphi -\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau ,$ その結果： ${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\frac {p}{\rho }}+gz=0.$

ポテンシャルと流速の関係はこの変換によって影響を受けないことに注意してください: $\nablaΦ = \nabla φ$ 。

非定常ポテンシャル流のベルヌーイ方程式は、ラグランジュ力学を用いた自由表面流の変分記述であるルークの変分原理においても中心的な役割を果たしているように思われる。

圧縮性流れ方程式

ベルヌーイは液体の観察から原理を発展させ、ベルヌーイの式は理想流体、つまり非粘性で非圧縮性であり、保存力のみを受ける流体に対して有効です。気体の流れから気体の圧縮または膨張への運動エネルギーまたは位置エネルギーの伝達がない限り、気体の流れにも有効な場合があります。気体の圧力と体積が同時に変化する場合、気体に対してまたは気体によって仕事が行われます。この場合、非圧縮性の流れの形式のベルヌーイの式が有効であると仮定することはできません。ただし、気体のプロセスが完全に等圧または等積である場合、気体に対してまたは気体によって仕事は行われません（したがって、単純なエネルギーバランスは崩れません）。気体の法則によれば、等圧または等積プロセスは通常、気体の密度を一定に保つ唯一の方法です。また、気体の密度は圧力と絶対温度の比に比例します。しかし、この比率は、加えられたり取り除かれたりした熱量がゼロでなくても、圧縮または膨張によって変化します。唯一の例外は、完全な熱力学サイクルまたは個々の等エントロピー（摩擦のない断熱）プロセスのように、正味の熱伝達がゼロの場合であり、その場合でも、この可逆プロセスを逆にして、ガスを元の圧力と比体積、したがって密度に戻す必要があります。その場合にのみ、元の修正されていないベルヌーイの式が適用できます。この場合、ガスの流れの速度が音速より十分に低い場合、つまり、各流線に沿ったガスの密度の変化（この効果による）を無視できる場合に、この式を使用できます。マッハ0.3未満の断熱流は、一般的に十分に遅いと考えられています。^{[ 18 ]}

物理学の基本原理を用いることで、圧縮性流体にも適用できる同様の方程式を導き出すことが可能です。数多くの方程式が存在し、それぞれ特定の用途に合わせて調整されていますが、いずれもベルヌーイの式に類似しており、ニュートンの運動法則や熱力学第一法則といった物理学の基本原理のみに基づいています。

流体力学における圧縮性流れ

圧縮性流体の場合、バロトロピック状態方程式を持ち、保存力の作用下にある場合、^{[ 19 ]} ${\frac {v^{2}}{2}}+\int _{p_{1}}^{p}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {p}}}{\rho \left({\tilde {p}}\right)}}+\Psi ={\text{constant (along a streamline)}}$ どこ：

$p$ は圧力です
$ρ$ は密度であり、 $ρ (p)$ はそれが圧力の関数であることを示しています。
$v$ は流速です
$Ψ$ は保存力場に関連するポテンシャルであり、多くの場合、重力ポテンシャルである。

工学的な状況では、標高は一般的に地球の大きさに比べて小さく、流体の流れの時間スケールも十分に小さいため、状態方程式を断熱的とみなすことができます。この場合、理想気体の上記の式は次のようになります。^{[ 1 ]}^{： §3.11} ${\frac {v^{2}}{2}}+gz+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}={\text{constant (along a streamline)}}$ ただし、上記に列挙した条件に加えて、以下の条件が適用されます。

$γ$ は流体の比熱の比である
$g$ は重力による加速度である。
$z$ は基準面からの点の高さです

圧縮性流れの多くの応用例では、標高の変化は他の項に比べて無視できるほど小さいため、 $gz$ の項は省略できます。したがって、非常に便利な方程式の形式は次のようになります。 ${\frac {v^{2}}{2}}+\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p}{\rho }}=\left({\frac {\gamma }{\gamma -1}}\right){\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}$

どこ：

$p 0$ は全圧です
$ρ₀ は$ 全密度である

熱力学における圧縮性流体

（準）定常流の場合の熱力学での使用に適した、この方程式の最も一般的な形式は次のとおりです。^{[ 2 ]}^{： §3.5}^{[ 20 ]}^{： §5}^{[ 21 ]}^{： §5.9}

${\frac {v^{2}}{2}}+\Psi +w={\text{constant}}.$

ここで $wは単位質量あたりの$ エンタルピー（比エンタルピーとも呼ばれる）であり、 $h$ と表記されることもよくあります（「ヘッド」や「高さ」と混同しないように）。

ご了承ください $w=e+{\frac {p}{\rho }}~~~\left(={\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}\right)$ ここで、 $eは単位質量あたりの$ 熱力学的エネルギーであり、比内部エネルギーとも呼ばれます。したがって、一定の内部エネルギーの場合、 $e$ この方程式は非圧縮性流体の形式に帰着する。

右辺の定数はベルヌーイ定数と呼ばれ、 $b$ と表記されることが多い。エネルギーの供給源や吸収源がない定常非粘性断熱流の場合、 $b は$ 任意の流線に沿って一定である。より一般的には、 $b が$ 流線に沿って変化する場合でも、流体の「ヘッド」に関連する有用なパラメータとなる（下記参照）。

$Ψ$ の変化を無視できる場合、この方程式の非常に便利な形式は次のようになります。 ${\frac {v^{2}}{2}}+w=w_{0}$ ここで、 $w 0$ は全エンタルピーです。理想気体のような熱力学的に完全な気体の場合、エンタルピーは温度に正比例し、これが全温度（または停滞温度）の概念につながります。

衝撃波が存在する場合、衝撃波が静止していて流れが定常である基準系では、ベルヌーイ方程式の多くのパラメータは衝撃波を通過する際に急激に変化します。ベルヌーイパラメータは影響を受けません。この規則の例外は放射衝撃波であり、これはベルヌーイ方程式を導く前提条件、すなわち追加のエネルギーのシンクまたはソースが存在しないという前提条件に違反します。

非定常ポテンシャル流

圧縮性流体の場合、バロトロピック状態方程式を持つ非定常運動量保存方程式は次のようになる。 ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}=-{\vec {g}}-{\frac {\nabla p}{\rho }}$

非回転仮定、すなわち、流れの速度は速度ポテンシャルφの $勾配$ $\nablaφ$ として記述できると仮定すると、 $非$ 定常運動量保存方程式は次のようになる。 ${\frac {\partial \nabla \phi }{\partial t}}+\nabla \left({\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}\right)=-\nabla \Psi -\nabla \int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}$ これは ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +\int _{p_{1}}^{p}{\frac {d{\tilde {p}}}{\rho ({\tilde {p}})}}={\text{constant}}$

この場合、上記の等エントロピー流れの式は次のようになります。 ${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \phi \cdot \nabla \phi }{2}}+\Psi +{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}$

派生

非圧縮性流体に対するベルヌーイの式

非圧縮性流体に対するベルヌーイの式は、ニュートンの運動第二法則を積分するか、粘性、圧縮性、および熱効果を無視してエネルギー保存の法則を適用することによって導出できる。

ニュートンの運動第二法則を積分して導出する

最も簡単な導出方法は、まず重力を無視し、ベンチュリ効果で見られるように、それ以外は直線状 $の$ パイプ内の狭窄部と拡張部を考慮することです。x軸はパイプの軸方向に沿っているものとします。

断面積 $A$ のパイプ内を移動する流体の塊を定義します。この塊の長さは $d x$ で、体積は $A d x$ です。質量密度が $ρ$ の場合、塊の質量は密度に体積を掛けたもので、 $m = ρA d x$ $となります。距離d x$ における圧力の変化は $d p$ であり、流速は $v = ⁠ d x / d t ⁠$ です。

ニュートンの運動第二法則（力＝質量 ×加速度）を適用し、流体の塊にかかる有効力が $-$ $A$ $d$ $p$ であることを認識します。圧力がパイプの長さに沿って減少する場合、 $d$ $p$ は負になりますが、流れを生み出す力は $x$ 軸に沿って正になります。

${\begin{aligned}m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=F\\\rho A\mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-A\mathrm {d} p\\\rho {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}&=-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}\end{aligned}}$

定常流では速度場は時間に対して一定であり、 $v = v (x) = v (x (t))$ となるため、 $v自体は時間$ $t$ の直接的な関数ではありません。断面積が変化するのは、粒子が $x$ を通過するときのみです。v $は、断面積の位置$ $x$ $($ $t$ $)$ を介してのみ $t$ に依存します。 ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {v^{2}}{2}}\right).$

密度 $ρ$ が一定の場合、運動方程式は次のように書ける。 ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\rho {\frac {v^{2}}{2}}+p\right)=0$ $x$ に関して積分することにより ${\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}=C$ ここで、 $C$ は定数であり、ベルヌーイ定数と呼ばれることもあります。これは普遍的な定数ではなく、特定の流体システムの定数です。結論として、速度が大きいほど圧力は低く、その逆もまた然りです。

上記の導出において、外部の仕事・エネルギー原理は用いられていない。むしろ、ベルヌーイの原理はニュートンの第二法則を単純に操作することによって導き出されたものである。

右方向に流れる流体の流れ管。圧力、高さ、流速、距離（ $s$ ）、断面積が示されています。なお、この図では高さは $h$ で表されていますが、本文では $z$ で表されています。

エネルギー保存則を用いた導出

非圧縮性流れに対するベルヌーイの原理を導出するもう1つの方法は、エネルギー保存則を適用することである。^{[ 22 ]}仕事エネルギー定理の形で、次のように述べる^{[ 23 ]}

系の運動エネルギーE kin

の変化は、系に対して行われた正味の仕事 $W$ に等しい。

W=\Delta E_{\text{kin}}.

したがって、

流体中の力が行う仕事は、運動エネルギーの増加に等しい。

このシステムは、当初は断面 $A 1$ と $A 2$ の間に存在する流体の体積から構成されます。時間間隔 $Δ t$ の間に、流入断面 $A 1$ に初期位置にある流体要素は距離 $s 1 = v 1 Δ t$ だけ移動し、流出断面では流体は断面 $A 2$ から距離 $s 2 = v 2 Δ t$ だけ離れていきます。流入と流出における流体の移動量はそれぞれ $A 1 s 1$ と $A 2 s 2$ です。関連する移動流体の質量は、 $ρ$ が流体の質量密度である場合、密度と体積の積に等しくなるため、 $ρA 1 s 1$ と $ρA 2 s 2$ となります。質量保存則により、時間間隔 $Δ t$ $の間に移動したこれら 2 つの質量は等しくなければならず、この移動質量はΔ$ $m$ で表されます。 ${\begin{aligned}\rho A_{1}s_{1}&=\rho A_{1}v_{1}\Delta t=\Delta m,\\\rho A_{2}s_{2}&=\rho A_{2}v_{2}\Delta t=\Delta m.\end{aligned}}$

部隊が行う作業は、以下の2つの部分から構成される。

領域 $A1$ と $A2に$ $作用$ $する$ 圧力によってなされる仕事 $W_{\text{pressure}}=F_{1,{\text{pressure}}}s_{1}-F_{2,{\text{pressure}}}s_{2}=p_{1}A_{1}s_{1}-p_{2}A_{2}s_{2}=\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$
重力が行う仕事：体積 $A 1 s 1$ 内の重力ポテンシャルエネルギーが失われ、流出時に体積 $A 2 s 2$ で得られる。したがって、時間間隔 $Δ$ $t$ における重力ポテンシャルエネルギーの変化 $Δ E pot,gravity は$ 次のようになる。

$\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{2}-\Delta m\,gz_{1}.$ さて、重力による仕事は位置エネルギーの変化とは逆向きで、 $W gravity = - ΔE pot,gravity となります$ 。重力は負の $z$ 方向ですが、仕事（重力と高度の変化の積）は、正の高度変化 $Δ z = z 2 - z 1$ に対して負になり、対応する位置エネルギーの変化は正になります。^{[ 24 ]}^{: 14–4、§14–3}したがって、 $W_{\text{gravity}}=-\Delta E_{\text{pot,gravity}}=\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}.$ $したがって、$ $この時間間隔Δt$ で行われた仕事の総量は $W=W_{\text{pressure}}+W_{\text{gravity}}.$ 運動エネルギーの 増加は $\Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}.$ これらをまとめると、仕事-運動エネルギー定理 $W = Δ E kin は$ 次のようになります。^{[ 22 ]} $\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}-\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}+\Delta m\,gz_{1}-\Delta m\,gz_{2}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}-{\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}$ または ${\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{1}^{2}+\Delta m\,gz_{1}+\Delta m{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}\Delta m\,v_{2}^{2}+\Delta m\,gz_{2}+\Delta m{\frac {p_{2}}{\rho }}.$ 質量 $Δ m = ρA 1 v 1 Δ t = ρA 2 v 2 Δ t$ で割ると、結果は次のようになります。^{[ 22 ]} ${\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+gz_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho }}={\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+gz_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho }}$ あるいは、最初の段落で述べたように：

さらに $g$ で割ると、次の式が得られます。各項は長さの次元（メートルなど）で表すことができることに注意してください。これはベルヌーイの原理から導出された基本方程式です。

中間項の $z$ は、基準面に対する流体の高さによる位置エネルギーを表します。ここで、 $zは高さ水頭と呼ばれ、$ $z 高さ$ と表記されます。

高さ $z$ $> 0から$ 自由落下する質量(真空中) は、 $v={\sqrt {{2g}{z}}},$ 標高 $z = 0$ に到達したとき。または、ヘッドとして並べ替えると次のようになります。 $h_{v}={\frac {v^{2}}{2g}}$ $⁠$ $v$ $2$ $/$ $2$ $g$ $⁠$ という項は速度水頭と呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、流体の運動によって生じる内部エネルギーを表します。

静水圧pは次のように定義される。 $p=p_{0}-\rho gz,$ $p 0$ は基準圧力、またはヘッドとして再構成すると次のようになります。 $\psi ={\frac {p}{\rho g}}.$ $⁠$ $p$ $/$ $ρg$ $⁠$ という用語も圧力ヘッドと呼ばれ、長さの測定値として表されます。これは、容器に加わる圧力による流体の内部エネルギーを表します。流速によるヘッドと静圧によるヘッドを基準面からの高さと組み合わせることで、速度ヘッド、高さヘッド、圧力ヘッドを使用して非圧縮性流体に有用な単純な関係が得られます。

式1に流体の密度を乗じると、3つの圧力項を含む式が得られる。

このベルヌーイの式では、系の圧力は一定であることに注意してください。系の静圧（第3項）が増加し、標高差による圧力（中間項）が一定である場合、動圧（第1項）は減少しているはずです。言い換えれば、流体の速度が低下し、それが標高差によるものでない場合、流れに抵抗する静圧の増加が原因であるに違いありません。

これら3つの式はすべて、システムのエネルギーバランスを簡略化したものである。

圧縮性流体に対するベルヌーイの式

圧縮性流体の場合の導出も同様です。ここでも、導出は（1）質量保存則と（2）エネルギー保存則に依存します。質量保存則は、上の図において、時間間隔 $Δ t$ において、面積 $A 1で定義される境界を通過する質量の量が、面積$ $A 2$ で定義される境界を外側に通過する質量の量に等しいことを意味します。 $0=\Delta M_{1}-\Delta M_{2}=\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t.$ $エネルギー保存則は同様の方法で適用されます。A 1$ と $A 2$ で囲まれた流線管の体積のエネルギーの変化は、これら 2 つの境界のいずれか一方から出入りするエネルギーのみによるものと仮定し $ます$ 。明らかに、放射を伴う流体の流れのようなより複雑な状況では、このような条件は満たされません。しかし、これが当てはまると仮定し、流れが定常でエネルギーの正味の変化がゼロであると仮定すると、 $\Delta E_{1}-\Delta E_{2}=0$ ここで、 $Δ E 1 と Δ E 2 はそれぞれ A 1 から流入するエネルギーと A 2 から流出するエネルギーです。A 1$ $から流入する$ エネルギー $は、流入$ $する運動$ エネルギー $、流体$ の $重力$ ポテンシャルエネルギーの形で流入するエネルギー、単位質量あたりの流体の熱力学的内部エネルギー ( $ε 1 )、および機械的な仕事$ $p d V$ の形で流入するエネルギーの合計です。 $\Delta E_{1}=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t$ ここで、 $Ψ = gz$ は地球の重力による力ポテンシャル、 $g$ は重力加速度、 $z$ は基準面からの高さです。Δ $E$ $2$ についても同様の式を簡単に構築できます。そこで、 $0 = Δ$ $E$ $1$ $-$ $Δ$ $E$ $2$ と設定します。 $0=\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{1}v_{1}^{2}+\Psi _{1}\rho _{1}+\varepsilon _{1}\rho _{1}+p_{1}\right)A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}\rho _{2}v_{2}^{2}+\Psi _{2}\rho _{2}+\varepsilon _{2}\rho _{2}+p_{2}\right)A_{2}v_{2}\,\Delta t$ これは次のように書き換えることができます。 $0=\left({\tfrac {1}{2}}v_{1}^{2}+\Psi _{1}+\varepsilon _{1}+{\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}\right)\rho _{1}A_{1}v_{1}\,\Delta t-\left({\tfrac {1}{2}}v_{2}^{2}+\Psi _{2}+\varepsilon _{2}+{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right)\rho _{2}A_{2}v_{2}\,\Delta t$ さて、質量保存則から以前に得られた結果を用いると、これは次のように簡略化できる。 ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +\varepsilon +{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}\equiv b$ これは圧縮性流体に対するベルヌーイの式である。

$流体エンタルピー（ h$ ）を用いて、同等の式を以下のように表すことができる。 ${\tfrac {1}{2}}v^{2}+\Psi +h={\text{constant}}\equiv b$

アプリケーション

現代の日常生活では、ベルヌーイの原理を適用することでうまく説明できる観察結果が数多くありますが、実際の流体は完全に非粘性ではなく、^{[ 27 ]}小さな粘性が流れに大きな影響を与えることがよくあります。

翼の近傍の流体の流れの挙動が分かっている場合、ベルヌーイの原理を使用して翼にかかる揚力を計算することができます。たとえば、航空機の翼の上面を通過する空気が下面を通過する空気よりも速く動いている場合、ベルヌーイの原理は、翼の表面にかかる圧力が上面の方が下面よりも低いことを意味します。この圧力差により、上向きの揚力が発生します。^{[ c ]}^{[ 28 ]}翼の上面と下面を通過する速度の分布が分かっている場合はいつでも、ベルヌーイの方程式を使用して揚力を（かなり正確に）計算できます。^{[ 29 ]}これらの方程式は、最初の人工翼が飛行目的で使用される1世紀以上前にベルヌーイによって確立されました。
多くの往復動エンジンで使用されるキャブレターの基本原理は、空気の流れの中にスロートを設けて低圧領域を作り出し、燃料をキャブレター内に吸い込み、流入する空気と十分に混合することです。スロート内の低圧はベルヌーイの原理で説明できます。スロート内の空気は最も速い速度で流れているため、圧力が最も低くなっています。キャブレターは、ベンチュリ効果によって生じる2つの静圧の差を利用して燃料を流す場合と利用しない場合があり、基本原理としては、スロートとフロートチャンバー内の局所的な空気圧の差、またはスロートと空気入口のピトー管の差を利用する場合があります。
蒸気機関車または静止型ボイラーに搭載されたインジェクター。
航空機のピトー管と静圧ポートは、航空機の対気速度を測定するために使用されます。これらの2つの装置は対気速度計に接続されており、対気速度計は航空機を通過する気流の動圧を測定します。ベルヌーイの原理は、対気速度計が動圧に応じた指示対気速度を表示するように校正するために使用されます。 ^{[ 1 ]}^{： §3.8}
ド・ラバルノズルは、ベルヌーイの原理を利用して、推進剤の燃焼によって発生した圧力エネルギーを速度に変換することで力を発生させます。そして、この力がニュートンの運動第三法則によって推力を生み出すのです。
流体の流速は、ベンチュリ流量計やオリフィスプレートなどの装置を用いて測定できます。これらの装置は、パイプライン内に設置することで流路の直径を縮小します。水平方向の装置の場合、連続の式から、非圧縮性流体では、直径の縮小によって流速が増加することがわかります。続いて、ベルヌーイの原理から、直径が縮小した領域では圧力が低下することが示されます。この現象はベンチュリ効果として知られています。
底部に穴または蛇口のあるタンクの最大排水速度は、ベルヌーイの式から直接計算でき、タンク内の流体の高さの平方根に比例することがわかります。これは、ベルヌーイの原理と一致するトリチェリの法則です。粘度が増加するとこの排水速度は低下します。これは、レイノルズ数とオリフィスの形状の関数である排出係数に反映されます。 ^{[ 30 ]}
ベルヌーイグリップはこの原理を利用して、表面とグリッパーの間に非接触の接着力を生み出す^{[ 31 ]}。

誤解と誤用

ベルヌーイの原理を用いて誤って説明される現象がいくつか存在する。^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}いくつかの例を挙げると次のようになる。

翼型リフト

空気力学的揚力に関する最も一般的な誤った説明の 1 つは、空気が翼の上面と下面を同じ時間で通過しなければならないという主張であり、上面の方が経路が長いため、空気は翼の上面を下面よりも速く移動しなければならないことを示唆しています。そして、ベルヌーイの原理が引用され、翼の上面の圧力は下面の圧力よりも低くなければならないという結論になります。^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}

揚力を発生させる物体の周囲を通過する時間が等しいことを要求する物理的原理は存在しない。実際、理論は、揚力を受けている物体の上面を空気が通過する時間は、下面を通過する時間よりも短いことを予測しており、実験によっても確認されている。したがって、通過時間が等しいという説明は誤りである。 ^{[ 36 ]}^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}通過時間が等しいという説明は誤りであるが、ベルヌーイの原理が誤りなのではない。この原理は十分に確立されており、ベルヌーイの式は、空気力学的揚力の一般的な数学的処理において正しく使用されている。^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

紙に息を吹きかける

一般的な教室でのデモンストレーションでは、紙を水平に持って垂らし、その上から息を吹きかける。デモンストレーターが紙に息を吹きかけると、紙は持ち上がる。そして、これは「速く動く空気は圧力が低い」ためだと主張される。^{[ 42 ]}

One problem with this explanation can be seen by blowing along the bottom of the paper: if the deflection was caused by faster moving air, then the paper should deflect downward; but the paper deflects upward regardless of whether the faster moving air is on the top or the bottom.^[41] Another problem is that when the air leaves the demonstrator's mouth it has the same pressure as the surrounding air;^[43] the air does not have lower pressure just because it is moving; in the demonstration, the static pressure of the air leaving the demonstrator's mouth is equal to the pressure of the surrounding air.^[44]^[45] A third problem is that it is false to make a connection between the flow on the two sides of the paper using Bernoulli's equation since the air above and below are different flow fields and Bernoulli's principle only applies within a flow field.^[46]

A correct explanation of why the paper rises would observe that the plume follows the curve of the paper and that a curved streamline will develop a pressure gradient perpendicular to the direction of flow, with the lower pressure on the inside of the curve.^[47] Bernoulli's principle predicts that the decrease in pressure is associated with an increase in speed; in other words, as the air passes over the paper, it speeds up and moves faster than it was moving when it left the demonstrator's mouth. But this is not apparent from the demonstration.^[48]^[49]^[50]

Suspending a ball in a jet of air

A ping pong ball is held in a diagonal stream of air. While it is often claimed this is due to the stream having lower pressure than the surrounding air, this explanation is erroneous.^[51]

Another common demonstration is suspending a ball in a jet or plume of air. It is often claimed that this is due to the air in the plume having lower pressure since it is moving faster. However, the air in the plume has the same pressure as the surrounding air. The ball remains in the plume since as it moves away from the center of the plume it experiences an asymmetric air flow which pushes it back toward the center.^[51]

Other common classroom demonstrations, such as blowing between two suspended spheres, or inflating a large bag are sometimes explained in a similarly misleading manner by saying "faster moving air has lower pressure".^[52]

注記

↑粒子が圧力が変化する領域（ $x$ 方向の圧力勾配がゼロでない領域）にあり、粒子が有限のサイズ $l$ を持つ場合、粒子の前面は背面とは異なる圧力を「見る」ことになります。より正確には、圧力が $x$ 方向に低下する場合 ( $⁠$ $d$ $p$ $/$ $d$ $x$ $⁠$ $< 0$ )、背面の圧力は前面の圧力よりも高くなり、粒子は (正の) 正味の力を受けます。ニュートンの第 2 法則によれば、この力は加速度を引き起こし、粒子は流線に沿って移動するにつれて速度が増加します...ベルヌーイの式はこれを数学的に記述しています (付録の完全な導出を参照)。^[⁶^]
↑考え方としては、気塊が流線に沿って移動する際に、高圧領域に入ると、前方の圧力が高くなり（後方の圧力よりも高くなる）、これが気塊に力を及ぼし、減速させるというものです。逆に、気塊が低圧領域に入ると、後方の圧力が高くなり（前方の圧力よりも高くなる）、加速します。ニュートンの運動法則で求められるように、常に不均衡な力は運動量（および速度）の変化を引き起こします。^{[ 8 ]}
↑「空気の流れが翼型を通過する際、ベルヌーイの定理に従って、翼型の周囲で速度が局所的に変化し、その結果、静圧も変化する。圧力分布によって、翼型の揚力、ピッチングモーメント、形状抗力、および圧力中心の位置が決まる。」^{[ 1 ]}^{： §5.5}

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↑ JSME、日本機械学会（2013年9月7日）「紙に空気を吹き付ける」 www.jsme-fed.org 。2026年7月27日取得。流れのある領域の圧力が（周囲の圧力よりも）低いのは、その領域の速度がベルヌーイの定理に従って高いからだという説明は誤りです。乾燥機や口で空気を空洞に吹き込んでも、圧力はほぼ大気圧のままです。ベルヌーイの定理は流体のエネルギー保存則を記述したものです。空気を強制的に流すと、周囲の空気のエネルギーに比べてそのエネルギーが増加します。したがって、ベルヌーイの定理は、動いている空気と周囲の静止した空気を比較するために使用することはできません。{{cite web}}: CS1 maint: url-status (リンク)
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↑アンダーソン、デイビッド; エバーハルト、スコット。「飛行機の飛行方法」。飛行機の飛行方法：揚力の物理的説明。2016年 1 月 26 日のオリジナルからアーカイブ。2016年1 月 26 日取得。ベルヌーイの原理や、翼の上を空気が速く流れるという記述に間違いはありません。しかし、上記の議論が示唆するように、この説明だけでは私たちの理解は完全ではありません。問題は、ベルヌーイの原理を適用する際に、重要な部分が欠けていることです。翼の上と下の空気の速度がわかれば、翼の周りの圧力を計算できますが、速度をどのように決定するのでしょうか?
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↑マックス・フェイル著『航空ファイル』 2015年5月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。例として、ベルヌーイの原理を「実証」するためによく用いられる、誤解を招く実験を取り上げてみましょう。紙を指に巻き付けるように持ち、上から息を吹きかけます。紙は持ち上がります。しかし、ほとんどの人は、紙が平らであれば、たとえ上から猛烈な勢いで息を吹きかけても、紙は持ち上がらないことに気づいていません。この場合、ベルヌーイの原理は直接適用されません。これは、紙の両面の空気が同じ発生源から始まったわけではないからです。下の空気は室内の空気ですが、上の空気は口から出たもので、口から押し出すことで圧力を下げずに速度を上げています。その結果、上の空気の方が速く動いているにもかかわらず、平らな紙の両面の空気の圧力は実際には同じになります。湾曲した紙が上昇する理由は、口から出る空気が紙の湾曲に沿ってさらに加速し、その結果、ベルヌーイの定理に従って圧力が低下するからである。
↑ピム・ゲーツ「いくつかの簡単な実験」 sailtheory.com 2016年3月3日のオリジナルからアーカイブ済み。 2022年4月7日取得。紙の上で空気が加速すると圧力が低下することを示すために、紙に息を吹きかける人もいます。彼らの説明は間違っています。紙が上がるのは、コアンダ効果によって空気が偏向されるためであり、その偏向が紙を持ち上げる力の原因です。彼らが間違っていることを証明するために、私は次の実験を使用します。紙を最初に巻いて反対方向に曲げ、その上から息を吹きかけると、紙は下がります。これは、空気が反対方向に偏向されるためです。紙の上での空気速度は依然として高いため、それが圧力低下の原因ではありません。
1 2 a.ボブロウスキー、マット。「Q: 本当にベルヌーイ効果によるものなのか？」。サイエンス101。全米科学教育協会。ベルヌーイ効果は、次のような現象を説明するためによく（そして誤って）持ち出されます。: 2 つの吊り下げられた風船や卓球ボールの間に息を吹き込むと、それらが互いに近づく理由。: 紙に息を吹き込むと、紙が持ち上がる理由。: 投げられた野球ボールがカーブする理由。: スプーンが水の流れに引き寄せられる理由。: ボールが空気の噴流の中で浮いたままになる理由。ここで重要なニュースです。これらの現象はどれもベルヌーイ効果の結果ではありません。b. Kamela, Martin (2007年9月) 「ベルヌーイについて考える」『The Physics Teacher』45 (6)。American Association of Physics Teachers: 379–381。Bibcode : 2007PhTea..45..379K。doi : 10.1119 / 1.2768700。最後に、空気の噴流の中で浮遊するボールの最初の例に戻りましょう。空気の流れの中でボールが安定している理由についての素朴な説明、「噴流内の圧力が周囲の大気圧よりも低いから」は明らかに間違っています。自由空気噴流内の静圧は周囲の大気圧と同じです... c.スミス、ノーマン F. (1972 年 11 月) 「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」。The Physics Teacher。10 (8): 455。Bibcode : 1972PhTea..10..451S。doi : 10.1119/1.2352317。非対称流(ベルヌーイの定理ではない)は、傾いた掃除機の排気口で不思議なことに浮かぶ卓球ボールやビーチボールの揚力も説明します...d. Bauman, Robert P. 「ベルヌーイの難問」(PDF) . introphysics.info . アラバマ大学バーミングハム校物理学部。2012年2月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2012年6月25日に取得。ベルヌーイの定理は、ベルヌーイ以外の力を含むデモンストレーションによってしばしば不明瞭になる。たとえば、空気や水の上昇する噴流でボールが支えられることがあるが、これは、あらゆる流体(空気と水)に粘性があり、流体のある部分が流体の別の部分を通過する際の滑りを遅らせるためである。 e.クレイグ、ゲイル M. 「翼のある飛行の物理的原理」。2016年3 月 31 日に取得。動いている空気の圧力低下による揚力、または流れ経路の制限による圧力低下を示すものとして誤って説明されることもあるデモンストレーションでは、ボールまたは風船が空気のジェットによって吊り下げられます。 f.アンダーソン、デイビッド F.、エバーハルト、スコット。「翼の揚力のニュートン力学的記述」(PDF)。p. 12。2016-03-11にintegener.com 経由でオリジナル (PDF) からアーカイブ。2番目の例は、ヘアドライヤーの垂直排気にピンポン玉が閉じ込められることです。これはベルヌーイの原理の実証だと言われています。しかし、排気には ps の低い値がないことがわかっています。ここでも、ボールを気流の中に留めているのは運動量伝達です。ボールが排気口の端に近づくと、ボールの周りに非対称の流れが発生し、ボールを流れの端から遠ざけます。紐で吊るされた 2 つのピンポン玉の間に息を吹き込む場合も同じです。
↑ a.ボブロウスキー、マット。「Q: 本当にベルヌーイ効果によるものなのか？」。サイエンス101。全米科学教育協会。ベルヌーイ効果は、次のような現象を説明するためによく（そして誤って）持ち出されます。: 2 つの吊り下げられた風船や卓球ボールの間に息を吹き込むと、それらが互いに近づく理由。: 紙に息を吹き込むと、紙が持ち上がる理由。: 投げられた野球ボールがカーブする理由。: スプーンが水の流れに引き寄せられる理由。: ボールが空気の噴流の中で浮いたままになる理由。ここで重要なニュースです。これらの現象はどれもベルヌーイ効果の結果ではありません。 b. 「薄い金属板 - コアンダ効果」 physics.umd.edu .メリーランド大学物理学講義・実演施設。2012年6月23日のオリジナルからアーカイブ。 2012年10月23日取得。この実演は、ベルヌーイの原理を用いて誤って説明されることが多い。誤った説明によれば、シート間の領域では空気の流れが速いため、シートの外側の静かな空気と比較して圧力が低くなる。 c. 「回答 #256」。physics.umd.edu 。メリーランド大学物理学講義・実演施設。2014年12月13日のオリジナルからアーカイブ。 2014年12月9日取得。この実演を説明するためにベルヌーイ効果がよく使われ、あるメーカーはこの実演用の材料を「ベルヌーイバッグ」として販売しているが、ベルヌーイ効果では説明できず、むしろ巻き込みのプロセスによって説明される。

外部リンク

乾いた水の流れ ― ファインマン物理学講義
科学入門Q：それは本当にベルヌーイ効果によって引き起こされているのですか？
ミラーズビル大学 – オイラー方程式の応用
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ベルヌーイの式の誤解釈 – WeltnerとIngelman-Sundberg (2012年2月8日にWayback Machineにアーカイブ)

[7] 粒子が圧力が変化する領域（ $x$ 方向の圧力勾配がゼロでない領域）にあり、粒子が有限のサイズ $l$ を持つ場合、粒子の前面は背面とは異なる圧力を「見る」ことになります。より正確には、圧力が $x$ 方向に低下する場合 ( $⁠$ $d$ $p$ $/$ $d$ $x$ $⁠$ $< 0$ )、背面の圧力は前面の圧力よりも高くなり、粒子は (正の) 正味の力を受けます。ニュートンの第 2 法則によれば、この力は加速度を引き起こし、粒子は流線に沿って移動するにつれて速度が増加します...ベルヌーイの式はこれを数学的に記述しています (付録の完全な導出を参照)。^[⁶^]

[10] 考え方としては、気塊が流線に沿って移動する際に、高圧領域に入ると、前方の圧力が高くなり（後方の圧力よりも高くなる）、これが気塊に力を及ぼし、減速させるというものです。逆に、気塊が低圧領域に入ると、後方の圧力が高くなり（前方の圧力よりも高くなる）、加速します。ニュートンの運動法則で求められるように、常に不均衡な力は運動量（および速度）の変化を引き起こします。^{[ 8 ]}

[30] 「空気の流れが翼型を通過する際、ベルヌーイの定理に従って、翼型の周囲で速度が局所的に変化し、その結果、静圧も変化する。圧力分布によって、翼型の揚力、ピッチングモーメント、形状抗力、および圧力中心の位置が決まる。」^{[ 1 ]}^{： §5.5}

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[Babinsky2-13] Babinsky, Holger (2003 年 11 月)、「翼はどのように機能するのか？」、Physics Education、38 (6): 497–503、Bibcode : 2003PhyEd..38..497B、doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001、S2CID 1657792、流れの中のすべての流線は、速度と圧力が均一な領域 (貯水池や均一な自由流など) から発生することがあり、そのような場合は、流れ全体にベルヌーイの式を適用することができます。

[JSME-14] JSME、日本機械学会（2013年9月7日）「紙に空気を吹き付ける」 www.jsme-fed.org 。2026年7月27日取得。流れのある領域の圧力が（周囲の圧力よりも）低いのは、その領域の速度がベルヌーイの定理に従って高いからだという説明は誤りです。乾燥機や口で空気を空洞に吹き込んでも、圧力はほぼ大気圧のままです。ベルヌーイの定理は流体のエネルギー保存則を記述したものです。空気を強制的に流すと、周囲の空気のエネルギーに比べてそのエネルギーが増加します。したがって、ベルヌーイの定理は、動いている空気と周囲の静止した空気を比較するために使用することはできません。{{cite web}}: CS1 maint: url-status (リンク)

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[33] 機械工学参考マニュアル（第9版）

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[35] 「ベルヌーイの法則とそれに基づく実験は興味深い。残念ながら、これらの実験の中には誤って説明されているものもある…」ウェルトナー、クラウス、インゲルマン＝スンドバーグ、マルティン。「ベルヌーイの法則の誤解」。フランクフルト大学物理学部。2012年6月21日のオリジナルからアーカイブ。 2012年6月25日取得。

[36] Bobrowsky, Matt. "Q: 本当にベルヌーイ効果によるものなのか？ ." National Science Teaching Association. 2020年10月1日のオリジナルからアーカイブ。2026年7月23日取得。ベルヌーイ効果を実証すると称する教室活動のほとんどすべては、実際にはベルヌーイ効果とは関係がない。

[37] 技術教育研究センター（2006）。『Physics That Works』。ケンドール・ハント。ISBN 0787291811. OCLC 61918633 .最も広く流布しているが、誤っている説明の1つは、「長い経路」理論、または「等しい輸送時間」理論と呼ばれるものです。

[38] スミス、ノーマン F. (1972 年 11 月)。「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」。The Physics Teacher。10 ( 8): 451。Bibcode : 1972PhTea..10..451S。doi : 10.1119/1.2352317。米国でほぼ標準となっている教科書の説明によると、飛行機の翼の翼型は、下面よりも上面の方が曲率が大きい特殊な形状をしています。したがって、空気は下面よりも上面をより遠くまで移動する必要があります。空気は上面と下面を同じ経過時間で移動する必要があるため、上面の速度は下面の速度よりも大きくなります。ベルヌーイの定理によれば、この速度差によって揚力となる圧力差が生じます。

[39] Babinsky, Holger (2003). "翼はどのように機能するのか? (PDF) . Physics Education . 38 (6): 497– 503. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792 . 2022-04-12 のオリジナル(PDF)からアーカイブ済み。2022-04-11に取得。...流体粒子が後縁で再び出会う理由がよく問われます。言い換えれば、翼の両側の 2 つの粒子が S から T まで移動するのに同じ時間を要するのはなぜでしょうか? 明らかな説明はなく、実際の観察ではこれが間違っていることが証明されています。

[40] 「翼型上面の実際の速度は「長経路」理論で予測される速度よりもはるかに速く、上面を移動する粒子は翼型下面を移動する粒子よりも先に後縁に到達します。」グレン研究センター（2000年8月16日）。「誤った揚力理論その1」。NASA。 2014年4月27日のオリジナルからアーカイブ。 2021年6月27日取得。

[41] アンダーソン、ジョン（2005）。『飛行入門』ボストン：マグロウヒル・ハイヤー・エデュケーション、355ページ。ISBN 978-0072825695すると、これら2つの要素は後縁で合流するはずであり、翼型の上面を移動する距離は下面を移動する距離よりも長いため、上面を移動する要素の方が速く動くはずだと想定される。しかし、これは全く正しくない。実験結果や計算流体力学の計算結果は、翼型の上面を移動する流体要素は、下面を移動する対応する要素が後縁に到達するずっと前に後縁を離れることを明確に示している。

[42] アンダーソン、デイビッド; エバーハルト、スコット。「飛行機の飛行方法」。飛行機の飛行方法：揚力の物理的説明。2016年 1 月 26 日のオリジナルからアーカイブ。2016年1 月 26 日取得。ベルヌーイの原理や、翼の上を空気が速く流れるという記述に間違いはありません。しかし、上記の議論が示唆するように、この説明だけでは私たちの理解は完全ではありません。問題は、ベルヌーイの原理を適用する際に、重要な部分が欠けていることです。翼の上と下の空気の速度がわかれば、翼の周りの圧力を計算できますが、速度をどのように決定するのでしょうか?

[43] アンダーソン、ジョン D. (2016). 「第 4 章基本的な空気力学」『飛行入門』（第 8版）マグロウヒルエデュケーション。

[Craig-44] 1 2クレイグ、ゲイル M. 「翼飛行の物理的原理」。2016年3 月 31 日取得– rcgroups.com 経由。図 A の揚力が「ベルヌーイの原理」によって引き起こされた場合、図 B の紙は下に空気が吹き込まれるとさらに垂れ下がるはずです。しかし、示されているように、下向きに湾曲した流れの上向きの圧力勾配が紙の下面の大気圧に加わると、紙は持ち上がります。

[45] . Tymony, Cy. 「折り紙のフライングディスク」。MAKE Magazine。これはベルヌーイの原理によるもので、速く動く空気は静止した空気よりも圧力が低い。b. 「ベルヌーイ効果」。ミネソタ大学物理天文学部。2012年3月10日にオリジナルからアーカイブ済み。流体の速度が速いほど、圧力は低くなります。... 実演者が紙を口の前に持って上部に息を吹きかけると、空気の速度が速い領域が作られます。c. 「教育用資料」（PDF）。トールシップフェスティバル – チャンネル諸島港。2013年12月3日にオリジナルからアーカイブ。2012年6月25日に取得。ベルヌーイの原理は、空気の速度が速いほど圧力が低くなることを示しています。ベルヌーイの原理は、唇に水平に当てた紙に息を吹きかけることで実証できます。

[46] バビンスキー、ホルガー (2003)。「翼の仕組み」(PDF)。Physics Education。38 (6)。IOP Publishing: 497。Bibcode : 2003PhyEd..38..497B。doi : 10.1088 /0031-9120/38/6/001。S2CID 1657792。2022年4月7日取得– iopscience.iop.org経由。実際、肺から吹き出される空気の圧力は周囲の空気の圧力と等しい...

[47] イーストウェル、ピーター (2007)。「ベルヌーイ？おそらくそうだろうが、粘性はどうなのか？」(PDF)。サイエンス教育レビュー。6 (1)。2018年3月18日にオリジナル( PDF)からアーカイブ。2018年3月18日に取得。...空気は、動かされたからといって横方向の圧力(または静圧...)が低下するわけではなく、自由空気の静圧は空気の速度が増加するにつれて低下するわけではなく、これがベルヌーイの原理が示していると示唆するのはベルヌーイの原理の誤解であり、曲がった紙の挙動はベルヌーイの原理以外の推論によって説明される。

[48] ラスキン、ジェフ（2003年2月）。「コアンダ効果：翼が機能する理由を理解する」。karmak.org 。約5cm×25cmの筆記用紙の短冊を作ります。それを唇の前に持ち、垂れ下がって上向きに凸面になるようにします。紙の上部に息を吹きかけると、紙は持ち上がります。多くの書籍では、これはベルヌーイ効果のみによる上部の気圧低下によるものとしています。次に、指を使って紙を湾曲させ、全長にわたってわずかに上向きに凹面になるようにし、再びこの短冊の上部に息を吹きかけます。今度は紙は下向きに曲がります...よく引用される実験で、通常は揚力の一般的な説明を実証するものとされていますが、実際にはそうではありません... {{cite web}}:ヘルプが|archive-date=必要です|archive-url=

[49] . Babinsky, Holger (2003). "How Do Wings Work" (PDF) . Physics Education . 38 (6). IOP Publishing: 497. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792 . 2022年4月7日取得– iopscience.iop.org経由。紙に息を吹きかけても、ベルヌーイの式は証明されません。湾曲した紙は、片側に流れを加えると持ち上がりますが、これは空気が両側で異なる速度で動いているからではありません... ベルヌーイの式を使って紙の両側の流れを関連付けるのは誤りです。 b.イーストウェル、ピーター (2007)。「ベルヌーイ？おそらくそうだろうが、粘性はどうなのか？」(PDF)。サイエンス教育レビュー。6 (1)。 2018年3月18日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2018年3月18日に取得。ベルヌーイの原理に基づく説明はこの状況には適用できません。なぜなら、この原理は速度の異なる空気塊の相互作用について何も述べていないからです。また、ベルヌーイの原理は、単一の流線に沿った流体速度と圧力と、同一の流体条件下で発生した2つの異なる流線に沿った流体速度と圧力を比較することを可能にしますが、図1の湾曲した紙の上と下の空気を比較するためにベルヌーイの原理を使用することは無意味です。この場合、紙の下には流線がまったくありません。c.アウアーバッハ、デイビッド。「飛行機が飛ぶ理由」（PDF）。European Journal of Physics。21：295 – iopscience.iop.org経由。手に持った片持ち梁状のページに沿って水平に息を吹きかけることで揚力現象を示すよく知られたデモンストレーションは、ベルヌーイの法則のデモンストレーションというよりは、コアンダ効果に内在する力のデモンストレーションである可能性が高い。なぜなら、ここでは、口から空気のジェットが出て、湾曲した（そしてこの場合は柔軟な）表面に付着するからである。上端は複雑な渦を伴う混合層であり、遠方の流れは静止しているため、ベルヌーイの法則はほとんど適用できない。d.スミス、ノーマン F. (1972 年 11 月) 「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」。The Physics Teacher。科学の授業で何百万もの子供たちが、曲がった紙に息を吹きかけて紙が「持ち上がる」ことを観察するように求められています。そして、ベルヌーイの定理がその原因だと信じるように求められます。残念ながら、関係する「動的揚力」は、ベルヌーイの定理では適切に説明されていません。

[50] . Babinsky, Holger (2003). "How Do Wings Work" (PDF) . Physics Education . 38 (6). IOP Publishing: 497. Bibcode : 2003PhyEd..38..497B . doi : 10.1088/0031-9120/38/6/001 . S2CID 1657792 . 2022年4月7日取得– iopscience.iop.org経由。...流線が湾曲している場合、流線に沿って圧力勾配が存在し、圧力は曲率中心から離れる方向に増加します。 b.スミス、ノーマン F. (1973). "ベルヌーイ、ニュートン、および動的揚力パート II" . School Science and Mathematics . 73 (4): 3333. doi : 10.1111/j.1949-8594.1973.tb09040.x – via wiley.com.湾曲した紙は空気の流れを下向きにし、この作用によって紙を持ち上げる揚力反作用が生じます。c.航空学：科学、数学、技術教育における活動を含む教育者向けガイド（PDF）。NASA。p. 26 – via nasa.gov。舌の湾曲した表面は不均一な空気圧と揚力を生み出します。…揚力は湾曲した表面上を空気が移動することによって生じます。 d.アンダーソン、デイビッド F. ; エバーハルト、スコット。「翼の揚力のニュートン力学的記述」(PDF)。p. 12。2016-03-11にintegener.com経由でオリジナル(PDF)からアーカイブ。粘性により息が曲面に沿って流れ、ニュートンの第一法則は空気に力が働き、ニュートンの第三法則は紙に等しく反対向きの力が働くことを示しています。運動量の伝達により紙片が持ち上がります。紙片の上面に作用する圧力の減少により、紙が上昇します。

[51] アンダーソン、デイビッド F.、エバーハルト、スコット。『飛行を理解する』p. 229 – Google ブックス経由。ベルヌーイの原理の「実証」は、しばしば揚力の物理学の実証として提示される。それらは確かに揚力の実証ではあるが、ベルヌーイの原理の実証ではない。

[52] マックス・フェイル著『航空ファイル』 2015年5月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。例として、ベルヌーイの原理を「実証」するためによく用いられる、誤解を招く実験を取り上げてみましょう。紙を指に巻き付けるように持ち、上から息を吹きかけます。紙は持ち上がります。しかし、ほとんどの人は、紙が平らであれば、たとえ上から猛烈な勢いで息を吹きかけても、紙は持ち上がらないことに気づいていません。この場合、ベルヌーイの原理は直接適用されません。これは、紙の両面の空気が同じ発生源から始まったわけではないからです。下の空気は室内の空気ですが、上の空気は口から出たもので、口から押し出すことで圧力を下げずに速度を上げています。その結果、上の空気の方が速く動いているにもかかわらず、平らな紙の両面の空気の圧力は実際には同じになります。湾曲した紙が上昇する理由は、口から出る空気が紙の湾曲に沿ってさらに加速し、その結果、ベルヌーイの定理に従って圧力が低下するからである。

[53] ピム・ゲーツ「いくつかの簡単な実験」 sailtheory.com 2016年3月3日のオリジナルからアーカイブ済み。 2022年4月7日取得。紙の上で空気が加速すると圧力が低下することを示すために、紙に息を吹きかける人もいます。彼らの説明は間違っています。紙が上がるのは、コアンダ効果によって空気が偏向されるためであり、その偏向が紙を持ち上げる力の原因です。彼らが間違っていることを証明するために、私は次の実験を使用します。紙を最初に巻いて反対方向に曲げ、その上から息を吹きかけると、紙は下がります。これは、空気が反対方向に偏向されるためです。紙の上での空気速度は依然として高いため、それが圧力低下の原因ではありません。

[Ball_in_Jet-54] 1 2 a.ボブロウスキー、マット。「Q: 本当にベルヌーイ効果によるものなのか？」。サイエンス101。全米科学教育協会。ベルヌーイ効果は、次のような現象を説明するためによく（そして誤って）持ち出されます。: 2 つの吊り下げられた風船や卓球ボールの間に息を吹き込むと、それらが互いに近づく理由。: 紙に息を吹き込むと、紙が持ち上がる理由。: 投げられた野球ボールがカーブする理由。: スプーンが水の流れに引き寄せられる理由。: ボールが空気の噴流の中で浮いたままになる理由。ここで重要なニュースです。これらの現象はどれもベルヌーイ効果の結果ではありません。b. Kamela, Martin (2007年9月) 「ベルヌーイについて考える」『The Physics Teacher』45 (6)。American Association of Physics Teachers: 379–381。Bibcode : 2007PhTea..45..379K。doi : 10.1119 / 1.2768700。最後に、空気の噴流の中で浮遊するボールの最初の例に戻りましょう。空気の流れの中でボールが安定している理由についての素朴な説明、「噴流内の圧力が周囲の大気圧よりも低いから」は明らかに間違っています。自由空気噴流内の静圧は周囲の大気圧と同じです... c.スミス、ノーマン F. (1972 年 11 月) 「流体力学におけるベルヌーイとニュートン」。The Physics Teacher。10 (8): 455。Bibcode : 1972PhTea..10..451S。doi : 10.1119/1.2352317。非対称流(ベルヌーイの定理ではない)は、傾いた掃除機の排気口で不思議なことに浮かぶ卓球ボールやビーチボールの揚力も説明します...d. Bauman, Robert P. 「ベルヌーイの難問」(PDF) . introphysics.info . アラバマ大学バーミングハム校物理学部。2012年2月25日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2012年6月25日に取得。ベルヌーイの定理は、ベルヌーイ以外の力を含むデモンストレーションによってしばしば不明瞭になる。たとえば、空気や水の上昇する噴流でボールが支えられることがあるが、これは、あらゆる流体(空気と水)に粘性があり、流体のある部分が流体の別の部分を通過する際の滑りを遅らせるためである。 e.クレイグ、ゲイル M. 「翼のある飛行の物理的原理」。2016年3 月 31 日に取得。動いている空気の圧力低下による揚力、または流れ経路の制限による圧力低下を示すものとして誤って説明されることもあるデモンストレーションでは、ボールまたは風船が空気のジェットによって吊り下げられます。 f.アンダーソン、デイビッド F.、エバーハルト、スコット。「翼の揚力のニュートン力学的記述」(PDF)。p. 12。2016-03-11にintegener.com 経由でオリジナル (PDF) からアーカイブ。2番目の例は、ヘアドライヤーの垂直排気にピンポン玉が閉じ込められることです。これはベルヌーイの原理の実証だと言われています。しかし、排気には ps の低い値がないことがわかっています。ここでも、ボールを気流の中に留めているのは運動量伝達です。ボールが排気口の端に近づくと、ボールの周りに非対称の流れが発生し、ボールを流れの端から遠ざけます。紐で吊るされた 2 つのピンポン玉の間に息を吹き込む場合も同じです。

[55] .ボブロウスキー、マット。「Q: 本当にベルヌーイ効果によるものなのか？」。サイエンス101。全米科学教育協会。ベルヌーイ効果は、次のような現象を説明するためによく（そして誤って）持ち出されます。: 2 つの吊り下げられた風船や卓球ボールの間に息を吹き込むと、それらが互いに近づく理由。: 紙に息を吹き込むと、紙が持ち上がる理由。: 投げられた野球ボールがカーブする理由。: スプーンが水の流れに引き寄せられる理由。: ボールが空気の噴流の中で浮いたままになる理由。ここで重要なニュースです。これらの現象はどれもベルヌーイ効果の結果ではありません。 b. 「薄い金属板 - コアンダ効果」 physics.umd.edu .メリーランド大学物理学講義・実演施設。2012年6月23日のオリジナルからアーカイブ。 2012年10月23日取得。この実演は、ベルヌーイの原理を用いて誤って説明されることが多い。誤った説明によれば、シート間の領域では空気の流れが速いため、シートの外側の静かな空気と比較して圧力が低くなる。 c. 「回答 #256」。physics.umd.edu 。メリーランド大学物理学講義・実演施設。2014年12月13日のオリジナルからアーカイブ。 2014年12月9日取得。この実演を説明するためにベルヌーイ効果がよく使われ、あるメーカーはこの実演用の材料を「ベルヌーイバッグ」として販売しているが、ベルヌーイ効果では説明できず、むしろ巻き込みのプロセスによって説明される。

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ベルヌーイの原理

概要

非圧縮性流れ方程式

簡略化された形式

非定常ポテンシャル流

圧縮性流れ方程式

流体力学における圧縮性流れ

熱力学における圧縮性流体

非定常ポテンシャル流

派生

アプリケーション

誤解と誤用

翼型リフト

紙に息を吹きかける

Suspending a ball in a jet of air

関連項目

注記

参考文献

外部リンク

関連するトピック

ベンチュリ管

流体圧力が

ベンチュリ計

流体力学