高度（三角形）

幾何学では、三角形の高度とは、与えられた頂点(頂点と呼ばれる) を通り、頂点の反対側の辺またはエッジを含む直線に垂直な線分のことです。この (有限の) エッジと (無限の) 延長線は、それぞれ高度の底辺と延長された底辺と呼ばれます。延長された底辺 と高度の交点は高度の足と呼ばれます。高度の長さは、単に「高度」または「高さ」と呼ばれることが多く、記号はhで、足と頂点の間の距離です。頂点から足まで高度を描くプロセスは、その頂点で高度を下げると呼ばれます。これは、正射影の特殊なケースです。

高さは三角形の面積の計算に使用できます。高さの長さと底辺の長さ (記号b )の積の半分が三角形の面積に等しくなります。A = h b /2。したがって、最も長い高さは三角形の最も短い辺に垂直です。高さは三角関数を通じて三角形の辺とも関連しています。

二等辺三角形（2つの辺が合同な三角形）では、不同な辺を底辺とする高さは、その辺の中点を足とします。また、不同な辺を底辺とする高さは、頂角の角の二等分線となります。

直角三角形では、斜辺 cに引かれた高さは、斜辺を長さpとqの2つの線分に分割します。高さの長さをh _cで表すと、次の関係が成り立ちます 。

${\displaystyle h_{c}={\sqrt {pq}}}$  （幾何平均定理、特殊なケース、逆ピタゴラスの定理を参照）

鋭角三角形の場合、すべての頂点の足は三角形の辺（延長されていない）にあります。鈍角三角形（鈍角を持つ三角形）では、鈍角の頂点の頂点の足は反対側の辺の内部にありますが、鋭角の頂点の頂点の足は反対側の延長された辺（三角形の外側）にあります。これは、次の図に示されています。この鈍角三角形では、鋭角を持つ上部の頂点から垂直に下ろした頂点が、三角形の外側の延長された水平辺と交差しています。

三角形の 垂心は、通常Hで表され、3つの高さ（延長されている場合もある）が交差する点である。 ^{[1] [2]}垂心は、三角形が鋭角である場合にのみ 三角形の内側にある。直角三角形の場合、垂心は直角の頂点と一致します。 ^[2]

辺a、b、c、半周 を持つ三角形の場合、辺a（底辺） からの高さは次のように表される。${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),}$

${\displaystyle h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.}$

これは、三角形の面積を辺の数で表すヘロンの公式と、底辺を辺aとし、高さを頂点A (反対側の辺a ) からの高さとする面積の公式を組み合わせたものです。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\text{base}}\times {\text{height}},}$

この式は、 a をbまたはcと交換することで、それぞれ 高度h _bとh _{c を求めるのにも使用できます。}

辺がa、b、cで、高さがそれぞれh _a、h _b、h _cである任意の三角形を考える。高さと内接円の半径rは^[3]の関係にある^。補題1

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.}$

三角形の1辺からの高さをh _a、他の2辺をbとc、三角形の外接円の半径をR とすると、高さは^{[4]で表されます。}

${\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}}.}$

p ₁、p ₂、p _{3 が}任意の点Pから各辺までの垂線距離、 h ₁、h ₂、h ₃が各辺までの高さである場合、[ ^5]

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.}$

任意の三角形の辺a、b、cからの高さをそれぞれh _a、h _b、h _cと表し、高さの逆数の半和を次のように表すと^[6]${\displaystyle H={\tfrac {h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}{2}}}$

${\displaystyle \mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}$

Eが任意の三角形△ ABCの頂点AD上の任意の点である場合、^{[7] ：77–78}

${\displaystyle {\overline {AC}}^{2}+{\overline {EB}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {CE}}^{2}.}$

三角形の面積は なので、三角不等式は^[8]を意味する。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ah_{a}={\tfrac {1}{2}}bh_{b}={\tfrac {1}{2}}ch_{c}}$${\displaystyle a<b+c}$

${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}<{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$。

正三角形内の任意の点Pから3 辺に下ろした垂線の合計は、三角形の高さに等しくなります。これがヴィヴィアーニの定理です。

辺aとb 、斜辺c を持つ直角三角形では、各辺は高さでもあります: ⁠ ⁠${\displaystyle h_{a}=b}$と⁠ ⁠ 。3番目の高さは関係式${\displaystyle h_{b}=a}$^{[9] [10]}で求められます。

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}={\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.}$

これは逆ピタゴラスの定理としても知られています。

特に以下の点に注意してください:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}AC\cdot BC&={\tfrac {1}{2}}AB\cdot CD\\[4pt]CD&={\tfrac {AC\cdot BC}{AB}}\\[4pt]\end{aligned}}}$

• 中央値（ジオメトリ）

• アルトシラー・コート、ネイサン(2007) [1952]、カレッジ幾何学、ドーバー
• ベレル、アラン; ゴールドマン、ジェリー (2001)、『幾何学：定理と構成』、プレンティス ホール、ISBN 0-13-087121-4
• Bogomolny, Alexander . 「直交中心の存在」。Cut the Knot . 2022-12-17閲覧。
• ジョンソン、ロジャー A. (2007) [1960]、上級ユークリッド幾何学、ドーバー、ISBN 978-0-486-46237-0
• スマート、ジェームズ R. (1998)、モダンジオメトリー(第 5 版)、ブルックス/コール、ISBN 0-534-35188-3

• ワイスタイン、エリック・W.「高度」。マスワールド。