五角両錐

五角両錐
五角両錐
タイプ	双錐、; デルタ面体; ジョンソン; J 12 – J 13 – J 14
顔	10個の三角形
エッジ	15
頂点	7
頂点構成
対称グループ
二面角（度）	ジョンソン固体として: 三角形から三角形まで: 138.2°; ピラミッドを底辺同士で接続した場合の三角形同士の角度: 74.8°;
二重多面体	五角柱
プロパティ	凸、; 複合、; 面推移

五角両錐（または五角二面体）は、10 個の三角形の面を持つ多面体です。これは、2 つの五角錐をそれぞれの底面に接続して構築されます。三角形の面が正三角形である場合、五角両錐は、デルタ面体、複合多面体、およびジョンソン立体の例になります。

五角両錐は、 4 つの連結されたよく覆われたグラフとして表すことができます。この多面体は、化合物において、五角両錐分子構造として知られる原子クラスターの記述として、またトムソン問題の解として、また十面体ナノ粒子として使用できます。

特別なケース

直角双錐体として

他の両錐体と同様に、五角両錐体は2つの五角錐の底部を接合することで構築できます。^[1]これらのピラミッドは五角形の底部を覆い、結果として得られる多面体は10の三角形の面、15の辺、7つの頂点を持ちます。^[2]ピラミッドが対称的に規則的で、両方の頂点が底部の中心を通る線上にある場合、五角両錐体は正しいと言われています。そうでない場合は斜めです。^[3]

他の直角両錐体と同様に、五角両錐体は20次の二面体群という3次元対称群を持つ。頂点と底辺の中心を垂直に通る対称軸を中心に回転することで外観が対称になり、底辺の任意の二等分線に対して鏡映対称になる。また、水平面を挟んで鏡映することでも対称になる。^[4]したがって、五角両錐体は面推移的または等面体である。^[5] $D_{5\mathrm {h} }$

五角両錐は4連結であり、つまり4つの頂点を削除すると残りの頂点が切断される。これは4連結の単体的多面体で覆われた4つの多面体のうちの1つであり、つまりその頂点の最大独立集合はすべて同じサイズである。この特性を持つ他の3つの多面体は、正八面体、スナブ二面体、および12の頂点と20の三角形の面を持つ不規則多面体である。^[6]

五角両錐の双面多面体は五角柱である。より一般的には、あらゆる両錐の双面多面体は柱であり、その逆もまた真である。^[7]五角柱は底面に2つの五角形の面を持ち、残り5つの面は長方形である。^[8]

ジョンソンの固体として

正三角形の面を持つ五角錐とその網目。

ピラミッドが正三角形の場合、三角錐のすべての辺の長さは等しく、面は正三角形になります。正三角形のみを面とする多面体はデルタ面体と呼ばれます。^[9]凸デルタ面体は8種類しかなく、そのうちの1つが正三角形の面を持つ五角錐です。より一般的には、すべての面が正三角形である凸多面体はジョンソン立体であり、すべての凸デルタ面体はジョンソン立体です。正三角形の面を持つ五角錐は、13番目のジョンソン立体として番号が付けられたジョンソン立体の1つです。^{[10]これは、2つの正五角錐を結合して構築されるため、}複合多面体の例です。^[11]^[2] $J_{13}$

五角錐の表面積はすべての三角形の10倍であり、その体積はそれを2つの五角錐に分割してそれらの体積を足すことで求めることができる。辺の長さの場合、それらは次のようになる。^[2] $A$ $V$ $a$ ${\begin{aligned}A&={\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}&\approx 4.3301a^{2},\\V&={\frac {5+{\sqrt {5}}}{12}}a^{3}&\approx 0.603a^{3}.\end{aligned}}$

正五角錐の二面角は、五角錐の角度を足すことで計算できる。 ^[12]

隣接する2つの三角形の間の五角両錐の二面角は五角錐の二面角と同じで、約138.2°であり、
隣接する 2 つの三角形の面の間に正三角形の面を持つ五角両錐の二面角は、2 つのピラミッドが取り付けられている辺で、三角形の面と底辺の間の五角錐の二面角を合計して 74.8° になります。

アプリケーション

化合物の幾何学では、原子を囲む原子クラスターとして五角両錐を使用することができる。五角両錐分子幾何学は、この多面体が五角両錐であるクラスターを表す。そのようなクラスターの例としては、気相中の七フッ化ヨウ素がある。 ^[13]

トムソン問題は、球面上の荷電粒子の最小エネルギー配置に関するものである。その1つは五角錐であり、7個の電子の場合の既知の解法で、五角錐の頂点を球面に内接させるものである。^[14]

五角両錐体やそれに関連する五面体の形状は、十面体ナノ粒子に見られ、鉱物学では五重環状双晶とも呼ばれ、巨視的サイズになることもあります。^[15]^[16]

参考文献

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外部リンク

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多面体のコンウェイ表記法試す: dP5

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