三角形の中心
平面幾何学 において 、 ホフスタッター点はあらゆる 平面 三角形 に関連付けられた特別な点である 。実際、三角形に関連付けられたホフスタッター点は複数ある。それらはすべて 三角形の中心 である。そのうちの2つ、 ホフスタッターゼロ点 と ホフスタッター1点 は特に興味深い。 [1] これらは2つの 超越三角形の中心である。ホフスタッターゼロ点は クラーク・キンバリング の 三角形中心百科事典 でX(360)として指定されている中心であり、ホフスタッター1点はX(359)として示されている中心である。ホフスタッターゼロ点は 1992年に ダグラス・ホフスタッター によって発見された。 [1]
ホフスタッター三角形 △ ABCを 与えられた三角形とします。r を 正 の実定数とします。
線分 BC をB を 中心にして A に向かって 角度 rB だけ回転させ、この線分を含む直線を L BC とする。次に、線分 BC をC を 中心にして A に向かって 角度 rC だけ回転させます。 この線分を含む直線を L' BC とする。直線L BC と L' BC が A ( r ) で交差するものとする 。同様に点 B ( r ) と点 C ( r )が構築される。頂点が A ( r )、 B ( r )、 C ( r ) である三角形は、 △ ABC のホフスタッターの r 三角形 (または r -ホフスタッターの三角形)である 。 [2] [1]
特別なケース
ホフスタッター三角形の頂点の三線座標 ホフスタッターのr 三角形の頂点の 三線座標は 次 のとおりです。
あ （ r ）
=
1
:
罪 r B
罪 （ 1 − r ） B
:
罪 r Ｃ
罪 （ 1 − r ） Ｃ
B （ r ）
=
罪 r あ
罪 （ 1 − r ） あ
:
1
:
罪 r Ｃ
罪 （ 1 − r ） Ｃ
Ｃ （ r ）
=
罪 r あ
罪 （ 1 − r ） あ
:
罪 （ 1 − r ） B
罪 r B
:
1
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC }{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{ \frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{配列}}}
ホフスタッター氏は さまざまなホフスタッター点を示すアニメーション。H 0 は ホフスタッターのゼロ点です。H 1はホフスタッターの 1 点です。三角形の中心にある小さな赤い円弧は、 0 < r < 1 のホフスタッター r 点の軌跡です。この軌跡は 三角形の 内心 I を通ります。 正の実定数 r > 0 に対して、 A ( r )、 B ( r )、 C ( r )を三角形 △ ABC のホフスタッター r 三角形とします 。このとき、線分 AA ( r )、 BB ( r )、 CC ( r ) は交わります。 [3] 交わる点は △ ABC のホフスタッター r 点です。
ホフスタッターの三線座標 r -ポイント ホフスタッターの r 点の三 線座標を 以下に示します。
罪 r あ
罪 （ あ − r あ ）
:
罪 r B
罪 （ B − r B ）
:
罪 r Ｃ
罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
{\displaystyle {\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}\ :\ {\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}\ :\ {\frac {\ sin rC}{\sin(C-rC)}}}
ホフスタッターのゼロポイントとワンポイント これらの点の三線座標は、ホフスタッターのr 点の三線座標の式で r に値 0 と 1 を代入しても取得できません 。
ホフスタッター ゼロ点は、 r が ゼロに近づくときのホフスタッター r 点の 限界 です。したがって、ホフスタッター ゼロ点の三線座標は次のように導出されます。
リム
r → 0
罪 r あ
罪 （ あ − r あ ）
:
罪 r B
罪 （ B − r B ）
:
罪 r Ｃ
罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
⟹
リム
r → 0
罪 r あ
r 罪 （ あ − r あ ）
:
罪 r B
r 罪 （ B − r B ）
:
罪 r Ｃ
r 罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
⟹
リム
r → 0
あ 罪 r あ
r あ 罪 （ あ − r あ ）
:
B 罪 r B
r B 罪 （ B − r B ）
:
Ｃ 罪 r Ｃ
r Ｃ 罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\ sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB )}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC \sin(C-rC)}}\end{配列}}}
以来
リム
r → 0
罪 r あ
r あ
=
リム
r → 0
罪 r B
r B
=
リム
r → 0
罪 r Ｃ
r Ｃ
= 1 、
{\displaystyle \lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rA}{rA}}=\lim _{r\to 0}{\tfrac {\sin rB}{rB}}=\lim _ {r\to 0}{\tfrac {\sin rC}{rC}}=1,}
⟹
あ
罪 あ
:
B
罪 B
:
Ｃ
罪 Ｃ
=
あ 1つの
:
B b
:
Ｃ ｃ
{\displaystyle \implies {\frac {A}{\sin A}}\ :\ {\frac {B}{\sin B}}\ :\ {\frac {C}{\sin C}}\quad =\quad {\frac {A}{a}}\ :\ {\frac {B}{b}}\ :\ {\frac {C}{c}}}
ホフスタッターの 1 点は、 r が1 に近づくときのホフスタッターの r 点
の極限です 。したがって、ホフスタッターの 1 点の三線座標は次のように導出されます。
リム
r → 1
罪 r あ
罪 （ あ − r あ ）
:
罪 r B
罪 （ B − r B ）
:
罪 r Ｃ
罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
⟹
リム
r → 1
（ 1 − r ） 罪 r あ
罪 （ あ − r あ ）
:
（ 1 − r ） 罪 r B
罪 （ B − r B ）
:
（ 1 − r ） 罪 r Ｃ
罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
⟹
リム
r → 1
（ 1 − r ） あ 罪 r あ
あ 罪 （ あ − r あ ）
:
（ 1 − r ） B 罪 r B
B 罪 （ B − r B ）
:
（ 1 − r ） Ｃ 罪 r Ｃ
Ｃ 罪 （ Ｃ − r Ｃ ）
{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{array}}}
以来
lim
r
→
1
(
1
−
r
)
A
sin
(
A
−
r
A
)
=
lim
r
→
1
(
1
−
r
)
B
sin
(
B
−
r
B
)
=
lim
r
→
1
(
1
−
r
)
C
sin
(
C
−
r
C
)
=
1
,
{\displaystyle \lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)A}{\sin(A-rA)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)B}{\sin(B-rB)}}=\lim _{r\to 1}{\tfrac {(1-r)C}{\sin(C-rC)}}=1,}
⟹
sin
A
A
:
sin
B
B
:
sin
C
C
=
a
A
:
b
B
:
c
C
{\displaystyle \implies {\frac {\sin A}{A}}\ :\ {\frac {\sin B}{B}}\ :\ {\frac {\sin C}{C}}\quad =\quad {\frac {a}{A}}\ :\ {\frac {b}{B}}\ :\ {\frac {c}{C}}}
参考文献
^ abc Kimberling, Clark. 「Hofstadter points」 . 2012年 5月11日 閲覧 。 ^ Weisstein, Eric W. 「Hofstadter Triangle」。MathWorld--A Wolfram Web Resource 。 2012年 5月11日 閲覧 。 ^ C. キンバリング (1994)。 「ホフスタッターポイント」。 ウィスクンデの新しい大首領 。 12 ：109-114。
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}A(r)&=&1&:&{\frac {\sin rB}{\sin(1-r)B}}&:&{\frac {\sin rC }{\sin(1-r)C}}\\[2pt]B(r)&=&{\frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&1&:&{\frac {\sin rC}{\sin(1-r)C}}\\[2pt]C(r)&=&{ \frac {\sin rA}{\sin(1-r)A}}&:&{\frac {\sin(1-r)B}{\sin rB}}&:&1\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c8014473d16c2489e774044b3a983a23731175)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\ sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {\sin rA}{r\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\sin rB}{r\sin(B-rB )}}&:&{\frac {\sin rC}{r\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 0}&{\frac {A\sin rA}{rA\sin(A-rA)}}&:&{\frac {B\sin rB}{rB\sin(B-rB)}}&:&{\frac {C\sin rC}{rC \sin(C-rC)}}\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9238946f866d06c5e5623357d64cea11a30a8dc0)
![{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}\displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {\ sin rB}{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)\sin rA}{\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rB }{\sin(B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)\sin rC}{\sin(C-rC)}}\\[4pt]\implies \displaystyle \lim _{r\to 1}&{\frac {(1-r)A\sin rA}{A\sin(A-rA)}}&:&{\frac {(1-r)B\sin rB}{B\sin( B-rB)}}&:&{\frac {(1-r)C\sin rC}{C\sin(C-rC)}}\end{配列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99a03da04ca3d8c41db955320ce7f319d1edfcb1)
