三元図

三元図、三元グラフ、三角形図、単体図、またはギブスの三角形は、合計が定数となる3 つの変数に関する重心図です。 ^{[ 1 ]}これは、3 つの変数の比率を正三角形内の位置としてグラフィカルに表現します。物理化学、岩石学、鉱物学、冶金学、およびその他の物理科学で、3 つの種で構成されるシステムの組成を示すために使用されます。三元図は、3 次元の場合の組成データを分析するためのツールです。

集団遺伝学では、遺伝子型頻度の三角形プロットはデ・フィネッティ図と呼ばれます。ゲーム理論^{[ 2 ]}や凸最適化^{[ 3 ]}では、しばしば単体図と呼ばれます。

三元図では、3 つの変数a、b、cの値の合計が定数Kにならなければなりません。通常、この定数は 1.0 または 100% で表されます。グラフ化されるすべての物質についてa + b + c = Kとなるため、いずれの変数も他の変数とは独立していません。したがって、サンプルのグラフ上の点を見つけるには、2 つの変数のみを知っていれば十分です。たとえば、c はK − a − bに等しくなければなりません。3 つの数値は独立して変化できないため、自由度は2 つしかありません。そのため、3 つの変数の組み合わせを 2 次元でのみグラフ化することが可能になります。

化学組成を表す際に三成分図を用いる利点は、3つの変数を2次元グラフに簡便にプロットできる点にある。また、三成分図は、異なる相が存在する組成領域をグラフ上に明示することで、相図を作成するためにも利用できる。

三元図上の点の値は、（定数を除いて）その三線形座標または重心座標に対応します。

グラフ上の点の値を決定するために使用できる、同等の方法は3つあります。

1. 平行線法またはグリッド法。最初の方法は、三角形の辺に平行な線で構成される図グリッドを使用することです。三角形の辺に平行な線は、その辺に対向する頂点に位置する成分が一定の点の軌跡です。各成分は、三角形の角では 100%、その反対側の辺では 0% であり、この角からの距離 (反対側の辺に垂直な方向) が増加するにつれて直線的に減少します。ゼロ線と角の間に一定間隔で平行線を引くことにより、簡単に推定できる細かい分割を確立できます。
2. 垂線法または高さ法。グリッド線がない図の場合、値を決定する最も簡単な方法は、対象点から3辺それぞれまでの最短距離（つまり垂線）を求めることです。ヴィヴィアーニの定理により、距離（または距離と三角形の高さの比）から各成分の値が得られます。
3. 角線法または交点法。この3つ目の方法は、垂直線や平行線を引く必要はありません。各角から、注目点を通って三角形の反対側の辺まで直線を引きます。これらの直線の長さ、および注目点と対応する辺との間の線分の長さを個別に測定します。測定された直線の比率から、100%に対する割合として成分値が得られます。

平行線（グリッド線）に沿った移動では、2つの値の合計が維持されます。一方、垂直線に沿った移動では、2つの値がそれぞれ同じ量だけ増加（または減少）し、その増加（減少）量は3つ目の値の減少（増加）量の半分になります。角を通る線に沿った移動では、他の2つの値の比率が維持されます。

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  図1. 高度法
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  図2. 交差法
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  図3．点がプロットされていない三元図の例。
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  図4．第1軸に沿った増分を示す、例となる三元図。
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  図5．第2軸に沿った増分を示す、例となる三元図。
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  図6．3軸に沿った増分を示す、例となる3元図。
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  図7. 空の三元図
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  図8．3つの軸の動作原理を示す図。
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  主要なグリッド線が描かれたラベルなしの三角形プロット
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  ラベルなしの三角形プロット（主グリッド線と副グリッド線付き）

図（１）は、それぞれ軸がa、b、cで​​ある3 次元直交座標空間における点P( a、b、c )の斜投影を示しています。

a + b + c = K (正の定数)の場合、 P はA( K ,0,0)、B(0, K ,0)およびC(0,0, K )を含む平面に制限されます。 a、bおよびcがそれぞれ負にならない場合、 Pは (2) のようにA、BおよびCで囲まれた三角形に制限されます。

（３）では、軸を回転させて等角投影図を作成している。正面から見た三角形は正三角形に見える。

（4）において、点Pから直線BC、AC、ABまでの距離はそれぞれa ′、b ′、c ′で表される。

ベクトル形式で表した任意の直線l = s + t n ̂ ( n ̂は単位ベクトル) と点pに対して、pからlへの垂線距離は次のようになる。

${\displaystyle \left\|(\mathbf {s} -\mathbf {p} )-{\bigl (}(\mathbf {s} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr )}\mathbf {\hat {n}} \right\|\,.}$

この場合、点Pは

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\,.}$

BC線は

${\displaystyle \mathbf {s} ={\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {\hat {n}} ={\frac {{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}}{\left\|{\begin{pmatrix}0\\K\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\0\\K\end{pmatrix}}\right\|}}={\frac {\begin{pmatrix}0\\K\\-K\end{pmatrix}}{\sqrt {0^{2}+K^{2}+{(-K)}^{2}}}}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\,.}$

垂直距離の公式を使用すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left({\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b\\-c\end{pmatrix}}-\left(0+{\frac {K-b}{\sqrt {2}}}+{\frac {c}{\sqrt {2}}}\right){\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\K-b-{\frac {K-b+c}{2}}\\-c+{\frac {K-b+c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|=\left\|{\begin{pmatrix}-a\\{\frac {K-b-c}{2}}\\{\frac {K-b-c}{2}}\end{pmatrix}}\right\|\\[10px]&={\sqrt {{(-a)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {K-b-c}{2}}\right)}^{2}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(K-b-c)}^{2}}{2}}}}\,.\end{aligned}}}$

K = a + b + cを代入すると、

${\displaystyle a'={\sqrt {a^{2}+{\frac {{(a+b+c-b-c)}^{2}}{2}}}}={\sqrt {a^{2}+{\frac {a^{2}}{2}}}}=a{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

線分ACとABについても同様の計算を行うと、

${\displaystyle b'=b{\sqrt {\frac {3}{2}}}\quad {\text{and}}\quad c'=c{\sqrt {\frac {3}{2}}}\,.}$

これは、点とそれぞれの線との距離が、元の値a、b、cに線形的に比例することを示している。^{[ 4 ]}

デカルト座標は三角形内の点をプロットするのに役立ちます。正三角形の三元図を考えます。a = 100% が( x , y ) = (0,0)に配置され、b = 100%が(1,0)に配置されます。するとc = 100%は${\textstyle ({\frac {1}{2}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}),}$そしてトリプル( a , b , c )は

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {2b+c}{a+b+c}},{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cdot {\frac {c}{a+b+c}}\right)\,.}$

この例は、架空の3つの土壌サンプルに対してこれがどのように機能するかを示しています。

• 色度図
• デ・フィネッティ図
• ダリッツの陰謀
• 可燃性図
• ジェンセン陽イオンプロット
• 水化学で使用されるパイパー図
• 超苦鉄質岩のUIGS分類図
• USDA土壌テクスチャー図（粒径別）
• 金融分野では、投資ポートフォリオの資産配分は三元図で表すことができ、例えばモーニングスターX線図^{[ 5 ]}は、円グラフの代替として、ディフェンシブ、センシティブ、サイクリックの3つのセクターを使用しています。

• 見かけのモル特性
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• トリレンマ
• ヴィヴィアーニの定理

• 「三元図のExcelテンプレート」 . serc.carleton.edu . 科学教育リソースセンター（SERC）カールトン大学. 2020年5月14日取得.
• 「Tri-plot: 三元図作成ソフトウェア」。www.lboro.ac.uk 。ラフバラ大学 – 地理学部 / リソース ゲートウェイ ホーム > Tri-plot 。 2020年5月14日取得。
• 「三元図ジェネレーター – オンラインで三元図を素早く作成」 www.ternaryplot.com 2020年5月14日取得
• Holland, Steven (2016). "地球科学におけるデータ分析 – R言語で開発された三元図" . strata.uga.edu . ジョージア大学. 2020年5月14日取得.