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幾何学において、切頂六角形のタイリングは、ユークリッド平面の半規則的なタイリングです。各頂点には 2 つの正十二角形(12 辺) と 1 つの三角形があります。
名前が示すように、このタイリングは六角形のタイリングに切り捨て操作を適用して構築され、元の六角形の代わりに十二角形が残り、元の頂点の位置に新しい三角形が残ります。拡張されたシュレーフリ記号t {6,3} が与えられます。
コンウェイはこれを、六角形のタイリング(ヘクスティル) に切り捨て操作を適用して構築された、切り捨てられたヘクスティルと呼んでいます。
平面には 3 つの規則的なタイリングと 8 つの半規則的なタイリングがあります。
均一なカラーリング
切頂六角形のタイルには、 均一な色付けが1 つだけあります。(頂点の周りのインデックスで色に名前を付けると、122 になります。)
位相的に同一のタイリング
十二角形の面は、次のようなさまざまな形状に変形できます。
関連する多面体とタイリング
六角形と三角形のタイルを使ったウィトフ構造
均一な多面体と同様に、正六角形のタイリング (または二重三角形のタイリング) を基にして作成できる均一なタイリングが 8 つあります。
元の面を赤、元の頂点を黄色、元のエッジに沿って青で色付けしたタイルを描くと、8 つのフォームがあり、そのうち 7 つは位相的に異なります。(切頂三角形のタイリングは、位相的には六角形のタイリングと同一です。)
対称性の突然変異
このタイリングは、頂点配置(3.2n.2n) と [n,3]コクセター群対称性を持つ均一な切頂多面体のシーケンスの一部として位相的に関連付けられています。
関連する2-均一タイリング
2つの2均一なタイリングは、12角形を中央の六角形と周囲の6つの三角形と正方形に分割することで関連付けられます。 [1] [2]
サークルパッキング
切頂六角形のタイリングは、各点の中心に等しい直径の円を配置する円充填として使用できます。 [3]すべての円は、充填内の他の3つの円と接触しています（キス数）。これは、均一なタイリングから作成できる最も密度の低い充填です。
トリアキス三角タイル
| トリアキス三角タイル | |
|---|---|
 | |
| タイプ | デュアルセミレギュラータイリング |
| 顔 | 三角形 |
| コクセター図 |     |
| 対称グループ | p6m、[6,3]、(*632) |
| 回転グループ | p6, [6,3] + , (632) |
| 二重多面体 | 切り詰められた六角形のタイル |
| 顔の構成 | V3.12.12 |
| プロパティ | 顔推移 |
トリアキス三角形タイルは、ユークリッド平面のタイルです。これは、各三角形が中心点から 3 つの鈍角三角形 (角度 30-30-120) に分割された正三角形タイルです。各二等辺三角形の面には、3 つの三角形を持つ頂点が 1 つと、12 の三角形を持つ頂点が 2 種類あるため、面構成V3.12.12 とラベル付けされています。
コンウェイはこれをキスデルティレと呼び、[4]三角形のタイリング（デルティレ） にkis演算を適用して構築しました。
日本ではこの模様は麻の葉と呼ばれていますが、この名前は三十面体や八面体などの他の三面体の形状にも適用されます。[ 5 ]
これは、各頂点に1つの三角形と2つの十二角形を持つ、切頂六角形のタイル張りの二重モザイクです。[6]
これは8つのエッジテッセレーションのうちの1つであり、プロトタイプの各エッジを横切る反射によって生成されるテッセレーションです。[7]
均一タイリングに関連する双対
これは、通常のデュアルを含む、六角対称の 7 つのデュアル均一タイリングの 1 つです。
参照
ウィキメディア・コモンズには、 Uniform tiling 3-12-12 (truncated hexagonal tiling)に関連するメディアがあります。
参考文献
- ^ Chavey, D. (1989). 「正多角形によるタイリング - II: タイリングのカタログ」.コンピュータと数学の応用. 17 : 147–165. doi :10.1016/0898-1221(89)90156-9.
- ^ 「Uniform Tilings」。2006年9月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年9月9日閲覧。
- ^ 空間の秩序: デザインソースブック、キース・クリッチロー、p.74-75、パターン G
- ^ John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、「The Symmetries of Things 」 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 「AK Peters, LTD. - the Symmetries of Things」。2010年9月19日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年1月20日閲覧。 (第 21 章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、p288 表)
- ^ 猪瀬幹夫. 「mikworks.com : 原作 : 麻の葉」. www.mikworks.com . 2018年4月20日閲覧。
- ^ Weisstein, Eric W.「デュアルテッセレーション」。MathWorld。
- ^ カービー、マシュー、アンブル、ロナルド（2011）、「エッジテッセレーションとスタンプ折りパズル」、数学雑誌、84（4）：283–289、arXiv：0908.3257、doi：10.4169/math.mag.84.4.283、MR 2843659。
- ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
- グリュンバウム、ブランコ& シェパード、GC (1987)。『タイルとパターン』。ニューヨーク: WH フリーマン。ISBN 0-7167-1193-1。（第2.1章：規則的かつ均一なタイリング、p.58-65）
- ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。ドーバー出版、p. 39。ISBN 0-486-23729-X。
- キース・クリッチロー『空間の秩序：デザインソースブック』、1970年、p. 69-61、パターンE、デュアルp. 77-76、パターン1
- デール・シーモアとジル・ブリトン、『テッセレーション入門』、1989年、ISBN 978-0866514613、pp. 50–56、双書p. 117
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「半正規テッセレーション」。MathWorld。
- Klitzing、Richard。「2D ユークリッド タイル o3x6x - toxat - O7」。