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幾何学において、三六角形タイル張りは、ユークリッド平面を正多角形で均等に敷き詰めた11のタイル張りのうちの1つである。[1]これは正三角形と正六角形で構成され、各六角形が三角形に囲まれ、その逆もまた同様である。正六角形タイル張りと正三角形タイル張りを組み合わせたものであることからこの名前が付けられた。2つの六角形と2つの三角形が各頂点の周囲に交互に並び、その辺は無限の線分配列を形成する。双対のものは菱形タイル張りである。[2]
このパターンと、均一なタイルの分類におけるその位置づけは、ヨハネス・ケプラーが1619年に著した『世界の調和』ですでに知られていた。[3]このパターンは日本の籠細工で古くから使われており、籠目と呼ばれている。このパターンの日本語の用語は物理学でも取り上げられ、籠目格子と呼ばれている。また、特定の鉱物の結晶構造にも見られる。コンウェイはこれをヘキサデルティルと呼び、六角形のタイル (ヘクスティル) と三角形のタイル (デルティル) の要素を交互に組み合わせている。[4]
かごめ
籠目（かごめ）は、日本の伝統的な竹編みの模様です。籠目という名前は、「籠」を意味する「かご」と「目」を意味する「目」という言葉から成り、籠の穴の模様に由来しています。
カゴメ模様は東アジアの竹編みによく見られる。2022年、考古学者は中国重慶市の東孫巴遺跡で紀元前200年の竹編みの遺跡を発見した。2200年経った今でもカゴメ模様は鮮明に残っている。[5] [6]
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かごめ模様の詳細
これは、絡み合った三角形で構成された木片を織り合わせたもの であり、2 つの木片が交差する各点には 4 つの隣接点があり、三角六角形のタイル模様を形成します。この織り方により、かごめはキラル壁紙群対称性 ( p6 (632)) を持ちます。
カゴメ格子
カゴメ格子という用語は、日本の物理学者伏見孝二によって造られ、1951年に彼の助手である東海林一郎によって発表された論文で初めて登場した。[7]この意味でのカゴメ格子は、三角格子の頂点と辺から構成される。名前にもかかわらず、これらの交差点は数学的な格子 を形成するわけではない。
正四面体と切頂四面体で空間を埋め尽くす、 1/4立方ハニカムの頂点と辺で形成される関連する3次元構造は、超カゴメ格子と呼ばれています。[8]これは、正四面体と切頂四面体で空間を埋め尽くす、 1/4立方ハニカムの頂点と辺で表されます。これには、点と線の平行な平面が4組含まれており、各平面は2次元カゴメ格子です。3次元での2番目の表現は、2次元格子の平行な層を持ち、直方体カゴメ格子と呼ばれます。[8]三六角柱のハニカムは、その辺と頂点を表します。
ジャロサイトやハーバートスミス石などの鉱物には、結晶構造に原子の2次元層または3次元カゴメ格子配列が含まれています。これらの鉱物は、幾何学的にフラストレーションのある磁性に関連する新しい物理的特性を示します。たとえば、Co 3 V 2 O 8の磁性イオンのスピン配列は、低温で魅力的な磁気挙動を示すカゴメ格子内にあります。[9]カゴメ金属上に実現された量子磁石は、多くの予期しない電子的および磁気的現象を示すことが発見されています。[10] [11] [12] [13]また、不純物を含む2次元カゴメ格子でSYK挙動を観察できると提案されています。 [14]
この用語は、今日では科学文献、特に理論上のカゴメ格子の磁気特性を研究する理論家によって頻繁に使用されています。
参照： かごめ紋章。
対称
三角格子のタイルはシュレーフリ記号r{6,3}、またはコクセター図を持ちます。
は、それが平行 六角形タイリング、{6,3}であるという事実を表しています。その対称性は壁紙群p6mm、(*632)、[15]によって記述でき、タイリングはこの群の反射基本領域内でウィトフ構成として導出できます。三六角形タイリングは、2種類の多角形を交互に配置した準正則タイリングで、頂点構成は(3.6) 2です。これはまた、正六角形タイリングから派生した8つのタイリングの1つで、
均一なタイリングでもあります。
均一なカラーリング
3角形のタイルには2つの異なる均一な色付けがあります。頂点(3.6.3.6)の周りの4つの面のインデックスで色に名前を付けると、1212、1232になります。 [1] 2つ目は、2色の三角形を持つ、カンティック六角形のタイルh 2 {6,3}と呼ばれ、 p3m1 (*333)対称性で存在します。
サークルパッキング
三角六角形のタイリングは、各点の中心に等しい直径の円を配置する円充填として使用できます。 [16]すべての円は、充填内の他の4つの円と接触しています（キス数）。
位相的に同等なタイリング
三角形のタイルは、対称性の低い位相的に同等のタイルに幾何学的に歪めることができます。[1]これらのタイルのバリエーションでは、エッジが必ずしも一直線に並ぶわけではありません。
関連する準正則タイル
三六角形のタイリングは、頂点配置(3. n ) 2を持つ準正則タイリングの対称性のシーケンスに存在し、球面のタイリングからユークリッド平面、双曲面へと進みます。オービフォールド記法の対称性 * n 32 により、これらのタイリングはすべて、対称性の基本領域内でウィトフ構成となり、生成点は領域の直角の角にあります。[17] [18]
関連する正則複素アペイロゴン
正六角形タイルの頂点を共有する正複素アペイロゴンは2つあります。正複素アペイロゴンは頂点と辺を持ち、辺には2つ以上の頂点を含めることができます。正複素アペイロゴンp { q } rは、1/ p + 2/ q + 1/ r = 1という制約を受けます。辺には正多角形のようにp個の頂点が配置され、頂点図形はr角形です。 [19]
最初のものは、各頂点の周りに 2 つの三角形のエッジで構成され、2 番目は、各頂点の周りに 2 つの六角形のエッジで構成されます。
参照
ウィキメディア・コモンズには、カゴメ構造に関連するメディアがあります。
参考文献
- ^ abc グリューンバウム、ブランコ、シェパード、GC（1987）。タイルとパターン。WHフリーマン。ISBN 978-0-7167-1193-3。特に、定理 2.1.3、p. 59 (均一なタイリングの分類)、図 2.1.5、p.63 (このタイリングの図解)、定理 2.9.1、p. 103 (色付きタイリングの分類)、図 2.9.2、p. 105 (色付きタイリングの図解)、図 2.5.3(d)、p. 83 (位相的に等価な星型タイリング)、および演習 4.1.3、p. 171 (三角六角形タイリングと 2 つの三角形タイリングの位相的等価性) を参照してください。
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さらに読む
- シーモア、デール、ブリトン、ジル(1989)。テッセレーション入門。デール・シーモア出版。pp. 50–56。ISBN 978-0-86651-461-3。