ローマの表面

数学において、ローマ曲面またはシュタイナー曲面は、実射影平面を三次元空間に自己交差して写像したもので、非常に高い対称性を持つ。この写像は射影平面の浸漬ではないが、6つの特異点を取り除いた図形は浸漬である。この名前は、ヤコブ・シュタイナーが1844年にローマに滞在していたときに発見したことに由来する。^[1]

最も単純な構成は、地図の下の原点を中心とする球のイメージとして表すものである。これにより、次の暗黙の式が得られる。 ${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy).}$

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

また、球面を経度 ( θ ) と緯度( φ )でパラメータ化すると、ローマ面のパラメータ方程式は次のようになります。

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi }$

原点は三重点であり、xy、yz、xzの各平面はそこで表面に接しています。自己交差するその他の場所は二重点で、各座標軸に沿った線分が定義され、6 つのピンチ ポイントで終了します。表面全体は四面体 対称性を持ちます。これは、シュタイナー表面の特定のタイプ (タイプ 1 と呼ばれる)、つまり、ヴェロネーゼ表面の3 次元線形投影です。

簡単のため、 r = 1の場合のみを考える。点( x , y , z ) で定義される球面が与えられ、

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

これらの点に、次のように定義される変換Tを適用します。 ${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$

しかし、

${\displaystyle {\begin{整列}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2} y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}= (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{ 2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{aligned}}}$

そして望みどおりに。 ${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$

逆に、次の式を満たす ( U , V , W ) が与えられているとする。

（*）${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

（ x , y , z） が存在し、

（**）${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

そのために${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

ただし、例外が 1 つあります。以下のケース 3.b. では、これは証明できないことがわかります。

1. U、V、Wのいずれも0でない場合は、次のように設定できる。

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW} {U}}}.\,}$

((*) は、U、V、W の 3 つすべてが正であるか、または 2 つが負であることを保証することに注意してください。したがって、これらの平方根は正の数です。)

(*) を使用すると、このように定義されたx、y、zに対して (**) が成り立つことが簡単に確認できます。

2. Wが0であると仮定する。(*)から次のことが分かる。${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

したがって、 U、Vの少なくとも 1 つは0 でなければなりません。これは、 U、V、Wのうちの 1 つだけが0 になること は不可能であることを示しています。

3. U、V、Wのうちちょうど2つが0であると仮定する。一般性を失うことなく、

（***）${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

すると、${\displaystyle z=0,\,}$

（はを意味し、したがって矛盾する（***））。 ${\displaystyle z\neq 0,\,}$${\displaystyle x=y=0,\,}$${\displaystyle U=0,\,}$

a.次のサブケースでは

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

xとyを次のように 決定すると

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

そして${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

これにより、(*)が成立することが保証されます。${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

したがって、 xとyの符号を適切に選択することで、${\displaystyle xy=U.\,}$

また、${\displaystyle yz=0=V{\text{ and }}zx=0=W,\,}$

これは、このサブケースが目的の逆につながること を示しています。

b.ケース3の残りのサブケースでは、${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

以来${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

確認するのは簡単です${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

そしてこの場合、${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

を満たす( x , y , z )は存在しない${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

したがって、方程式(*)の解( U ,0,0)は、 ${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

同様に、(0, V , 0) と ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

そして（0, 0, W）と${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(それぞれが座標軸の非コンパクトな部分であり、2 つの部分に分かれている) は、ローマ面上のどの点にも対応しません。

4. ( U、V、W ) が点 (0、0、0) である場合、x、y、zのうちの任意の 2 つがゼロで、 3 つ目の絶対値が 1 であれば、明らかに目的どおりです。 ${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$

これによって、考えられるすべてのケースがカバーされます。

球の半径がr、経度がφ、緯度がθであるとします。そのパラメトリック方程式は次のようになります。

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

そして、この球面上のすべての点に T変換を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

これらはローマン面上の点です。φ の範囲は 0 から 2π まで、θ の範囲は 0 からπ/2までとします。

変換される前の球は、実射影平面RP ²と同相ではありません。しかし、原点を中心とする球には、点(x,y,z)が球に属する場合、対心点(-x,-y,-z)も球に属し、これら 2 つの点は異なる、つまり球の中心の反対側にあるという特性があります。

変換Tは、これら2つの対蹠点を同じ点に変換します。

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

^{これは S 2}のすべての点に当てはまるので、ローマ曲面は「対蹠点を法とする球面」の連続像であることは明らかです。いくつかの異なる対蹠点のペアはすべてローマ曲面の同一の点に取られるため、ローマ曲面はRP ²と同相ではなく、実射影平面の商RP ² = S ² / (x~-x)になります。さらに、 S ²からこの商への写像 T (上図) には、6 組の対蹠点から離れて局所的に単射であるという特別な性質があります。または、結果として得られる写像はRP ^{2から 6 点を除いた RP 2}を3 次元空間に浸漬することになります。

ローマの表面には 4 つの球根状の「葉」があり、それぞれが四面体の異なる角にあります。

ローマン面は、3 つの双曲放物面をつなぎ合わせて、目的の形状に合うように必要に応じてエッジを滑らかにすること で構築できます(例: パラメーター化)。

次の 3 つの双曲放物面があるとします。

• x = yz、
• y = zx、
• .z = xy です。

これら 3 つの双曲放物面は、外部的には四面体の 6 つの辺に沿って交差し、内部的には 3 つの軸に沿って交差します。内部交点は二重点の軌跡です。3 つの二重点の軌跡x = 0、y = 0、z = 0 は、原点の三重点で交差します。

例えば、x = yzおよびy = zxの場合、2番目の放物面はx = y / zと等しくなります。

${\displaystyle yz={y \over z}}$

そしてy = 0またはz ^{2 = 1のいずれかであり、} z = ±1となる。それらの2つの外部交点は

• x = y、z = 1;
• x = − y、z = −1 です。

同様に、他の外部交差点は

• x = z、y = 1;
• x = −z 、 y = −1;
• y = z、x = 1;
• y = −z、x = −1です。

ピースが組み合わさる様子を見てみましょう。放物面y = xzとx = yzを結合します。結果は図 1 に示されています。

放物面y = xzは青とオレンジで示されています。放物面x = yzはシアンと紫で示されています。画像では、放物面はz = 0軸に沿って交差しているのがわかります。放物面を延長すると、線に沿って交差しているのもわかります。

• z = 1、y = x ;
• z = −1、y = −x。

2 つの放物面を組み合わせると、背中合わせに接合された 一対の蘭のように見えます。

次に、3 番目の双曲放物面z = xyを実行します。結果は図 2 に示されています。

図 2 の西南西方向と東北東方向には、一対の開口部があります。これらの開口部はローブであり、閉じる必要があります。開口部を閉じると、図 3 に示すようなローマ面が完成します。

図 3 の西方向と東方向に一対のローブが見られます。別の一対のローブは 3 番目の ( z = xy ) 放物面の下に隠れており、北方向と南方向にあります。

交差する 3 つの双曲放物面を四面体の辺に沿って交差するまで描くと、結果は図 4 のようになります。

図 4 では、葉の 1 つが正面から (正面から) 見られています。葉は、四面体の 4 つの角の 1 つであることがわかります。

図 4 の連続面の鋭いエッジを丸く（滑らかに）すると、図 5 のローマ面になります。

図 5 では、ローマの表面の突出部の 1 つが正面から見られ、その球根状の、風船のような形状がはっきりとわかります。

図 5 の面を 180 度回転させてから上下逆さまにすると、図 6 のようになります。

図 6 は、横から見た 3 つのローブを示しています。ローブの各ペアの間には、座標軸に対応する 2 点の軌跡があります。3 つの軌跡は、原点の 3 点で交差します。4 番目のローブは隠れており、見る人の真反対の方向を指しています。この記事の冒頭に示されているローマの表面にも、横から見た 3 つのローブがあります。

ローマ面は非方向性、つまり片面です。これはあまり明らかではありません。これを確認するには、図 3 をもう一度見てください。

「3 番目の」双曲放物面( z = xy)の上にアリがいると想像してください。このアリを北に移動させます。移動すると、壁を通り抜ける幽霊のように、他の 2 つの放物面を通過します。これらの他の放物面は、浸水の自己交差の性質により、障害物にしか見えません。アリがすべての 2 点および 3 点を無視して、それらを通り抜けるとします。すると、アリは北に移動し、いわば世界の端から落ちます。これで、図 3 の 3 番目の放物面の下に隠れた北の葉にいます。アリは、ローマ面の「外側」で逆さまに立っています。

アリを南西方向に動かしてみましょう。アリは斜面を（逆さまに）登り、西葉の「内側」にたどり着きます。次に、アリを西葉の内側に沿ってz = 0軸に向かって南東方向に動かします。常にxy平面の上です。z = 0軸を通過するとすぐに、アリは東葉の「外側」にいて、正しい向きで立っています。

次に、アリを北へ移動させ、「丘」を越え、次に北西へ向かわせ、x = 0軸に向かって滑り降りるようにします。アリがこの軸を越えるとすぐに、アリは北側の葉の「内側」にいて、正面を上にして立っていることに気づきます。次に、アリを北へ向かって歩かせます。アリは壁を登り、次に北側の葉の「屋根」に沿って歩きます。アリは 3 番目の双曲放物面に戻りますが、今回はその下にあり、逆さまに立っています。(クラインの壷と比較してください。)

ローマ面には 4 つの「ローブ」があります。各ローブの境界は、3 本の二重点の線のセットです。各ローブのペアの間には、二重点の線があります。この面には、合計 3 本の二重点の線があり、それらは (前述のパラメータ化で) 座標軸上にあります。3 本の二重点の線は、原点にある三重点で交差します。三重点は二重点の線を 1 組の半直線に分割し、各半直線は 1 組のローブの間にあります。前述の説明から、座標平面によって分割された空間の各八分円に 1 つずつ、最大 8 つのローブが存在すると予想できます。ただし、ローブは交互に八分円を占めます。つまり、4 つの八分円は空で、4 つの八分円はローブで占められています。

もしローマ曲面が最小の体積で四面体の内部に内接するとしたら、四面体の各辺はローマ曲面に一点で接し、これら 6 つの点はそれぞれホイットニー特異点であることがわかります。これらの特異点、つまり挟み込み点はすべて 3 本の二重点の端にあり、特異点ではどの面にも 接する平面が存在しないという特性によって定義されます。

• ボーイズ サーフェス-クロスキャップのない射影平面の浸漬。
• 四面体六面体-ローマの表面に非常によく似た多面体。

• A. コフマン、A. シュワルツ、C. スタントン:シュタイナー面とその他の二次パラメータ化可能な面の代数と幾何学。Computer Aided Geometric Design (3) 13 (1996 年 4 月)、p. 257-286
• Bert Jüttler, Ragni Piene:幾何学的モデリングと代数幾何学。Springer 2008、ISBN 978-3-540-72184-0、p. 30（限定オンラインコピー、p. 30、Google Books） 

• A. コフマン、「シュタイナー表面」
• Weisstein、Eric W.「ローマン面」。MathWorld。
• 国立カーブバンクのローマ表面（カリフォルニア州立大学のウェブサイト）
• Ashay Dharwadker、「七面体とローマン面」、Electronic Geometry Models、2004 年。