無限次元空間における不動点定理

数学では、無限次元空間における数多くの不動点定理がブラウワーの不動点定理を一般化している。これらは、例えば偏微分方程式の存在証明定理などに応用されている。

この分野における最初の結果は、1930年にユリウス・シャウダーによって証明されたシャウダーの不動点定理であった（異なる流れでの以前の結果、完全計量空間における縮約写像に対するバナッハの不動点定理は1922年に証明されている）。その後、かなりの数のさらなる結果が続いた。この種の不動点定理が数学全体に大きな影響を与えた方法の1つは、有限単体複体に対して最初に証明された代数的位相幾何学の手法を無限次元の空間に持ち込もうとするアプローチである。たとえば、層理論を確立したジャン・ルレーの研究は、シャウダーの研究を拡張する努力から生まれた。

シャウダーの不動点定理: C をバナッハ空間Vの空でない 閉凸 部分集合とする。 f  : C → Cがコンパクト像と連続する場合、 fには不動点がある。

ティホノフ（ティコノフ）不動点定理：V を局所凸位相ベクトル空間とする。 V内の任意の空でないコンパクト凸集合Xに対して、任意の連続関数f  : X → Xには不動点がある。

ブラウダーの不動点定理: K を一様凸バナッハ空間内の空でない閉有界凸集合とします。このとき、任意の非拡大関数f  : K → Kには不動点が存在します。(関数は、各 およびに対して である場合、非拡大関数と呼ばれます。)${\displaystyle f}$${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|\leq \|xy\|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

その他の結果には、コンパクト凸集合の連続アフィン自己写像に対するマルコフ・角谷不動点定理(1936-1938) とリル・ナルゼフスキー不動点定理(1967)、および開領域の正則自己写像に対するアール・ハミルトン不動点定理(1968) が含まれます。

角谷不動点定理:局所凸空間のコンパクトな凸部分集合を、閉グラフと凸非空像でそれ自身に写像するすべての対応には、不動点がある。

• 位相次数理論

• Vasile I. Istratescu,不動点理論入門、 D.Reidel、オランダ (1981)。ISBN 90-277-1224-7 。
• Andrzej Granas とJames Dugundji、「Fixed Point Theory」 (2003) Springer-Verlag、ニューヨーク、ISBN 0-387-00173-5。 
• William A. Kirk とBrailey Sims 著、「Handbook of Metric Fixed Point Theory」（2001 年）、Kluwer Academic、ロンドンISBN 0-7923-7073-2。 

• ティコノフ不動点定理に関する PlanetMath の記事 2010-06-20 にWayback Machineにアーカイブされました