ボルスク・ウラム定理

数学において、ボルスク・ウラム定理は、n球面からユークリッドn空間へのすべての連続関数は、いくつかの反対心点のペアを同じ点に写すということを述べています。ここで、球面上の 2 つの点は、球の中心からちょうど反対方向にある場合、反対心点と呼ばれます。

正式には、が連続である場合、 が存在する。 ${\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R}^{n}}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

このケースは、地球の赤道上に常に同じ温度の反対側の点のペアが存在すると言うことで説明できます。同じことはどの円にも当てはまります。これは、温度が空間内で連続的に変化すると仮定していますが、常にそうであるとは限りません。^[1]${\displaystyle n=1}$

このケースは、両方のパラメータが空間内で連続的に変化すると仮定すると、どの瞬間にも、地球の表面に等しい温度と等しい気圧を持つ一対の対蹠点が常に存在すると言うことでよく説明されます。 ${\displaystyle n=2}$

ボルスク・ウラム定理には、奇関数に関して同値なステートメントがいくつかあります。はn球面であり、 はn球面であることを思い出してください。 ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle B^{n}}$

• が連続奇関数である場合、次のような が存在します。${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R}^{n}}$${\displaystyle x\in S^{n}}$${\displaystyle g(x)=0}$
• が( の境界)上で奇数である連続関数である場合、 が存在し、次のようなものに なります。${\displaystyle g:B^{n}\to \mathbb {R}^{n}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle B^{n}}$${\displaystyle x\in B^{n}}$${\displaystyle g(x)=0}$

Matoušek (2003, p. 25) によると、Borsuk-Ulam 定理に関する最初の歴史的言及は Lyusternik & Shnirel'man (1930) に見られます。最初の証明はKarol Borsuk (1933) によって与えられ、そこではStanisław Ulam が問題の定式化を行ったとされています。それ以来、Steinlein (1985) がまとめたように、さまざまな著者によって多くの代替証明が発見されています。

以下のステートメントはボルスク・ウラム定理と同等である。^[2]

任意の に対して となる関数が奇関数（別名、対蹠関数または対蹠関数保存関数）と 呼ばれる場合。${\displaystyle g}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(-x)=-g(x)}$

ボルスク・ウラム定理は、次の命題と同等です。n球面からユークリッドn空間への連続奇関数には零点があります。証明:

• 定理が正しければ、それは奇関数に対して特に正しく、奇関数に対しては のときに限り正しい。したがって、すべての奇連続関数には零点がある。${\displaystyle g(-x)=g(x)}$${\displaystyle g(x)=0}$
• すべての連続関数 に対して、次の関数は連続かつ奇数です: 。すべての奇連続関数が零点を持つ場合、 は零点を持つため、 となります。したがって、この定理は正しいです。${\displaystyle f}$${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)=f(-x)}$

関数としてリトラクションを定義するBorsuk-Ulam 定理は、連続する奇数のリトラクションは存在しないという主張と同等です。 ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}.}$

証明: 定理が正しければ、 からのすべての連続奇関数は、その値域に 0 を含まなければなりません。しかし、 なので、 の値域を持つ連続奇関数は存在しません。 ${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle 0\notin S^{n-1}}$${\displaystyle S^{n-1}}$

逆に、それが間違っている場合は、ゼロのない連続した奇関数が存在します。その場合、次のようにして別の奇関数を構築できます。 ${\displaystyle g:S^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}}$${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$

${\displaystyle h(x)={\frac {g(x)}{|g(x)|}}}$

にはゼロがないので、は明確に定義され、連続しています。したがって、連続した奇数の引き戻しが得られます。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

1 次元の場合は、中間値定理(IVT) を使用して簡単に証明できます。

を によって定義される円上の奇数の実数値連続関数とします。任意の を選びます。 であればこれで終わりです。 そうでなければ、一般性を失うことなく、しかし、したがって、IVT により、 となる点がとの間に存在します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle g(x)>0.}$${\displaystyle g(-x)<0.}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle -x}$${\displaystyle g(y)=0}$

が奇連続関数であると仮定する（この場合は上で扱われており、基本的な被覆理論を用いて扱うことができる）。対蹠作用の下での軌道を通過することにより、実射影空間間の誘導連続関数が得られ、これにより基本群上の同型が誘導される。ヒューレヴィッツの定理により、係数を持つコホモロジー上の誘導環準同型[ここで は2つの元 を持つ体を表す] は、 ${\displaystyle h:S^{n}\to S^{n-1}}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle h':\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[a]/a^{n+1}=H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\leftarrow H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n-1};\mathbb {F} _{2}\right)=\mathbb {F} _{2}[b]/b^{n},}$

は に送信されます。しかし、 はに送信されるという矛盾が生じます。^[3]${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b^{n}=0}$${\displaystyle a^{n}\neq 0}$

また、任意の奇数写像は奇数次を持つというより強い主張を示し、この結果から定理を導き出すこともできます。 ${\displaystyle S^{n-1}\to S^{n-1}}$

ボルスク・ウラム定理はタッカーの補題から証明できる。^{[2] [4] [5]}

を連続奇関数とします。gはコンパクト領域上で連続なので、一様連続です。したがって、任意の に対して、 が存在し、 の任意の 2 点が互いの内にある場合、 gによるそれらの像は互いの 内にあります。${\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R}^{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \epsilon }$

最大で長さが の辺を持つ三角形分割を定義します。三角形分割の各頂点に次の方法で ラベルを付けます。${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle v}$${\displaystyle l(v)\in {\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm n}}$

• ラベルの絶対値は、g :の絶対値が最大となる座標のインデックスです。${\displaystyle |l(v)|=\arg \max _{k}(|g(v)_{k}|)}$
• ラベルの符号はgの符号と同じなので、次のようになります。${\displaystyle l(v)=\operatorname {sgn}(g(v))|l(v)|}$

gは奇数なので、ラベル付けも奇数です: 。したがって、タッカーの補題により、反対のラベルを持つ 2 つの隣接頂点があります。wlog でラベルが であると仮定します。lの定義により、これは、および の両方において、座標 #1 が最大の座標であることを意味します: ではこの座標は正ですが、 では負です。三角形分割の構築により、と の間の距離は最大で であるため、特に(と は符号が逆であるため) であり、したがって です。ただし、 の最大座標は座標 #1 であるため、これは 各 に対して であることを意味します。したがって、 であり、 はおよび選択した ノルムに依存する定数です。${\displaystyle l(-v)=-l(v)}$${\displaystyle u,v}$${\displaystyle l(u)=1,l(v)=-1}$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle g(v)}$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle g(v)}$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle g(v)}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle |g(u)_{1}-g(v)_{1}|=|g(u)_{1}|+|g(v)_{1}|\leq \epsilon }$${\displaystyle g(u)_{1}}$${\displaystyle g(v)_{1}}$${\displaystyle |g(u)_{1}|\leq \epsilon }$${\displaystyle g(u)}$${\displaystyle |g(u)_{k}|\leq \epsilon }$${\displaystyle 1\leq k\leq n}$${\displaystyle |g(u)|\leq c_{n}\epsilon }$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle |\cdot |}$

上記は任意の に対して当てはまります。 はコンパクトなので、 となる点uが必ず存在します。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle |g(u)|=0}$

• のどの部分集合も同相ではない${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S^{n}}$
• ハムサンドイッチ定理: 任意のコンパクト集合A ₁、...、A _nについて、それぞれを等しい測度の 2 つの部分集合に分割する超平面を常に見つけることができます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

上で、タッカーの補題からボルスク・ウラム定理を証明する方法を示しました。逆もまた真です。タッカーの補題をボルスク・ウラム定理から証明することも可能です。したがって、これら 2 つの定理は同等です。不動点定理には、代数的位相変種、組み合わせ変種、集合被覆変種の 3 つの同等な変種があります。各変種は、まったく異なる議論を使用して個別に証明できますが、各変種を同じ行の他の変種に還元することもできます。さらに、最上行の各結果は、同じ列のその下の行の結果から演繹できます。^[6]

• 元の定理では、関数fの定義域は単位n球面（単位n球の境界）である。一般に、fの定義域が原点を含むの任意の開いた有界対称部分集合の境界である場合にも、この定理は成り立つ（ここで、対称とは、x が部分集合内にある場合、- xも部分集合内にあることを意味する）。^[7]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• より一般的には、がコンパクトなn次元リーマン多様体であり、が連続である場合、任意の指定されたに対して、xとyのペアが存在し、xとyは長さの測地線で結ばれる。^{[8] [9]}${\displaystyle M}$${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta >0}$
• 点をその反対の点に写す関数Aを考えてみましょう。元の定理は、点xが存在すると主張しています。一般に、これは任意の関数Aに対しても当てはまります。 ^{[10]しかし、一般にこれは他の関数}Aに対しては当てはまりません。^[11]${\displaystyle A(x)=-x.}$${\displaystyle A(A(x))=x.}$${\displaystyle f(A(x))=f(x).}$${\displaystyle A(A(x))=x.}$

• 位相的組合せ論
• ネックレスの分裂問題
• ハムサンドイッチ定理
• 角谷の定理（幾何学）
• イムレ・バラニ

• ボルスク、カロル(1933)。 「Drei Sätze über die n-Dimensione euklidische Sphäre」(PDF)。Fundamenta Mathematicae (ドイツ語)。20：177-190。土井：10.4064/fm-20-1-177-190。2022 年 10 月 9 日にオリジナルからアーカイブ(PDF)されました。
• Lyusternik, ラザール;シュニレルマン、レフ（1930年）。 「変分問題におけるトポロジカル手法」。Isledowatelskii Institut Matematiki I Mechaniki Pri OMG U。モスクワ。
• マトウシェク、イジー(2003)。ボルスク・ウラムの定理を使用します。ベルリン: Springer Verlag。土井：10.1007/978-3-540-76649-0。ISBN 978-3-540-00362-5。
• スタインライン、H. (1985)。 「ボルスクの対蹠定理とその一般化と応用: 調査。非リネールを分析するトポロジーの方法」。セム。数学。素晴らしい。モントリオール、セム。科学。 OTAN (NATO 先進研究研究所)。95：166-235。
• Su, Francis Edward (1997 年 11 月). 「Borsuk-Ulam Implies Brouwer: 直接構築」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 104 (9): 855–859. CiteSeerX  10.1.1.142.4935 . doi :10.2307/2975293. JSTOR 2975293. 2008 年 10 月 13 日の オリジナル(PDF)からアーカイブ。2006年 4 月 21 日取得。

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• ボルスク・ウラム・エクスプローラー。ボルスク・ウラム定理のインタラクティブなイラスト。