角谷不動点定理

数学解析学において、角谷の不動点定理は集合値関数の不動点定理である。これは、ユークリッド空間の凸コンパクト部分集合上で定義された集合値関数が不動点、つまりそれを含む集合に写像される点を持つための十分条件を規定する。角谷の不動点定理は、ブラウワーの不動点定理の一般化である。ブラウワーの不動点定理は、ユークリッド空間の凸コンパクト部分集合上で定義された連続関数の不動点の存在を証明する位相幾何学における基本的な結果である。角谷の定理は、これを集合値関数に拡張する。

この定理は1941年に角谷静夫によって考案され^{[1] 、}ジョン・ナッシュがナッシュ均衡の記述に使用しました^[2]。その後、ゲーム理論や経済学で広く応用されています^[3]。

カクタニの定理は次のように述べています: ^[4]

S を 、あるユークリッド空間R ^nの空でないコンパクトな凸部分集合と します。

φ :  S  →2S^を S上の集合値関数とし、 以下の性質を持つものとする。

• φ は閉じたグラフを持つ。
• φ ( x )はすべてのx  ∈  Sに対して空でなく凸である 。

すると φ は 不動点を持つ。

集合値関数

集合Xから集合Yへの集合値関数 φ は、 Yの 1つ以上の点をXの各点に関連付ける規則です。正式には、 XからYのべき集合への通常の関数、 φ :  X  → 2 ^Yと表され、任意の に対してφ ( x ) が空でないものと見なすことができます。対応という用語を好む人もいます。これは、各入力に対して多くの出力を返す関数を指すために使用されます。したがって、定義域の各要素は、範囲の 1 つ以上の要素のサブセットに対応します。${\displaystyle x\in X}$

閉じたグラフ

集合値関数 φ:  X  → 2 ^Yは、集合 {( x , y ) |  y  ∈  φ ( x )} が積位相におけるX  ×  Yの閉部分集合である場合、つまり となるすべてのシーケンスとに対して、かつとなる場合、閉グラフを持つと言われています。${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle y_{n}\to y}$${\displaystyle y_{n}\in \phi (x_{n})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y\in \phi (x)}$

固定小数点

φ:  X  → 2 ^Xを集合値関数とする。このとき、a  ∈  φ ( a )ならばa  ∈  Xはφの不動点である。

右の図に示す関数は、角谷の条件をすべて満たしており、実際に多くの不動点を持っています。関数のグラフ (灰色で塗りつぶされている) と交差する 45° の直線 (赤い点線) 上の任意の点は不動点であるため、この特定のケースでは実際には不動点が無限にあります。たとえば、x  = 0.72 (青い破線) は、0.72 ∈ [1 − 0.72/2, 1 − 0.72/4] であるため不動点です。${\displaystyle \varphi (x)=[1-x/2,~1-x/4]}$

機能:

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\{}[0,1]&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\end{cases}}}$

は角谷の条件をすべて満たし、確かに不動点を持っています。xは区間[0,1]に含まれる ので、 x = 0.5は不動点です。

φ ( x )がすべてのxに対して凸であるという要件は、定理が成立するために不可欠です。

[0,1]上で定義された次の関数を考えます。

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\\{3/4,1/4\}&x=0.5\\1/4&0.5<x\leq 1\end{cases}}}$

この関数には不動点がありません。角谷の定理の他のすべての要件を満たしていますが、x = 0.5 では値が凸になりません。

[0,1]上で定義された次の関数を考えます。

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}3/4&0\leq x<0.5\\1/4&0.5\leq x\leq 1\end{cases}}}$

この関数には不動点がありません。角谷の定理の他のすべての要件を満たしていますが、グラフは閉じていません。たとえば、シーケンスx _n = 0.5 - 1/ n、 y _n = 3/4 を考えます。

角谷の原著論文を含むいくつかの文献では、定理を述べる際に 上半連続性の概念が使用されています。

S を あるユークリッド空間R ⁿの空でないコンパクトな凸部分集合と する。φ :  S →2 ^Sを、すべてのx  ∈  Sに対してφ ( x )が空でない、閉じた凸であるという性質を持つS上の上半連続集合値関数とする。このときφには不動点がある。

角谷の定理のこの記述は、この記事の冒頭で述べた記述と完全に同等です。

これは集合値関数の閉グラフ定理^[5]を使って示すことができます。これは、コンパクトなハウスドルフ値域空間Yに対して、集合値関数φ :  X →2 ^Yが閉グラフを持つための必要十分条件であり、かつφ ( x ) がすべてのxに対して閉集合である場合に限ります。すべてのユークリッド空間はハウスドルフ（距離空間）であり、φは角谷定理の別のステートメントで閉値であることが要求されるため、閉グラフ定理は 2 つのステートメントが同値であることを意味します。

角谷不動点定理は、ゼロ和ゲーム理論におけるミニマックス定理を証明するために使用できます。この応用は、角谷の元の論文で具体的に議論されました。^[1]

数学者ジョン・ナッシュは角谷不動点定理を用いてゲーム理論における重要な結果を証明した。^[2]簡単に言えば、この定理は、任意の有限数のプレイヤーによる混合戦略を伴う有限ゲームにおいてナッシュ均衡が存在することを意味する。この研究により、彼は後にノーベル経済学賞を受賞した。この場合、

• 基本集合Sは、ゲームで各プレイヤーが選択した混合戦略の組の集合です。各プレイヤーにk個の可能なアクションがある場合、各プレイヤーの戦略は合計が 1 になる確率のk組であるため、各プレイヤーの戦略空間はR ^kの標準単体です。 したがって、S はこれらすべての単体の直積です。これは、 R ^knの空でないコンパクトな凸部分集合です。
• 関数 φ( x ) は、各タプルに、各プレイヤーの戦略がx内の他のプレイヤーの戦略に対する最善の応答となる新しいタプルを関連付けます。同様に良い応答が複数存在する可能性があるため、 φ は単一値ではなく集合値です。各xに対して、少なくとも 1 つの最善の応答が常に存在するため、 φ( x ) は空ではありません。プレイヤーにとって 2 つの最善の応答を混合しても、プレイヤーにとって最善の応答であるため、これは凸です。 φ が閉じたグラフを持つことが証明できます。
• そして、ゲームのナッシュ均衡は、φ の固定点、つまり各プレイヤーの戦略が他のプレイヤーの戦略に対する最善の応答となる戦略の組として定義されます。角谷の定理により、この固定点が存在することが保証されます。

経済学の一般均衡理論では、角谷の定理は経済のあらゆる市場において需要と供給が同時に一致する価格の集合が存在することを証明するために使われてきた。^[6]このような価格の存在は、少なくともワルラスにまで遡る経済学の未解決問題であった。この結果の最初の証明はライオネル・マッケンジーによって構築された。^[7]

この場合：

• 基本セットS は、商品価格の組の集合です。
• 関数 φ( x ) は、価格タプルx がどこでも需要と供給を等しくしない限り、その結果が引数と異なるように選択されます。ここでの課題は、この特性を持ちながら同時に角谷の定理の条件を満たすように φ を構築することです。これが可能であれば、定理によれば φ は固定点を持ちます。構築方法を考えると、この固定点はどこでも需要と供給を等しくする価格タプルに対応している必要があります。

角谷の不動点定理は、嫉妬がなくパレート効率的なケーキの割り当ての存在を証明するために使用されます。この結果はウェラーの定理として知られています。

ブラウワーの不動点定理は角谷不動点定理の特殊なケースである。逆に、角谷不動点定理は近似選択定理によって直接一般化される：^[8]

角谷の定理の証明は、実数直線の閉区間上で定義された集合値関数の場合に最も簡単です。さらに、この場合の証明は、その一般的な戦略が高次元の場合にも適用できるため、有益です。

φ: [0,1]→2 ^{[0,1]を閉区間[0,1]上の}集合値関数とし、これは角谷の不動点定理の条件を満たすものとする。

• 隣接する点が反対方向に移動する [0,1] の細分化のシーケンスを作成します。

i = 0, 1, …の( a _i , b _i , p _i , q _i ) を次の特性を 持つシーケンスとします。

したがって、閉区間[ ai、bi _{]は[0、1]の部分区間の列を形成する。条件(2)はこれらの部分区間が小さくなり続けることを}示し、条件(3)～(6)は関数φが各部分区間の左端を右にシフトし、各部分区間の右端を左にシフトすることを示す。

このようなシーケンスは次のように構築できます。a 0 = 0、b 0 = 1とします。p 0を_φ ( ₀ ) 内の任意の点、q _{0 をφ (1) 内}の任意の点とします。すると、条件 (1) ～ (4) は直ちに満たされます。さらに、p 0 ∈ φ(0) ⊂ [0,1] であるため、_p 0 _≥ 0でなければならず、したがって条件 (5) が満たされます。同様に、条件 (6) はq ₀によって満たされます。

ここで、(1)～(6)を満たす a _k、b _k、p _k、q _kを選んだとします。

m = ( a _k + b _k )/2 です。

このとき、 [0,1]は凸なので、 m∈ [0,1]となります。

r ∈ φ( m )が存在し、 r ≥ mである場合、

ａk ₊ 1 ₌ｍ

bk ₊₁ = bk_​​

pk ₊₁ = rで_ある。

qk ₊₁ = qk_​​

そうでなければ、 φ( m ) は空ではないので、s ≤ mとなるs ∈ φ( m ) が存在するはずである。この場合、

ak ₊₁ = ak_​​

bk ₊₁ = m_​

pk ₊₁ = pk_​​

qk ₊₁ = s_です。

a _{k +1}、b _{k +1}、p _{k +1}、q _{k +1}が条件(1)～(6)を満たす ことが検証できる。

• 細分化の限界点を見つけます。

一対の区間列があり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を用いて、これらが極限点に収束することを証明したいと思います。そのためには、これら 2 つの区間列を単一の点列 ( a _n、p _n、b _n、q _n ) として解釈します。これは、直積 [0,1]×[0,1]×[0,1]×[0,1] 内にあり、これはチコノフの定理によりコンパクト セットになります。列 ( a _n、p _n、b _n、q _n ) はコンパクト セット内にあるため、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスにより、収束する部分列を持つ必要があります。そのような部分列に注目し、その極限を ( a *、p *、b *、q *) とします。 φのグラフは閉じているので、 p * ∈ φ( a *)かつq * ∈ φ( b *)である必要がある。さらに、条件(5)により、 p * ≥ a *であり、条件(6)により、q * ≤ b *である。

しかし条件(2)より ( b _i − a _i ) ≤ 2 ^{− iなので、}

b * − a * = (lim b _n ) − (lim a _n ) = lim ( b _n − a _n ) = 0 です。

したがって、b * はa * に等しいです。x = b * = a * とします。

すると、

φ( x )∋q * ≤x≤p * ∈φ ( x )である。

• 極限点が固定点であることを示します。

p * = q * ならばp * = x = q *です。p * ∈ φ( x ) なので、x はφの不動点です。

そうでなければ、次のように書くことができます。2点aとbを結ぶ線は(1-t)a + tbでパラメータ化できることを思い出してください。q<x<pという上記の知見を用いて、pとqの間にそのような線をxの関数として描くことができます（以下の分数は単位区間上にあることに注意してください）。xを便利に書くと、φ( x )は凸であり、

${\displaystyle x=\left({\frac {x-q^{*}}{p^{*}-q^{*}}}\right)p^{*}+\left(1-{\frac {x-q^{*}}{p^{*}-q^{*}}}\right)q^{*}}$

再び、p * とq *がφ( x )に属しているため、 x はφ の不動点であることがわかります。

1 より大きい次元では、n単体は角谷の定理を証明できる最も単純なオブジェクトです。非公式には、n単体は三角形の高次元版です。単体上で定義された集合値関数の角谷の定理を証明することは、区間の角谷の定理を証明することと本質的に変わりません。高次元の場合の追加の複雑さは、ドメインをより細かいサブピースに分割する最初のステップにあります。

• 1 次元の場合に区間を中央で 2 つに分割するのに対し、重心分割は単体をより小さな部分単体に分割するために使用されます。
• 1 次元の場合には、基本的な議論を使用して、端点が反対方向に移動するように半区間の 1 つを選択できますが、単体の場合には、スペルナーの補題として知られる組み合わせ論的結果を使用して、適切な部分単体の存在が保証されます。

最初のステップにこれらの変更を加えると、極限点を見つけてそれが固定点であることを証明する 2 番目と 3 番目のステップは、1 次元の場合とほとんど変わりません。

n 単体に対する角谷の定理は、任意のコンパクトな凸Sに対する定理を証明するために使用できます。ここでも、徐々に細分化していく同じ手法を使用します。ただし、n 単体の場合のように直線の辺を持つ三角形ではなく、曲線の辺を持つ三角形を使用します。形式的には、S を覆う単体を見つけ、次に変形リトラクトを使用して問題をSから単体に移動します。次に、n 単体に対して既に確立されている結果を適用できます。

角谷の不動点定理は、アーヴィング・グリックスバーグ^[9] とカイ・ファン^{[10]によって無限次元}局所凸位相ベクトル空間に拡張された。 この場合の定理を述べるには、さらにいくつかの定義が必要である。

上半連続性

集合値関数 φ:  X →2 ^Yが上半連続であるとは、任意の開集合 W  ⊂  Yに対して、集合 { x | φ( x ) ⊂  W } がXにおいて開集合であることを意味する。^[11]

角谷地図

XとYを位相ベクトル空間とし、φ:  X →2 ^Yを集合値関数とする。Yが凸ならば、 φは上半連続でφ( x )がすべてのx∈Xに対して空でなくコンパクトで凸であるとき、 角谷 写像と呼ばれる。^[11]

すると、角谷・グリックスバーグ・ファン定理は次のように述べられる: ^[11]

S をハウスドルフ局所凸位相ベクトル空間の空でないコンパクトな凸 部分集合とする。φ: S→2 ^Sを角谷写像とする。このとき、φ には不動点がある。

一価関数の場合の対応する結果は、チコノフの不動点定理です。

定理の記述がユークリッドの場合と同じになるという別のバージョンもある: ^[5]

S を局所凸ハウスドルフ空間の 空でないコンパクトな凸 部分集合とする。φ: S→2 ^{Sを S 上の}集合値関数とし、この関数は閉グラフを持ち、すべての x ∈ S に対して φ(x) が空でない凸であるという性質を持つものとする。このとき、φ の不動点の集合は空でないコンパクトである。

ケン・ビンモアはゲーム理論の教科書^[12] の中で、ある会議でなぜこれほど多くの経済学者が彼の講演に出席したのかと角谷がビンモアに尋ねたことを思い出している。ビンモアがそれはおそらく角谷不動点定理のせいだろうと答えると、角谷は困惑して「角谷不動点定理とは何ですか?」と答えた。

• ボーダー、キム・C. (1989)。不動点定理と経済学およびゲーム理論への応用。ケンブリッジ大学出版局。 (経済学者のための不動点理論の標準的な参考書。角谷の定理の証明が含まれています。)
• Dugundji, James ; Andrzej Granas (2003).固定点理論. Springer. (角谷定理の無限次元類似物を含む、不動点理論の包括的で高水準な数学的処理。)
• アロー、ケネス J.、FH ハーン (1971)。一般競争分析。ホールデンデイ。ISBN 978-0-8162-0275-1。 (一般均衡理論の標準的な参考書。第 5 章では、角谷の定理を使用して均衡価格の存在を証明します。付録 C には、角谷の定理の証明が含まれており、経済学で使用される他の数学的結果との関係について説明しています。)

• 「角谷定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]