中心極限定理

させて${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$は、期待値が与えられる分布を持つ独立同分布の確率変数の列である。${\displaystyle \mu }$そして有限の分散は次のように与えられる。$\displaystyle \sigma ^{2}.}$サンプル平均に興味があると仮定します

$${\displaystyle {\bar {X}}_{n}\equiv {\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}.}$$

大数の法則により、標本平均はほぼ確実に（したがって確率的にも）期待値に収束する。${\displaystyle \mu }$として${\displaystyle n\to \infty .}$

古典的な中心極限定理は、決定論的な数値の周りの確率的変動の大きさと分布形式を記述する。${\displaystyle \mu }$この収束の間。より正確には、次のように述べられています。${\displaystyle n}$正規化された平均の分布が大きくなるにつれて${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$つまり、サンプル平均の差${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$そしてその限界${\displaystyle \mu ,}$係数でスケーリング${\displaystyle {\sqrt {n}}}$平均が正規分布に近づく${\displaystyle 0}$および分散$\displaystyle \sigma ^{2}.}$十分に大きい場合${\displaystyle n,}$の分布${\displaystyle {\bar {X}}_{n}}$平均値が正規分布に任意に近づく${\displaystyle \mu }$および分散$\displaystyle \sigma ^{2}/n.}$

この定理の有用性は、${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$個々の分布の形状に関係なく、正規分布に近づく${\displaystyle X_{i}.}$正式には、この定理は次のように述べることができる。

の場合${\displaystyle \sigma >0,}$分布の収束とは、累積分布関数が${\displaystyle {\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}$点ごとに cdf に収束する$\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$分布: すべての実数に対して${\displaystyle z,}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left[{\frac {{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )}{\sigma }}\leq {\frac {z}{\sigma }}\right]=\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right),}$$

どこ${\displaystyle \Phi (z)}$標準正規分布の累積分布関数は、${\displaystyle z.}$収束は一様である${\displaystyle z}$そういう意味で

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\;\sup _{z\in \mathbb {R} }\;\left|\mathbb {P} \left[{\sqrt {n}}({\bar {X}}_{n}-\mu )\leq z\right]-\Phi \left({\frac {z}{\sigma }}\right)\right|=0~,}$$

どこ${\displaystyle \sup }$は、集合の上限（つまり最小上限）を表します。 ^{[ 5 ]}

この中心極限定理の変形では、確率変数${\textstyle X_{i}}$確率変数は独立である必要があるが、必ずしも同一分布である必要はない。この定理はまた、確率変数が${\textstyle \left|X_{i}\right|}$ある程度の秩序のある瞬間がある${\textstyle (2+\delta )}$また、これらのモーメントの成長率は、以下に示すリアプノフ条件によって制限される。

実際には、リャプノフ条件をチェックするのが最も簡単な場合が多い。${\textstyle \delta =1}$。

確率変数の列がリアプノフ条件を満たすならば、リンデベルグ条件も満たす。しかし、その逆は成り立たない。

上記と同じ設定および表記法で、リアプノフ条件を以下のより弱い条件（ 1920年のリンデベルクによるもの）に置き換えることができる。

すべての${\textstyle \varepsilon >0}$、

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{s_{n}^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[(X_{i}-\mu _{i})^{2}\cdot \mathbf {1} _{\left\{\left|X_{i}-\mu _{i}\right|>\varepsilon s_{n}\right\}}\right]=0}$$

どこ$\mathbf{1}_{\{\ldots \}}}$は指示関数です。すると、標準化された合計の分布は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {1}{s_{n}}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu _{i}\right)}$$

標準正規分布に収束する${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$。

整数を合計するのではなく${\displaystyle n}$ランダム変数の${\displaystyle n\to \infty }$合計はランダムな数値になる可能性がある${\displaystyle N}$確率変数の条件付き${\displaystyle N}$例えば、次の定理はロビンス（1948）の系4である。これは、${\displaystyle N}$漸近的に正規分布に従う（ロビンスは同じ結果につながる他の条件も開発した）。

特性関数を用いた証明は、各個人が${\textstyle \mathbf {X} _{i}}$はランダムベクトルです${\textstyle \mathbb {R} ^{k}}$平均ベクトル${\textstyle {\boldsymbol {\mu }}=\operatorname {E} [\mathbf {X} _{i}]}$共分散行列${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$（ベクトルの成分の中で）これらのランダムベクトルは独立で同一の分布に従います。多次元中心極限定理によれば、スケーリングすると、和は多変量正規分布に収束します。^{[ 9 ]}これらのベクトルの和は成分ごとに計算されます。

のために${\displaystyle i=1,2,3,\ldots ,}$させて

$${\displaystyle \mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{i}^{(1)}\\\vdots \\X_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}}$$

は独立したランダムベクトルである。ランダムベクトルの合計は${\displaystyle \mathbf {X} _{1},\ldots ,\mathbf {X} _{n}}$は

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}={\begin{bmatrix}X_{1}^{(1)}\\\vdots \\X_{1}^{(k)}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{2}^{(1)}\\\vdots \\X_{2}^{(k)}\end{bmatrix}}+\cdots +{\begin{bmatrix}X_{n}^{(1)}\\\vdots \\X_{n}^{(k)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{(1)}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}}$$

そして彼らの平均は

$${\displaystyle \mathbf {{\bar {X}}_{n}} ={\begin{bmatrix}{\bar {X}}_{i}^{(1)}\\\vdots \\{\bar {X}}_{i}^{(k)}\end{bmatrix}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}.}$$

したがって、

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}\left[\mathbf {X} _{i}-\operatorname {E} \left(\mathbf {X} _{i}\right)\right]={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {X} _{i}-{\boldsymbol {\mu }})={\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right).}$$

多変数中心極限定理は次のように述べている。

$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\overline {\mathbf {X} }}_{n}-{\boldsymbol {\mu }}\right)\mathrel {\overset {d}{\longrightarrow }} {\mathcal {N}}_{k}(0,{\boldsymbol {\Sigma }}),}$$ ここで、共分散行列は${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$に等しい $${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{bmatrix}{\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(1)}\right)}&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(1)},X_{1}^{(k)}\right)\\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(2)},X_{1}^{(k)}\right)\\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(3)},X_{1}^{(k)}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(1)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(2)}\right)&\operatorname {Cov} \left(X_{1}^{(k)},X_{1}^{(3)}\right)&\cdots &\operatorname {Var} \left(X_{1}^{(k)}\right)\\\end{bmatrix}}~.}$$

多変数中心極限定理は、クラメール・ウォルドの定理を用いて証明できる。^{[ 9 ]}

収束速度は、以下のベリー・エッセーン型の結果によって与えられる。

その要因が${\textstyle d^{1/4}}$必要である。^{[ 11 ]}

独立同分布の確率変数の列の有用な一般化として、離散時間における混合確率過程があります。「混合」とは、おおよそ、時間的に離れた確率変数がほぼ独立であることを意味します。エルゴード理論と確率論では、いくつかの種類の混合が用いられています。特に、強い混合（α混合とも呼ばれる）については、以下を参照してください。${\textstyle \alpha (n)\to 0}$どこ${\textstyle \alpha (n)}$は、いわゆる強い混合係数です。

強い混合条件下での中心極限定理の簡略化された定式化は次のとおりです。^{[ 16 ]}

実際には、

$${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} \left(X_{1}^{2}\right)+2\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {E} \left(X_{1}X_{1+k}\right),}$$

数列が完全に収束する点。

仮定${\textstyle \sigma \neq 0}$漸近正規性が成り立たないため、省略することはできません。${\textstyle X_{n}=Y_{n}-Y_{n-1}}$どこ${\textstyle Y_{n}}$は別の定常数列である。

この定理にはより強いバージョンがある。^{[ 17 ]}仮定${\textstyle \operatorname {E} \left[X_{n}^{12}\right]<\infty }$に置き換えられます${\textstyle \operatorname {E} \left[{\left|X_{n}\right|}^{2+\delta }\right]<\infty }$、そして仮定${\textstyle \alpha _{n}=O\left(n^{-5}\right)}$に置き換えられます

$${\displaystyle \sum _{n}\alpha _{n}^{\frac {\delta }{2(2+\delta )}}<\infty .}$$

そのような存在${\textstyle \delta >0}$結論を保証する。混合条件下における極限定理の百科事典的な扱いについては、（Bradley 2007 ）を参照のこと。

中心極限定理は特性関数を用いた証明がある。^{[ 20 ]}これは（弱）大数の法則の証明と似ている。

仮定する${\textstyle \{X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \}}$は独立同分布の確率変数であり、それぞれ平均は${\textstyle \mu }$有限分散${\textstyle \sigma ^{2}}$合計​${\textstyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$平均​${\textstyle n\mu }$および分散${\textstyle n\sigma ^{2}}$確率変数を考えてみましょう。

$${\displaystyle Z_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}-n\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {X_{i}-\mu }{\sqrt {n\sigma ^{2}}}}=:\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i},}$$

最後のステップでは新しいランダム変数を定義する${\textstyle Y_{i}:={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}$それぞれ平均ゼロ、分散1 （${\textstyle \operatorname {var} (Y)=1}$)特性関数​${\textstyle Z_{n}}$は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{Z_{n}}\!(t)=\varphi _{\sum _{i=1}^{n}{{\frac {1}{\sqrt {n}}}Y_{i}}}\!(t)\ &=\ \varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\varphi _{Y_{2}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\cdots \varphi _{Y_{n}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\\[1ex]&=\ \left[\varphi _{Y_{1}}\!\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\right]^{n},\end{aligned}}}$$

最後のステップは、${\textstyle Y_{i}}$は同一の分布に従う。${\textstyle Y_{1}}$テイラーの定理によれば、 $${\displaystyle \varphi _{Y_{1}}\!\left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)=1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\!\left({\frac {t^{2}}{n}}\right),\quad \left({\frac {t}{\sqrt {n}}}\right)\to 0}$$

どこ${\textstyle o(t^{2}/n)}$は、ある関数の「小文字のo表記」です。${\textstyle t}$より速くゼロになる${\textstyle t^{2}/n}$指数関数の極限により（${\textstyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$)の特性関数${\displaystyle Z_{n}}$等しい

$${\displaystyle \varphi _{Z_{n}}(t)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2n}}+o\left({\frac {t^{2}}{n}}\right)\right)^{n}\rightarrow e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}},\quad n\to \infty .}$$

極限ではすべての高次項が消滅する${\textstyle n\to \infty }$右辺は標準正規分布の特性関数に等しい。${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$これは、レヴィの連続性定理により、${\textstyle Z_{n}}$近づく${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$として${\textstyle n\to \infty }$したがって、サンプル平均

$${\displaystyle {\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+\cdots +X_{n}}{n}}}$$

は、

$${\displaystyle {\frac {\sqrt {n}}{\sigma }}\left({\bar {X}}_{n}-\mu \right)=Z_{n}}$$

正規分布に収束する${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$そこから中心極限定理が導かれる。

中心極限定理は漸近分布しか与えません。有限個の観測値に対する近似として、正規分布のピーク付近でのみ妥当な近似値となり、裾野まで分布を拡張するには非常に多くの観測値が必要となります。

中心極限定理の収束は一様です。なぜなら、極限累積分布関数は連続だからです。${\textstyle \operatorname {E} \left[(X_{1}-\mu )^{3}\right]}$が存在し、有限である場合、収束速度は少なくともオーダーである。${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$（ベリー・エッセーン定理を参照）。スタインの方法^{[ 21 ]}は、中心極限定理を証明するだけでなく、選択された計量の収束率の上限を与えるためにも使用できます。^{[ 22 ]}

正規分布への収束は単調であり、エントロピーは${\textstyle Z_{n}}$正規分布のそれまで単調に増加する。 ^{[ 23 ]}

中心極限定理は、特に独立同分布の離散確率変数の和に適用されます。離散確率変数の和は依然として離散確率変数であるため、累積確率分布関数が連続変数（すなわち正規分布）に対応する累積確率分布関数に収束する離散確率変数の列に直面することになります。これは、 n個の独立同分布離散変数の和の実現値のヒストグラムを作成すると、ヒストグラムを構成する長方形の上辺の中心を結ぶ区分的線形曲線がn が無限大に近づくにつれてガウス曲線に収束することを意味します。この関係はド・モアブル・ラプラスの定理として知られています。二項分布の記事では、離散変数が 2 つの値しか取らない単純なケースにおける中心極限定理のこのような適用について詳しく説明しています。

研究によると、中心極限定理にはいくつかの一般的だが深刻な誤解があり、その中には広く使われている教科書にも見られるものがある。^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}これらには以下が含まれる。

• この定理は、母集団から繰り返しサンプリングによって抽出された独立同分布（iid）の確率変数の平均値（または合計）ではなく、任意の変数のランダムサンプリングに適用されるという誤った認識がある。つまり、この定理は、ランダムサンプリングによって、そのような確率変数の平均値（または合計）の異なる値から構成される標本分布が生成されることを前提としている。
• この定理は、母集団の分布に関係なく、任意の確率変数の十分な大きさのサンプルに対して、ランダムサンプリングによって正規分布が出現することを保証するという誤った考えに基づいています。実際には、このようなサンプリングは漸近的に母集団の特性を再現するものであり、これはグリベンコ・カンテリの定理によって裏付けられた直感的な結果です。
• この定理は、サンプルサイズが約 30 を超える場合に正規分布の良い近似値をもたらし、母集団の性質に関係なく信頼できる推論を可能にするという誤った考えがある。 ^{[ 27 ]}実際には、この経験的な経験則には正当な根拠がなく、深刻な欠陥のある推論につながる可能性がある。近似が成り立つ範囲については、Z 検定を参照のこと。

大数の法則と中心極限定理は、「nが無限大に近づくとき、S _nはどのような極限挙動を示すのか？」という一般的な問題に対する部分的な解決策である。数学解析において、漸近級数はこのような問題に取り組むために用いられる最も一般的なツールの1つである。

漸近展開があると仮定します${\textstyle f(n)}$:

$${\displaystyle f(n)=a_{1}\varphi _{1}(n)+a_{2}\varphi _{2}(n)+O{\big (}\varphi _{3}(n){\big )}\qquad (n\to \infty ).}$$

両方の部分をφ ₁ ( n )で割って極限を取ると、展開の最高次項の係数であるa _{1が得られ、これは}f ( n )の主要項が変化する割合を表します。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{\varphi _{1}(n)}}=a_{1}.}$$

非公式には、「f ( n )は近似的に1φ1 _{( n} )のように増加する」と言うことができる。f ( n )とその近似値の差を取り、展開の次の項で割ると、 f ( n )についてより洗練された記述が得られる。

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)-a_{1}\varphi _{1}(n)}{\varphi _{2}(n)}}=a_{2}.}$$

ここで、関数とその近似値の差は、おおよそa ₂ φ ₂ ( n )に比例して増加すると言える。適切な正規化関数で関数を割り、その結果の極限挙動を調べることで、元の関数自体の極限挙動について多くのことがわかるという考え方である。

非公式には、古典的確率論において、独立同分布の確率変数X ₁ , ..., X _nの和S _nを研究する際に、これと似たようなことが起こります。 各X _{i が}有限の平均μを持つ場合、大数の法則により、⁠ S _n / n ⁠ → μとなります。^{[ 28 ]} さらに、各X _{i が}有限の分散σ ²を持つ場合、中心極限定理により、

$${\displaystyle {\frac {S_{n}-n\mu }{\sqrt {n}}}\to \xi ,}$$

ここで、ξはN (0, σ² )の分布に従う。これにより、非公式展開における最初の2つの定数の値が得られる^。

$${\displaystyle S_{n}\approx \mu n+\xi {\sqrt {n}}.}$$

X _{i が}有限の平均または分散を持たない場合、シフトおよび再スケーリングされた合計の収束は、異なる中心化係数およびスケーリング係数でも発生する可能性があります。

$${\displaystyle {\frac {S_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\rightarrow \Xi ,}$$

または非公式に

$${\displaystyle S_{n}\approx a_{n}+\Xi b_{n}.}$$

このようにして生じる分布Ξは安定分布と呼ばれます。^{[ 29 ]} 明らかに正規分布は安定分布ですが、コーシー分布のように平均や分散が定義されていない他の安定分布もあります。スケーリング係数b _nは、任意のc ≥ 1/2に対してn cに比例する場合^もあれば、 nの緩やかに変化する関数で乗算される場合もあります。^{[ 30 ] [ 31 ]}

反復対数の法則は、大数の法則と中心極限定理の「中間」で何が起こるかを規定するものです。具体的には、大数の法則のnと中心極限定理の√ nの中間の大きさを持つ正規化関数√ n log log n が、自明でない極限挙動を示すことを述べています。

S _{n を}n個の確率変数の和とする。多くの中心極限定理は、n → ∞ のときS _n / √ Var( S _n )が分布収束してN (0,1) (平均 0、分散 1 の正規分布)になるような条件を与えている。場合によっては、定数σ ²と関数f(n)を見つけることで、n → ∞のときS _n /(σ √ n⋅f ( n ) )が分布収束してN (0,1)になる可能性がある。

積の対数は、単純に因数の対数の和です。したがって、正の値のみをとる確率変数の積の対数が正規分布に近づく場合、その積自体も対数正規分布に近づきます。多くの物理量（特に質量や長さなど、スケールの問題であり負の値をとることができないもの）は、異なる確率因子の積であるため、対数正規分布に従います。この中心極限定理の乗法版は、ジブラの法則と呼ばれることもあります。

確率変数の和に関する中心極限定理は有限分散の条件を必要とするが、積に関する対応する定理は密度関数が二乗可積分であるという対応する条件を必要とする。^{[ 34 ]}

これら2つのεn-_近接分布は密度関数（実際には対数凹型密度関数）を持つため、それらの間の全分散距離は、密度関数の差の絶対値の積分となる。全変動の収束は、弱収束よりも強い。

対数凹型密度関数の重要な例として、与えられた凸体の内部では一定で、外部ではゼロになる関数が挙げられます。これは凸体上の均一分布に対応しており、「凸体の中心極限定理」という用語の由来となっています。

別の例として、f ( x ₁ , ..., x _n ) = const · exp(−( | x ₁ | ^α + ⋯ + | x _n | ^α ) ^β )があります。ここで、 α > 1かつαβ > 1です。β = 1 の場合、 f ( x 1 , _... , x _n )はconst · exp (− | x ₁ | ^α ) ... exp(− | x _n | ^α ) に因数分解され、X ₁ , ..., X _nは独立であることを意味します。しかし、一般に、これらは従属です。

条件f ( x ₁ , ..., x _n ) = f ( | x ₁ | , ..., | x _n | )は、 X ₁ , ..., X _nの平均がゼロで無相関であることを保証しますが、独立である必要はなく、ペアワイズ独立である必要もありません。ちなみに、ペアワイズ独立は、古典的な中心極限定理における独立性の代わりにはなりません。^{[ 36 ]}

これはベリー・エッセーン型の解です。

⁠ X ₁ + ⋯ + X _n / √ n ⁠の分布は必ずしも近似的に正規分布である必要はありません（実際には一様分布でも構いません）。^{[ 38 ]}しかし、 c ₁ X ₁ + ⋯ + c _n X _nの分布は、${\textstyle {\mathcal {N}}(0,1)}$（全変動距離において）ほとんどのベクトル（c ₁、...、c _n）は球面c ² ₁ + ⋯ + c ² _n = 1 上の均一分布に従います。

これは2次元より大きいすべての次元においても同様である。

多面体K _nはガウスランダム多面体と 呼ばれます。

同様の結果は、（ガウス多面体の）頂点の数、辺の数、そして実際にはすべての次元の面の数にも当てはまります。^{[ 42 ]}

行列Mの線形関数は、その要素 (与えられた係数付き) の線形結合、M ↦ tr( AM )であり、ここでAは係数の行列です。トレース (線形代数)#内積を参照してください。

ランダム直交行列は、その分布が直交群O( n , R )上の正規化されたハール測度である場合、一様に分布していると言われます。回転行列#一様ランダム回転行列を参照してください。

中心極限定理は結晶格子（有限グラフ上の無限重アーベル被覆グラフ）上の単純ランダムウォークに対して確立することができ、結晶構造の設計に使用されます。 ^{[ 45 ] [ 46 ]}

回帰分析、特に最小二乗法では、従属変数が1つ以上の独立変数に何らかの関数に従って依存し、加法的な誤差項が存在すると規定されます。回帰に関する様々な統計的推論では、誤差項が正規分布に従うと仮定されます。この仮定は、誤差項が実際には多くの独立した誤差項の和であると仮定することで正当化できます。個々の誤差項が正規分布に従わない場合でも、中心極限定理により、それらの和は正規分布で十分に近似できます。

統計学においてその重要性を考えると、中心極限定理における収束性を示す論文やコンピュータパッケージが数多く存在する。^{[ 47 ]}