浸水（数学）

数学において、沈み込みとは、微分がどこでも射影的である微分可能多様体間の微分可能写像である。これは微分位相幾何学における基本概念である。沈み込みの概念は、浸み込みの概念と双対である。

MとNを微分可能多様体とし、それらの間の微分可能写像とする。写像fが点における沈み込みであるとは、その微分${\displaystyle f\colon M\to N}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N}$

は、全射線 型写像である。^[1]この場合、p は写像fの正則点と呼ばれ、そうでない場合、p は臨界点と呼ばれる。逆像内のすべての点p が正則点である場合、点はfの正則値である。各点で沈み込みとなる微分可能写像f は沈み込みと呼ばれる。 同様に、 f の微分がNの次元に等しい定数階数を持つ場合、 fは沈み込みである。 ${\displaystyle q\in N}$ ${\displaystyle f^{-1}(q)}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle Df_{p}}$

注意：一部の著者は、pにおけるfのヤコビ行列の階数が最大でない点を説明するために臨界点という用語を使用しています。 ^{[2]確かに、これは}特異点理論におけるより有用な概念です。 Mの次元がNの次元以上である場合、これら 2 つの臨界点の概念は一致します。 しかし、Mの次元がNの次元より小さい場合、上記の定義によればすべての点が臨界になります (微分は全射ではあり得ません) が、ヤコビ行列の階数は依然として最大である可能性があります ( dim Mに等しい場合)。 上記の定義は、より一般的に使用されています。たとえば、サードの定理の定式化で使用されます。

次元との滑らかな多様体間の沈み込みが与えられると、それぞれに対して、の周りでの の射影チャート、およびの周りでの の射影チャートが存在し、 は沈み込みに制限され、これを座標で と表すと、通常の直交射影になります。応用として、それぞれに対して、 で示されるの対応するファイバーに、の次元がとの次元の差に等しい の滑らかな部分多様体の構造を備えることができます。 ${\displaystyle f\colon M\to N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \phi :U\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi :V\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\colon U\to V}$${\displaystyle \psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\in N}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M_{p}=f^{-1}(\{p\})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

この定理は逆関数定理の結果です(逆関数定理#多様体構造の付与を参照)。

例えば、ヤコビ行列 は${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.}$

これは を除くすべての点で最大ランクを持ちます。また、ファイバー ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$

はに対して空であり、 のときは点に等しい。したがって、 に対しては滑らかな沈み込みのみが存在し、部分集合は2 次元の滑らかな多様体である。 ${\displaystyle t<0}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},}$${\displaystyle M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}}$${\displaystyle t>0}$

• あらゆる投影${\displaystyle \pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}}$
• 局所微分同相写像
• リーマン沈み込み
• 滑らかなベクトル束またはより一般的な滑らかなファイバへの射影。微分の全射性は、局所的な自明化の存在に必要な条件です。

沈み込みの大きな例の1つは、次のような高次元の球の間の沈み込みである。

${\displaystyle f:S^{n+k}\to S^{k}}$

その繊維は次元 である。これは繊維（要素 の逆像）が次元 の滑らかな多様体であるためである。次に、経路 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p\in S^{k}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \gamma :I\to S^{k}}$

そして引き戻しを取る

${\displaystyle {\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}}$

フレーム付きボルディズムと呼ばれる特殊な種類のボルディズムの例が得られます。実際、フレーム付きコボルディズム群は安定ホモトピー群と密接に関連しています。 ${\displaystyle \Omega_{n}^{fr}}$

もう一つの大きな沈み込みのクラスは、ファイバーが滑らかな代数多様体である代数多様 体の族によって与えられる。これらの多様体の基礎となる多様体を考慮すると、滑らかな多様体が得られる。例えば、楕円曲線のワイエルシュトラス族は、交差ホモロジーや倒錯層など、より複雑な理論を示すために使用される多くの技術的な複雑さを含むため、広く研究されている沈み込みである。この族は次のように与えられる。${\displaystyle \pi :{\mathfrak {X}}\to S}$${\displaystyle \pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(xt)\}}$

ここで、はアフィン直線、 はアフィン平面です。複素多様体を検討しているので、これらは複素直線と複素平面の空間と同値です。特異点があるため（二重根があるため）、 実際には点を削除する必要があることに注意してください。${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle t=0,1}$

f : M → N がpにおける沈み込みであり、f ( p ) = q ∈ Nである場合、Mにおけるpの開近傍 U 、 Nにおけるqの開近傍V、およびpにおける局所座標( x ₁ , …, x _m )とqにおける局所座標( x ₁ , …, x _n )が存在し、 f ( U ) = Vとなり、これらの局所座標における写像fは標準射影である。

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

したがって、微分可能写像f : M → Nの下でのNの正則値qのMの完全逆像f ⁻¹ ( q )は、空であるか、次元dim M − dim Nの微分可能多様体であり、おそらく非連結であるかのいずれかである。これが正則値定理（沈み込み定理とも呼ばれる）の内容である。特に、写像fが沈み込みである場合、結論はNのすべてのqに対して成り立つ。

沈み込みは、一般の位相多様体に対しても明確に定義されています。^[3]位相多様体の沈み込みは、連続的な全射f  : M → Nであり、 Mのすべてのpに対して、 pにおける連続チャートψとf(p)におけるφに対して、写像ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φは、 R ^mからR ⁿへの射影写像に等しく、ここでm = dim( M ) ≥ n = dim( N ) です。

• エーレスマンのファイバ定理

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• カルモ、マンフレド・ペルディガオ(1994)。リーマン幾何学。ISBN 978-0-8176-3490-2。
• フランケル、セオドア（1997年）。物理学の幾何学。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-38753-1. MR  1481707。
• ガロット、シルベストル。Hulin, ドミニク;ラフォンテーヌ、ジャック (2004)。リーマン幾何学(第 3 版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-20493-0。
• コシンスキー、アントニ・アルバート（2007）[1993]。微分多様体。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-46244-8。
• ラング、セルジュ(1999)。微分幾何学の基礎。数学大学院テキスト。ニューヨーク: シュプリンガー。ISBN 978-0-387-98593-0。
• シュロモ・ツヴィ・スターンバーグ（2012年）。数学と物理学における曲率。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-47855-5。

• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1