ポリャコフループ

量子場理論において、ポリャコフループはウィルソンループの熱的類似物であり、非零温度の純粋ゲージ理論における閉じ込めの秩序パラメータとして機能します。具体的には、熱的量子場理論のコンパクト化されたユークリッド時間方向を巻き付けるウィルソンループです。中心ゲージ変換に対する不変性がないため、閉じ込め相では真空期待値がゼロになる必要があることから、閉じ込めを示します。これはまた、期待値が個々のクォークの自由エネルギーに関連しており、この相で発散するという事実からも導かれます。 1975年にアレクサンダー・M・ポリャコフによって導入された^{[ 1 ]}ポリャコフループは、非零温度におけるクォーク対間のポテンシャルを研究するためにも使用できます。

熱量子場理論は、長さのコンパクト化された虚数時間方向を持つユークリッド時空で定式化される。${\displaystyle \beta }$この長さは、場の温度の逆数に相当する。${\displaystyle \beta \propto 1/T}$コンパクト化は、ポリャコフループとして知られるコンパクト方向を巻き込む、位相的に非自明な特殊なクラスのウィルソンループをもたらす。^{[ 2 ]}$\displaystyle SU(N)$空間座標上の直線ポリャコフループの理論${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$は

どこ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$はパス順序付け演算子であり、${\displaystyle A_{4}}$はゲージ場のユークリッド時間成分である。格子場理論では、この演算子は時間リンク場を用いて再定式化される。${\displaystyle U_{4}({\boldsymbol {m}},j)}$空間的な位置において${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$^{[ 3 ]}として

${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {m}})={\frac {1}{N}}{\text{tr}}{\bigg [}\prod _{j=0}^{N_{T}-1}U_{4}({\boldsymbol {m}},j){\bigg ]}.}$

格子の連続体極限は、コンパクト方向が固定された範囲を持つことを保証するために慎重に行う必要がある。これは、有限個の時間格子点を確保することによって行われる。${\displaystyle N_{T}}$は、${\displaystyle \beta =N_{T}a}$格子間隔と同じ値である${\displaystyle a}$ゼロになる。

ゲージ場は周期性条件を満たす必要がある${\displaystyle A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=A_{\mu }({\boldsymbol {x}},x_{4})}$コンパクト化の方向において。一方、ゲージ変換は群中心項を除いてこれを満たすだけでよい。${\displaystyle h}$として${\displaystyle \Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4}+\beta )=h\Omega ({\boldsymbol {x}},x_{4})}$基底変換によって常にこれを対角化できるので、${\displaystyle h=zI}$複素数の場合${\displaystyle z}$ポリャコフループは時間方向において位相的に非自明であるため、他のウィルソンループとは異なり、次のように変換される。${\displaystyle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rightarrow z\Phi ({\boldsymbol {x}})}$これらの変換の下で。^{[ 5 ]}これによりループゲージが依存するため${\displaystyle z\neq 1}$エリツァーの定理により、非ゼロの期待値は${\displaystyle \langle \ファイ \rangle }$これは、中心群が自発的に破れなければならないことを意味し、純粋ゲージ理論における閉じ込めを意味する。これにより、ポリャコフループは熱的純粋ゲージ理論における閉じ込めの秩序パラメーターとなり、閉じ込め相は のときに発生する。${\displaystyle \langle \ファイ \rangle =0}$そして、解放フェーズでは${\displaystyle \langle \Phi \rangle \neq 0}$^{[ 6 ]}例えば、理論から切り離された無限に重いクォークを用いた量子色力学の格子計算では、閉じ込め解除相転移は約の温度で起こることが示されている。${\displaystyle 270}$MeV。^{[ 7 ]}一方、クォークを含むゲージ理論では、これらは中心群を破るため、閉じ込めは代わりに漸近状態のスペクトル、つまりカラー中性ハドロンのスペクトルから導出されなければならない。

閉じ込め相で破れる可能性のある非自明な群中心を持たないゲージ理論では、ポリヤコフループの期待値はこの相でもゼロではない。しかし、相転移で一般的に急激な変化を示すため、依然として閉じ込めの良い指標となる。これは、例えば例外的なゲージ群を持つ ヒッグスモデルの場合に当てはまる。${\displaystyle G_{2}}$[ ^{8 ]​}

南部-ヨナラシニオ模型は局所的な色対称性を欠いているため、閉じ込め効果を捉えることができません。しかし、ポリヤコフループを用いることで、ポリヤコフループ拡張南部-ヨナラシニオ模型を構築できます。この模型では、カイラル凝縮とポリヤコフループの両方を、量子色力学の対称性と対称性の破れのパターンに従ってクォークと結合する古典的な均一場として扱います。^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

自由エネルギー${\displaystyle F}$の${\displaystyle N}$クォークと${\displaystyle {\bar {N}}}$反クォークは、真空エネルギーを差し引くと、ポリャコフループの相関関数で表されます^{[ 12 ]。}

${\displaystyle e^{-\beta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\dots \Phi ({\boldsymbol {x}}_{N_{q}})\Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}'_{1})\cdots \Phi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}}_{\bar {N}}')\rangle .}$

この自由エネルギーは、ポリャコフループが閉じ込めの秩序パラメータとして作用することを示す別の方法であり、単一クォークの自由エネルギーは次のように与えられる。${\displaystyle e^{-\beta \Delta F}=\langle \Phi ({\boldsymbol {x}})\rangle }$[ ^{13 ]クォークの閉じ込めは、単一の自由クォークを持つ構成を作るには無限のエネルギーが必要であることを意味し、したがってその自由エネルギーは}無限でなければならず、中心対称性の破れの議論と一致して、この段階ではポリャコフループの期待値はゼロでなければならない。

自由エネルギーの公式は、空間的に離れた無限に質量のあるクォークのペア間のポテンシャルを計算するためにも使用できます。${\displaystyle r=|{\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}|}$ここに潜在的な${\displaystyle V(r)}$は自由エネルギーの最初の項なので、2 つのポリャコフ ループの相関関数は

${\displaystyle \langle \Phi ({\boldsymbol {x}}_{1})\Phi ({\boldsymbol {x}}_{2})\rangle \propto e^{-\beta V(r)}(1+{\mathcal {O}}(e^{-\beta \Delta E(r)})),}$

どこ${\displaystyle \Delta E}$は、ポテンシャルと第一励起状態とのエネルギー差である。閉じ込め相では、ポテンシャルは線形である。${\displaystyle V(r)=\sigma r}$ここで、比例定数は弦の張力として知られています。ポリャコフループから得られる弦の張力は、常にウィルソンループから得られる弦の張力によって上から制限されます。^{[ 14 ]}

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