ゲージ理論入門

歴史的に、最初に発見されたゲージ対称性の例は古典電磁気学です。^{[ 9 ]}静電場は、空間のあらゆる点で定義される電位（電圧、V ）で表すことができ、実際の作業では、電位のゼロレベル、つまり接地を定義する物理的な基準として地球を用いるのが慣例となっています。しかし、物理的に測定できるのは電位の差だけであり、これが電圧計が2つのプローブを持ち、それらの間の電圧差しか報告できない理由です。したがって、すべての電圧差を地球ではなく他の基準に対して定義することを選択することができ、その結果、定数オフセットが追加されます。 ^{[ 10 ]}電位Vがマクスウェル方程式の解である場合、このゲージ変換の後、新しい電位V → V + Cもマクスウェル方程式の解となり、これらの2つの解を区別する実験はありません。言い換えれば、電気と磁気を支配する物理法則（つまり、マクスウェル方程式）はゲージ変換の下で不変です。^{[ 11 ]}マクスウェル方程式はゲージ対称性を持つ。

静電気から電磁気学へと一般化すると、ゲージ変換を受けることができる第2のポテンシャル、磁気ベクトルポテンシャルAが存在します。これらの変換は局所的である可能性があります。つまり、Vに定数を加える代わりに、空間と時間の異なる点で異なる値をとる関数を加えることができます。Aも特定の対応する方法で変更されると、同じE (電場) とB (磁場) 場が得られます。場EとBとポテンシャルVとAの間の詳細な数学的関係は、ゲージ変換の性質の正確な記述とともに、記事「ゲージ固定」に記載されています。ここで重要な点は、ゲージ変換の下で場は同じままであり、したがってマクスウェル方程式は依然として満たされるということです。

ゲージ対称性は電荷保存則と密接に関係している。空間のある点 1 で電荷qを生成し、それを別の点 2 に移動させてから消滅させることで、一時的に電荷保存則を破ることができるプロセスが存在すると仮定する。このプロセスはエネルギー保存則と矛盾しないと考えるかもしれない。電荷の生成にはエネルギー E 1 = qV 1 の入力が必要であり、それを消滅させると E 2 = qV 2 が放出されるという規則を仮定することができる。qV はある点に電荷が存在するために電場に蓄積された余分なエネルギーを測定するので、これは自然に思える。_粒子が存在_する期間外_では、_粒子の生成と消滅によって放出される正味のエネルギーqV ₂ − qV ₁は、粒子を 1 から 2 に移動させるのに行われた仕事qV ₂ − qV ₁に等しいので、エネルギー保存則は満たされる。しかし、このシナリオはエネルギー保存則を維持するが、ゲージ対称性を破る。ゲージ対称性により、物理法則は変換V → V + Cの下で不変でなければならない。これは、電気的接地などの外部基準を参照せずに絶対電位を測定できる実験は存在しないことを意味する。しかし、生成エネルギーと消滅エネルギーに関する提案された規則E ₁ = qV ₁およびE ₂ = qV ₂により、実験者は、電位がそれぞれVとV + Cの場合に、空間の特定の点で電荷qを生成するために必要なエネルギー入力を比較するだけで、絶対電位を決定できる。結論として、ゲージ対称性が成り立ち、エネルギーが保存されるならば、電荷も保存されなければならない。^{[ 12 ]}

前述のように、古典的（すなわち非量子力学的）一般相対性理論のゲージ変換は任意の座標変換です。^{[ 13 ]}技術的には、変換は可逆でなければならず、変換とその逆変換の両方が、任意の回数微分可能 であるという意味で滑らかでなければなりません。

量子力学が登場するまで、ゲージ対称性のよく知られた例は電磁気学におけるものだけであり、その概念の一般的な意義は十分に理解されていませんでした。例えば、基本量であるのが電場Eと磁場Bなのか、それとも電位Vと電位Aなのかが明確ではありませんでした。もしEとBが基本量であれば、ゲージ変換はVとAに適用する単なる数学的なトリックとみなすことができました。

量子力学では、電子のような粒子も波として記述されます。例えば、電子を用いて二重スリット実験を行うと、波のような干渉パターンが観測されます。電子は、2つのスリットを通過する波の部分が互いに同位相となる位置で最も高い確率で検出され、建設的干渉が生じます。電子波の周波数fは、量子力学的な関係式E = hfによって個々の電子粒子の運動エネルギーと結び付けられます。この実験に電場や磁場が存在しない場合、電子のエネルギーは一定となり、例えば、対称性によって波の2つの部分が同位相となる実験の中心軸に沿って電子が検出される確率が高くなります。

しかし、ここで実験中の電子が電場または磁場にさらされると仮定してみましょう。例えば、軸の片側に電場が加えられ、もう片側には加えられていない場合、実験結果は影響を受けます。その側を通過する電子波の部分は、エネルギーに−eVが加算されるため、異なる速度で振動します。ここで、−eは電子の電荷、Vは電位です。電子波の2つの部分間の位相関係が変化するため、実験結果は異なり、建設的干渉と破壊的干渉の位置がどちらかの側にずれます。ここで問題となるのは電場ではなく電位であり、これは量子力学において根本的に重要なのは場ではなく電位であるという事実の表れです。

要約すると、ゲージ対称性は量子力学の文脈でその真価を発揮します。量子力学を電磁気学に適用する場合、すなわち量子電磁力学では、ゲージ対称性は電磁波と電子波の両方に適用されます。これら 2 つのゲージ対称性は実際には密接に関連しています。たとえば、ゲージ変換θ を電子波に適用する場合、電磁波を記述するポテンシャルにも対応する変換を適用する必要があります。 ^{[ 18 ]}ゲージ対称性は、量子電磁力学を再規格化可能な理論、つまり物理的に測定可能なすべての量の計算された予測が有限である理論にするために必要です。

前述の小節で電子を小さな時計と表現したことは、実際には電子の位相を加算・減算する際の数学的規則を述べたものです。つまり、電子の位相は通常の数として扱われますが、計算結果が0≤θ<360°の範囲外になった場合は、円周上をカバーできる許容範囲に「折り返す」ように強制します。言い換えれば、例えば5°の位相角は365°の角度と完全に等価であると考えるということです。電子波によって形成される干渉パターンに関するこの検証可能な記述は、実験によって確認されています。「折り返し」特性を除けば、この数学的構造の代数的性質は通常の実数の性質と全く同じです。

数学用語では、電子位相は加法に関してアーベル群を形成し、これを円群または U(1) と呼びます。「アーベル」とは、加法が可換であることを意味し、θ + φ = φ + θが成り立ちます。「群」とは、加法が結合法則を満たし、単位元、すなわち「0」を持ち、すべての位相に対して逆元が存在し、位相とその逆元の和が 0 になることを意味します。アーベル群の他の例としては、加法、0、および否定に関する整数、積、1、および逆数に関するゼロでない分数などがあります。

ゲージの選択を視覚的に理解するために、円筒がねじれているかどうかを判別できるかどうかを考えてみましょう。円筒に突起、跡、傷などがなければ、判別することはできません。しかし、円筒の軸に沿った距離をxとしたとき、何らかの関数θ ( x )で定義される任意の曲線を円筒に沿って描くことは可能です。この任意の選択（ゲージの選択）が行われれば、後から誰かが円筒をねじった場合でも、それを検出できるようになります。

1954年、陳寧陽とロバート・ミルズは、これらの考え方を非可換群に一般化することを提案した。非可換ゲージ群は、電磁場とは異なり、自身と相互作用する場を記述することができる。例えば、一般相対性理論では重力場はエネルギーを持つとされ、特殊相対性理論ではエネルギーは質量に等しいと結論づけられている。したがって、重力場はさらなる重力場を誘起する。核力もまた、このような自己相互作用の性質を持つ。

驚くべきことに、ゲージ対称性は、電気相互作用や核相互作用などの相互作用の存在について、より深い説明を与えることができる。これは、特定の種類の粒子はすべて実験的に互いに区別できないという事実に関連するゲージ対称性の一種から生じる。アリスとベティが、生まれたときにAとBと書かれたブレスレットで識別された一卵性双生児だと想像してみよう。二人は一卵性なので、生まれたときに取り違えられたとしても誰も気づかないだろう。AとBというラベルは任意であり、入れ替えることができる。このように、彼女たちのアイデンティティが永久的に入れ替わることは、グローバルゲージ対称性のようなものだ。また、対応するローカルゲージ対称性もあり、これは、アリスとベティが誰も見ていない間に一瞬にして役割を入れ替えても、誰も気づかないという事実を表している。お母さんのお気に入りの花瓶が割れていることに気付いたとしても、どちらかの双子のどちらかに責任があると推測することはできますが、責任がアリスに100%、ベティに0%あるのか、あるいはその逆なのかは分かりません。アリスとベティが実際には人間ではなく量子力学的な粒子であるとすれば、重ね合わせの性質を含む波動性も持ち、波を任意に加えたり、引いたり、混ぜ合わせたりすることができます。つまり、完全な同一性の交換に限定されるわけではないということです。例えば、ある空間のある場所に一定量のエネルギーが存在することを観察したとしても、そのエネルギーがアリスに100%、ベティに0%なのか、アリスに0%、ベティに100%なのか、アリスに20%、ベティに80%なのか、あるいは他の混合なのかを判断できる実験はありません。対称性が局所的であるということは、粒子が空間を伝播するにつれてこれらの比率が固定されるとさえ期待できないことを意味します。これを数学的にどのように表現するかの詳細は、粒子のスピンに関する技術的な問題に依存しますが、現在の目的のために、スピンのない粒子を考えます。この場合、混合は任意のゲージθ ( x )の選択によって指定できることがわかります。ここで、角度θ =0°は100% Aと0% Bを表し、θ =90°は0% Aと100% Bを意味し、中間の角度は混合を表します。

量子力学の原理によれば、粒子は実際には空間を軌道を描いて移動しません。運動は波動によってのみ記述でき、個々の粒子の運動量pは、その波長λとp = h / λの関係にあります。経験的な測定の観点から言えば、波長は、空間のある点と近くの別の点との間の波動の変化を観測することによってのみ決定できます (数学的には、微分によって)。波長が短い波動はより速く振動するため、近くの点の間でより速く変化します。ここで、空間のある点にゲージを任意に固定し、その位置でのエネルギーが A の 20% と B の 80% であるとします。次に、波長を決定するために、近くの別の点で 2 つの波を測定します。しかし、波動が変化した理由は全く異なる 2 つの可能性があります。波動が特定の波長で振動していたために変化したか、ゲージ関数が 20-80 の混合から、たとえば 21-79 に変化したために変化したかのどちらかです。 2番目の可能性を無視すると、得られる理論は成り立たず、運動量に奇妙な矛盾が生じ、運動量保存の法則に違反することになる。理論のどこかを修正する必要がある。

ここでもスピンに関する技術的な問題が出てきますが、電荷を帯びた粒子や核力によって相互作用する粒子など、いくつかの重要なケースでは、ゲージ関数θ ( x ) に物理的な実在性を付与することで問題を解決できます。関数θが振動する場合、それは新しいタイプの量子力学的波を表し、この新しい波は独自の運動量p = h / λを持ち、そうでなければ運動量保存則を破ってしまう矛盾を解消することがわかります。電磁気学の文脈では、粒子 A と B は電子などの電荷を帯びた粒子であり、 θで表される量子力学的波は電磁場になります。 （ここでは、電子が実際にはスピン 1/2 を持ち、スピン 0 ではないという事実によって生じる技術的な問題は無視します。この単純化によって、ゲージ場 θ がスカラーになるのに対し、電磁場は実際にはVとAからなるベクトルで表されることになります。）その結果、電磁相互作用の存在に対する説明が得られます。同一の非相互作用粒子のゲージ対称理論を構築しようとすると、結果は自己無矛盾となり、粒子が相互作用する原因となる電場と磁場を追加することによってのみ修復できます。

関数θ ( x ) は波動を表すが、量子力学の法則によれば、粒子としての性質も持たなければならない。電磁気学の場合、電磁波に対応する粒子は光子である。一般に、このような粒子はゲージボソンと呼ばれ、「ボソン」とは整数スピンを持つ粒子を指す。理論の最も単純なバージョンでは、ゲージボソンは質量を持たないが、質量を持つバージョンを構築することもできる。これは、原子核崩壊の原因となる弱い相互作用を担うゲージボソンの場合に当てはまる。