ホッジスター演算子

数学において、ホッジ スター演算子またはホッジ スターは、非退化対称双線型形式を備えた有限次元有向ベクトル空間の外積代数上に定義される線型写像である。代数の要素に演算子を適用すると、要素のホッジ双対が生成される。この写像はWVD ホッジによって導入された。

たとえば、向き付けられた 3 次元ユークリッド空間では、向き付けられた平面は2 つの基底ベクトルの外積で表すことができ、そのホッジ双対はそれらの外積で与えられる法線ベクトルです。逆に、任意のベクトルは、適切な双対ベクトルを与えられた、それに垂直な向き付けられた平面の双対です。これをn次元ベクトル空間に一般化すると、ホッジスターはkベクトルから( n – k )ベクトルへの 1 対 1 のマッピングです。これらの空間の次元は二項係数です。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n}{nk}}}$

スター演算子の自然さは、擬リーマン多様体の余接束、したがって微分 k 形式に適用された場合、微分幾何学で役割を果たすことができることを意味します。これにより、外微分 のホッジ随伴として共微分を定義することができ、ラプラス・ド・ラーム演算子につながります。これは、ベクトル場の発散が勾配演算子の反対の共微分として実現され、関数上のラプラス演算子がその勾配の発散である3 次元ユークリッド空間の場合を一般化します。重要な応用は、閉じたリーマン多様体上の微分形式のホッジ分解です。

V を、ここでは内積と呼ばれる非退化対称双線型形式 を持つn次元 有向 ベクトル空間とします。 (擬似リーマン多様体やミンコフスキー空間などのより一般的な文脈では、双線型形式は正ではない場合があります。) これは、分解可能なkベクトルとグラム行列式^[1]に等しくなるように定義することにより、kベクトルの内積を誘導します^。14${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\textstyle \alpha ,\beta \in \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\det \left(\left\langle \alpha _{i},\beta _{j}\right\rangle _{i,j=1}^{k }\右）}$

直線性を通じて拡張されます。 ${\textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$

単位nベクトルは、 Vの有向直交基底に基づいて次のように定義されます。 ${\displaystyle \omega \in {\textstyle \bigwedge }^{\!n}V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{n}\}}$

${\displaystyle \omega :=e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{n}.}$

（注：一般擬リーマンの場合、正規直交性は すべての基底ベクトルのペアに対してであることを意味する。）ホッジスター作用素は、 Vの外積代数上の線型作用素であり、 kベクトルを ( n – k ) ベクトルに写す。これは、次のように完全に定義される性質を持つ：^{[1] ： 15}${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle \in \{\delta _{ij},-\delta _{ij}\}}$${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle \,\omega }$すべてのkベクトル に対して${\displaystyle \alpha,\beta\in{\textstyle\bigwedge}^{\!k}V.}$

双対的に、 n形式（ 上の交代n多重線型関数）の空間では、 への双対は体積形式であり、 上の値が 座標の の列ベクトルから組み立てられた行列の行列式である関数です。上記の式に適用すると、双対定義が得られます。 ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge}^{\!n}V^{*}}$${\displaystyle V^{n}}$${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle \det}$${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle \det}$

${\displaystyle \det(\alpha \wedge {\star }\beta )=\langle \alpha ,\beta \rangle }$すべてのkベクトルに対して${\displaystyle \alpha,\beta\in{\textstyle\bigwedge}^{\!k}V.}$

同様に、、、および をとると、 ${\displaystyle \alpha =\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta =\beta _{1}\wedge \cdots \wedge \beta _{k}}$${\displaystyle \star \beta =\beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }}$

${\displaystyle \det \left(\alpha _{1}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}\wedge \beta _{1}^{\star }\wedge \cdots \wedge \beta _{n-k}^{\star }\right)\ =\ \det \left(\langle \alpha _{i},\beta _{j}\rangle \right).}$

これは、のすべての部分集合にわたってkベクトルの正規直交基底を と書くと、ホッジ双対は補集合 に対応する( n – k ) ベクトルになることを意味します。 ${\displaystyle e_{I}\ =\ e_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}}$${\displaystyle I=\{i_{1}<\cdots <i_{k}\}}$${\displaystyle [n]=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle {\bar {I}}=[n]\setminus I=\left\{{\bar {i}}_{1}<\cdots <{\bar {i}}_{n-k}\right\}}$

${\displaystyle {\star }e_{I}=s\cdot t\cdot e_{\bar {I}},}$

ここでは順列の符号 、 は積 です 。リーマンの場合、です。 ${\displaystyle s\in \{1,-1\}}$${\displaystyle i_{1}\cdots i_{k}{\bar {i}}_{1}\cdots {\bar {i}}_{n-k}}$${\displaystyle t\in \{1,-1\}}$${\displaystyle \langle e_{i_{1}},e_{i_{1}}\rangle \cdots \langle e_{i_{k}},e_{i_{k}}\rangle }$${\displaystyle t=1}$

ホッジスターは正規直交基底を正規直交基底に取るので、外積代数上の等長変換になります。 ${\textstyle \bigwedge V}$

ホッジ星は、Vの部分空間Wとその直交部分空間 (内積に関して) との対応関係に基づいており、各空間には向きと数値スケーリング係数が与えられています。具体的には、非ゼロの分解可能なkベクトルは、 Plücker 埋め込みによって、この基底が張る平行六面体のk次元体積に等しいスケーリング係数(グラミアン、つまり内積行列の行列式に等しい) が与えられた向きのついた基底を持つ部分空間に対応します。分解可能なベクトルに作用するホッジ星は、分解可能な ( n − k ) ベクトルとして表すことができます。 ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}\in \textstyle \bigwedge ^{\!k}V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k}}$${\displaystyle \langle w_{i},w_{j}\rangle }$

${\displaystyle \star (w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k})\,=\,u_{1}\wedge \cdots \wedge u_{n-k},}$

ここで、 は直交空間の有向基底を形成します。さらに、 -平行六面体の ( n − k ) 体積は-平行六面体のk体積に等しくなければならず、の有向基底を形成しなければなりません。 ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$ ${\displaystyle U=W^{\perp }\!}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{k},u_{1},\ldots ,u_{n-k}}$${\displaystyle V}$

一般的なkベクトルは分解可能なkベクトルの線形結合であり、ホッジスターの定義は線形であると定義することで 一般的なkベクトルに拡張されます。

正規化されたユークリッド計量と方向が( x , y )の順序で与えられる2次元では、 k形式上のホッジスターは次のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$$

標準セスクイリニア形式を計量とする実ベクトル空間とみなされる複素平面上で、ホッジスターは座標の正則変換に対して不変であるという注目すべき性質を持つ。z = x + iyがw = u + ivの正則関数である場合、コーシー・リーマン方程式により、次の式が得られる。∂xの/∂uは⁠ = ⁠∂yの/∂v​⁠と⁠∂yの/∂uは⁠ = − ⁠∂xの/∂v​⁠。新しい座標では 、 主張された不変性が証明されます。 $${\displaystyle \alpha \ =\ p\,dx+q\,dy\ =\ \left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)\,du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)\,dv\ =\ p_{1}\,du+q_{1}\,dv,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\alpha &=-q_{1}\,du+p_{1}\,dv\\[4pt]&=-\left(p{\frac {\partial x}{\partial v}}+q{\frac {\partial y}{\partial v}}\right)du+\left(p{\frac {\partial x}{\partial u}}+q{\frac {\partial y}{\partial u}}\right)dv\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial y}{\partial v}}du-{\frac {\partial y}{\partial u}}dv\right)+p\left(-{\frac {\partial x}{\partial v}}du+{\frac {\partial x}{\partial u}}dv\right)\\[4pt]&=-q\left({\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv\right)+p\left({\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv\right)\\[4pt]&=-q\,dx+p\,dy,\end{aligned}}}$$

ホッジスター作用素の一般的な例は、 n = 3の場合で、これはベクトルと二重ベクトルの対応としてとらえることができる。具体的には、ベクトル解析でよく使われる1 形式を基底とするユークリッド R ³の場合、次のようになる。 ${\displaystyle dx,dy,dz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

ホッジスターは、3次元の外積と外積を関連付けます。^[2] 3次元に適用すると、ホッジスターは軸ベクトルと双ベクトルの間に同型性を提供し、各軸ベクトルaは双ベクトルAに関連付けられ、逆もまた同様です。つまり、^[2]です。 $${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$

ホッジ星は、回転軸と、回転軸の長さに等しい速度を持つ軸の周りの無限小回転（ 3D回転群#リー代数も参照）との間の幾何学的対応の形式として解釈することもできます。ベクトル空間上の内積は、その双対空間と 同一視する同型を与え、ベクトル空間は自然にテンソル積と同型です。したがって、 の場合、星写像は各ベクトルをバイベクトル に変換し、これは線形演算子 に対応します。具体的には、は歪対称演算子であり、これは無限小回転に対応します。つまり、軸の周りの巨視的回転は、行列指数によって与えられます。の基底に関して、テンソルは行と列に 1 がある座標行列 などに対応し、ウェッジは歪対称行列などになります。つまり、スター演算子は次のように解釈できます。 この対応関係では、ベクトルの外積は線形演算子の交換子リー括弧に対応します。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L(V,V)}$ ${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\textstyle \textstyle \star \colon V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \star \mathbf {v} \in V\otimes V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }\colon V\to V}$${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$${\displaystyle \mathbb {v} }$ ${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$${\displaystyle dx,dy,dz}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle dx\otimes dy}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad \star {\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$$${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}$

の場合、ホッジ星は第 2 外冪の自己準同型として機能します (つまり、 4 − 2 = 2なので、2 形式を 2 形式にマップします)。計量テンソルの符号がすべて正の場合、つまりリーマン多様体上にある場合、ホッジ星は反転です。符号が混合の場合、つまり擬リーマン の場合、演算子を 2 回適用すると、符号までの引数が返されます。以下の§ 双対性を参照してください。4 次元の 2 形式のこの特定の自己準同型特性により、自己双対および反自己双対の 2 形式が研究対象として自然な幾何学的オブジェクトになります。つまり、4 次元の 2 形式の空間を、ホッジ星演算子を固有値(または、符号によっては )で「対角化」する基底で記述できます。 ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm i}$

具体的には、計量シグネチャ(− + + +)と座標を持つミンコフスキー時空におけるホッジスター演算子について議論します。体積形式はの方向を向いています。1形式の場合、 2 形式 の場合、 ${\displaystyle n=4}$${\displaystyle (t,x,y,z)}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\\star dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\\star dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\\star (dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\\star (dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\\star (dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\\star (dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\\star (dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$$

これらはインデックス表記で次のようにまとめられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\star (dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$$

3 次元形式および 4 次元形式のホッジ双対は、ロレンツ符号において、奇数階形式に対して 、偶数階形式に対して であるという事実から簡単に推測できます。これらのホッジ演算について覚えておくべき簡単な規則は、形式 が与えられた場合、そのホッジ双対は、に含まれない成分をとなる順序で記述することによって得られるということです。^{[検証が必要]}に が含まれる場合にのみ、追加のマイナス記号が入ります。( (+ − − −)の場合、に空間関連形式 が奇数個含まれ、がである場合にのみマイナス記号を入れます。) ${\displaystyle (\star )^{2}=1}$${\displaystyle (\star )^{2}=-1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {\star }\alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha \wedge (\star \alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dt}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$${\displaystyle dz}$

これらの組み合わせは、 ホッジ星演算子の固有値として、すなわち をとることに注意してください。したがって、 自己 双対および反自己双対の 2 形式という名前に値します。自己双対および反自己双対セクターにおけるミンコフスキー時空の幾何学、または運動学を理解することは、数学的および物理的観点の両方で洞察に富むことがわかり、スピノルヘリシティ形式論やツイスター理論などの現代物理学における2 スピノル言語の使用につながります。 $${\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i\star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}$$${\displaystyle \pm i}$$${\displaystyle \star (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}$$

ホッジスターは、2n 次元ベクトル空間 V 上の n 形式に対して共形不変です。つまり、が、上の計量である場合、誘導されたホッジスターは 同じです。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \lambda >0}$$${\displaystyle \star _{g},\star _{\lambda g}\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$$

演算子と外微分dを組み合わせると、3 次元ユークリッド空間のベクトル場に対する古典的な演算子grad、curl、divが生成されます。これは次のように機能します。 d は、0 形式 (関数) を 1 形式に、1 形式を 2 形式に、2 形式を 3 形式に変換します (3 形式を 0 に変換します)。0 形式の場合、コンポーネントで書き出された最初のケ​​ースは次のようになります。 ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle f=f(x,y,z)}$$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$$

内積はベクトル場を持つ 1 形式を などとして識別するため、 はになります。 ${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$${\displaystyle df}$${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$

2番目のケースでは、ベクトル場は1形式に対応し、外微分を持つ。 ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$$

ホッジスターを適用すると、1 形式が得られます。 これはベクトル場になります。 $${\displaystyle \star d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$$${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$

3番目のケースでは、再び に対応します。ホッジスター、外微分、ホッジスターを再度適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\star \varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\\star d{\star \varphi }&={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$$

この表現の利点の 1 つは、すべての場合に当てはまる 恒等式d ² = 0に、特殊なケースとして他の 2 つの恒等式 (1) curl grad f = 0、および 2) div curl F = 0があることです。特に、マクスウェル方程式は、外微分とホッジスターで表現すると、特に単純でエレガントな形式になります。この表現(適切な -1 の累乗) は共微分と呼ばれ、以下の記事でさらに詳しく説明するように、任意の次元に対して完全に一般に定義されています。 ${\displaystyle \star d\star }$

上記の操作により ラプラシアン Δ f  = div grad  fを得ることもできます。$${\displaystyle \Delta f=\star d{\star df}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

ラプラシアンは、より一般的なラプラス・デラム演算子 の特殊なケースとみなすこともできます。ここで、は -形式の共微分です。任意の関数は0形式であり、であるため、これは通常のラプラシアンに簡約されます。上記の 1 形式の場合、共微分は であり、簡単な計算をいくつか行うと、 に作用するラプラシアンが得られます。 ${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$${\displaystyle \delta =(-1)^{k}\star d\star }$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta f=0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \delta =-\star d\star }$${\displaystyle \varphi }$

ホッジスターを2回適用すると、kベクトルは符号を除いて変化しない。n次元空間Vでは、 ${\displaystyle \eta \in {\textstyle \bigwedge }^{k}V}$

${\displaystyle {\star }{\star }\eta =(-1)^{k(n-k)}s\,\eta ,}$

ここでs はV上の内積の符号の偶奇性、つまり任意の基底に対する内積の行列式の符号です。たとえば、 n = 4で内積の符号が(+ − − −)または(− + + +)の場合、s = −1 です。リーマン多様体 (ユークリッド空間を含む) の場合、 s = 1が常に成り立ちます。

上記の等式は、の逆関数が次のように表されること を意味する。${\displaystyle \star }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }^{-1}:~{\textstyle \bigwedge }^{\!k}V&\to {\textstyle \bigwedge }^{\!n-k}V\\\eta &\mapsto (-1)^{k(n-k)}\!s\,{\star }\eta \end{aligned}}}$

nが奇数の場合、任意のkに対してk ( n − k )は偶数になりますが、nが偶数の場合、k ( n − k )はkの偶奇性を持ちます。したがって、

${\displaystyle {\star }^{-1}={\begin{cases}s\,{\star }&n{\text{ is odd}}\\(-1)^{k}s\,{\star }&n{\text{ is even}}\end{cases}}}$

ここで、k は演算対象となる要素の次数です。

n次元の有向擬リーマン多様体 Mについて、上記の構成を各余接空間 とその外積に適用し、したがって微分k形式、バンドルの大域セクションに適用します。リーマン計量は、各点 における上の内積を誘導します。 k形式のホッジ双対を定義し、を すべてのk形式に対して を満たす唯一の ( n – k ) 形式 として定義します。ここで は上の実数値関数であり、体積形式は擬リーマン計量によって誘導されます。この式を 上で積分すると、右辺はk形式上の( 2乗可積分)内積になり、次が得られます。 ${\displaystyle {\text{T}}_{p}^{*}M}$${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$ ${\textstyle \zeta \in \Omega ^{k}(M)=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}{\text{T}}^{*}\!M\right)}$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}\mathrm {T} ^{*}\!M\to M}$${\textstyle \bigwedge ^{k}{\text{T}}_{p}^{*}M}$${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle {\star }\zeta }$$${\displaystyle \eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \langle \eta ,\zeta \rangle \,\omega }$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \langle \eta ,\zeta \rangle }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle M}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle \int _{M}\eta \wedge {\star }\zeta \ =\ \int _{M}\langle \eta ,\zeta \rangle \ \omega .}$$

より一般的には、が非方向性である場合、k形式のホッジスターを ( n – k )擬微分形式、つまり標準直線束に値を持つ微分形式として定義できます。 ${\displaystyle M}$

接空間の（必ずしも正規直交ではない）基底と、計量行列とその逆行列 を持つにおけるその双対基底に関して、テンソル指数表記で を計算します。分解可能なk形式のホッジ双対は次のようになります。 ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$${\displaystyle V=T_{p}M}$${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$$${\displaystyle \star \left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$$

ここで、のレヴィ・チヴィタ記号は、暗黙的に繰り返しインデックス のすべての値の合計を求めます。階乗は二重カウントを考慮したもので、合計インデックスが に制限されている場合は存在しません。ローレンツ多様体の接空間の場合のように、行列式の絶対値は負になる可能性があるため、必要です。 ${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$${\displaystyle (n-k)!}$${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$

任意の微分形式は次のように記述できます。 $${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

非増加インデックスを許容する場合の二重カウントを考慮するために、階乗が再び含まれています。成分の双対を定義して、形式のホッジ双対が次のように与えられるようにします。 ${\displaystyle k!}$${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$$${\displaystyle \star \alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}(\star \alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$$

のホッジ双対に上記の式を用いると、次式が得られる: ^[3]${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$ $${\displaystyle (\star \alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}$$

この式は任意のテンソルに適用できますが、完全に反対称なレヴィ・チヴィタ記号による縮約により、テンソルの完全に反対称な部分以外はすべてキャンセルされるため、結果は反対称になります。したがって、これは反対称化の後にホッジスターを適用することと同等です。 ${\displaystyle \alpha }$

単位体積の形式は次のように表されます。 ${\textstyle \omega =\star 1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$$

多様体上のホッジスターの最も重要な応用は、 -形式上の共微分 を定義することである。 は外微分または微分であり、リーマン多様体の場合は であるとする。すると 、 ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle k}$$${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d\,{\star }}$$${\displaystyle d}$${\displaystyle s=1}$$${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$$$${\displaystyle \delta :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}$$

外微分とは異なり、共微分は外代数上の 反微分ではありません。

共微分は、外微分の二乗可積分内積に関する 随伴関数です。 ここで、は-形式、および-形式です。この特性は、多様体が非方向性である（およびホッジスター演算子が定義されていない）場合でも共微分を定義するために使用できるため便利です。この恒等式は、滑らかな形式のストークスの定理から証明できます。 が 空の境界を持つか、または またはが境界値ゼロを持つ場合です。（上記の適切な定義には、滑らかな形式の空間上で閉じていて完全な位相ベクトル空間を指定する必要があります。ソボレフ空間が慣例的に使用されます。これにより、形式の収束シーケンス（ など）を微分と積分の組み合わせた演算と交換できるため、に収束するシーケンスについても同様に、 および ができます。） $${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (k\!-\!1)}$$${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \star \zeta }$${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$${\displaystyle i\to \infty }$${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \eta }$

微分は を満たすので、共微分は対応する性質を持つ。 ${\displaystyle d^{2}=0}$$${\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$$

ラプラス・デラム演算子は で与えられ 、ホッジ理論 の中心となる。これは対称であり 、非負である。 $${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$$$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$$$${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$$

ホッジ星は調和形式を調和形式に送ります。ホッジ理論の結果として、ド・ラームコホモロジーは自然に調和k形式の空間に同型であり、そのためホッジ星はコホモロジー群の同型性を誘導し 、それが今度はH ^k ( M )とその双対空間とのポアンカレ双対性を介して標準的な同一視を与えます。 $${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$$

座標では、上記のような表記で、形式の共微分はと表記されます 。 ここでは の クリストッフェル記号を表します。 ${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}$$${\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}$${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$