極座標系

数学において、極座標系は、平面上の各点が基準点からの距離と基準方向からの角度によって決定される2次元 座標系である。基準点（直交座標系の原点に類似）は極と呼ばれ、基準方向における極からの光線は極軸と呼ばれる。極からの距離は、ラジアル座標、ラジアル距離、または単に半径と呼ばれ、角度は角座標、極角、または方位角と呼ばれる。^{[1]極表記における角度は、通常、}度またはラジアン（π rad は 180° に等しく、2 π rad は 360° に等しい） のいずれかで表される。

グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとボナヴェントゥラ・カヴァリエリは17 世紀半ばにそれぞれ独立してこの概念を導入しましたが、「極座標」という実際の用語は18 世紀のグレゴリオ・フォンタナが考案したものとされています。極座標系を導入した最初の動機は、円運動と軌道運動の研究でした。

極座標は、渦巻きなど、検討対象の現象が本質的に平面の中心点からの方向と長さに結びついている状況で最も適しています。中心点の周りを物体が移動する平面物理システム、または中心点から発生する現象は、極座標を使用してモデル化する方がシンプルで直感的であることがよくあります。

極座標系は、円筒座標系と球面座標系の 2 つの方法で 3 次元に拡張されます。

角度と半径の概念は、紀元前1千年紀の古代の人々によってすでに使用されていました。ギリシャの天文学者で占星術師の ヒッパルコス（紀元前190-120年）は、各角度の弦の長さを示す弦関数の表を作成し、星の位置を確立するために極座標を使用したという言及があります。^[2]アルキメデスは『螺旋について』で、半径が角度に依存する関数であるアルキメデスの螺旋について説明しています。しかし、ギリシャの研究は完全な座標系にまで及んでいませんでした。

8世紀以降、天文学者は地球上のあらゆる場所からメッカへの方向（キブラ）と距離を概算して計算する方法を開発した。 ^[3] 9世紀以降、天文学者はこれらの量を正確に決定するために球面三角法と地図投影法を使用するようになった。この計算は基本的に、メッカの赤道極座標（つまり経度と緯度）を、特定の場所と地球の極を通る大円を基準子午線とし、その場所と反対側の点を通る線を極軸とするシステムに対する極座標（つまりキブラと距離）に変換するものである。^[4]

極座標が正式な座標系の一部として導入された経緯は様々である。このテーマの全歴史は、ハーバード大学教授ジュリアン・ローウェル・クーリッジの「極座標の起源」に記されている。^[5]グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンとボナヴェントゥラ・カヴァリエリは、17世紀半ばに独立してこの概念を導入した。サン＝ヴァンサンは1625年に個人的にこれについて書き記し、1647年にその著作を出版したが、カヴァリエリは1635年に出版し、1653年には修正版が登場した。カヴァリエリは、アルキメデスの螺旋の内部の面積に関する問題を解くために、初めて極座標を使用した。その後、ブレーズ・パスカルが放物線の長さを計算するために極座標を使用した。

アイザック・ニュートン卿は『流数法』（1671年執筆、1736年出版）で、極座標（彼はこれを「螺旋のための第七の方法」と呼んだ）と他の9つの座標系との間の変換を検討した。^[6]ヤコブ・ベルヌーイは、雑誌『アクタ・エルディトルム』（1691年）で、それぞれ極と極軸と呼ばれる線上の点を持つシステムを使用した。座標は、極からの距離と極軸からの角度によって指定された。ベルヌーイの研究は、これらの座標で表される曲線の曲率半径を見つけることにまで及んだ。

極座標という用語は、グレゴリオ・フォンタナが考案したものとされ、18世紀のイタリアの作家によって使用されました。この用語は、ジョージ・ピーコックが1816年にラクロワの『微分積分学』を翻訳したときに英語で登場しました。^{[7] [8]}アレクシス・クレローは3次元の極座標を最初に考え、レオンハルト・オイラーは実際にそれを最初に開発しました。^[5]

ラジアル座標はrまたはρで表され、角度座標はφ、θ、またはtで表されます。角度座標は、 ISO規格31-11ではφとして指定されています。ただし、数学の文献では、角度は θ で表されることが多々あります。

極座標表記における角度は、一般的に度またはラジアン（2πradは360°に等しい）で表されます。度は伝統的に航海、測量、および多くの応用分野で使用され、ラジアンは数学や数理物理学でより一般的です。^[9]

角度φ は、基準方向から 0° で始まり、時計回り (cw)または反時計回り (ccw) のどちらの方向への回転でも増加するように定義されます。たとえば、数学では、基準方向は通常、極から右に水平に伸びる光線として描かれ、極角は ccw 回転で正の角度に増加しますが、ナビゲーション (方位、方向) では、0° 方向が垂直に上向きに描かれ、角度は cw 回転で増加します。極角は、それぞれ反対の方向への回転では負の値に向かって減少します。

角座標に任意の数の完全な回転（360°）を追加しても、対応する方向は変わりません。同様に、任意の極座標は、負のラジアル成分と反対方向（極角に180°を追加）の座標と同一です。したがって、同じ点（ r、φ）は、無限の数の異なる極座標（r、φ + n × 360°）および（− r、φ + 180° + n × 360°）=（− r、φ +（2 n + 1）× 180°）で表すことができます（ nは任意の整数） 。^[10]さらに、極自体は、 任意の角度φに対して（0、 φ ）として表すことができます。^[11]

極以外の点について一意の表現が必要な場合は、通常、r を正の数 ( r > 0 ) に制限し、φ を区間 [0, 360°)または区間(−180°, 180°]に制限します。ラジアンでは[0, 2π)または(−π, π]です。^[12]逆正接関数の通常の共線領域に関する別の慣例は、ラジアル成分の任意の非ゼロの実数値を許可し、極角を(−90°, 90°]に制限することです。すべての場合において、極 ( r = 0)の一意の方位角を選択する必要があります (例: φ  = 0)。  

極座標rとφ は、三角関数の正弦と余弦を使用して直交座標のxとyに変換できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ,\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$$

直交座標xとyは、 r  ≥ 0かつ区間(−π , π ]内の極座標rとφに変換することができる。 [ 13 ]^ここ でhypotはピタゴラス和であり、atan2は逆正接関数の一般的なバリエーションであり、次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\operatorname {hypot} (x,y)\\\varphi &=\operatorname {atan2} (y,x),\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}$$

上記のようにr を最初に計算すると、φのこの式はアークコサイン関数を使用してより簡単に表すことができます。 $${\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y\geq 0{\mbox{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right)&{\mbox{if }}y<0\\{\text{undefined}}&{\mbox{if }}r=0.\end{cases}}}$$

すべての複素数は複素平面上の点として表すことができるため、点の直交座標 (直交形式またはデカルト形式と呼ばれる) または点の極座標 (極形式と呼ばれる) のいずれかを指定して表現できます。

極形式では、距離と角度の座標は、それぞれ数値の大きさと偏角と呼ばれることがよくあります。2 つの複素数は、偏角を加算し、大きさを乗算することで乗算できます。

複素数z は、直交形式で は（iは虚数単位）と表すことができます 。また、極形式では と表すこともできます。 そこから、オイラーの公式 （[14]） によって （eは^オイラー数 、 φはラジアンで表され、 x + iyに適用された複素数関数argの主値です。複素数の直交形式と極形式を変換するには、上記の変換式を使用できます。同等のものは、 cis 表記と角度表記です。 $${\displaystyle z=x+iy}$$$${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$$$${\displaystyle z=re^{i\varphi }=r\exp i\varphi .}$$$${\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi =r\angle \varphi .}$$

複素数の乗算、除算、累乗、および根号の演算では、一般に、直交形式ではなく極形式で表現された複素数を扱う方がはるかに簡単です。累乗の法則から:

乗算

${\displaystyle r_{0}e^{i\varphi _{0}}\,r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i\left(\varphi _{0}+\varphi _{1}\right)}}$

分割

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}$

べき乗 ( De Moivre の公式)

${\displaystyle \left(re^{i\varphi }\right)^{n}=r^{n}e^{in\varphi }}$

根の抽出（主根）

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{re^{i\varphi }}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i\varphi \over n}}$

極座標で表現された平面曲線を定義する方程式は、極方程式として知られています。多くの場合、このような方程式は、r をφの関数として定義するだけで指定できます。その結果得られる曲線は、( r ( φ ),  φ )の形式の点で構成され、極関数rのグラフと見なすことができます。直交座標とは対照的に、独立変数φ は順序付きペアの 2 番目のエントリであることに注意してください。

極関数rの方程式から、さまざまな対称性を推測できます。

• r (− φ ) = r ( φ )の場合、曲線は水平（0°/180°）光線を中心に対称になります。
• r ( π − φ ) = r ( φ )の場合、垂直（90°/270°）光線に関して対称になります。
• r ( φ − α) = r ( φ )の場合、極を中心に時計回りと反時計回りに α 回転対称になります。

極座標系の円形の性質により、多くの曲線は比較的単純な極方程式で記述できますが、直交座標系でははるかに複雑になります。これらの曲線の中で最もよく知られているのは、極のバラ、アルキメデスの螺旋、レムニスケート、リマソン、カーディオイドです。

下の円、線、極座標については、曲線の定義域や範囲に制限がないことがわかります。

中心がaで半径がaの円の一般的な方程式は ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$$

これは、極を中心とし半径aの円の式など、より具体的なケースに合わせて様々な方法で簡略化することができます 。^[15]$${\displaystyle r(\varphi )=a}$$

r ₀ = aまたは原点が円上にある 場合、方程式は次のようになります。$${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$$

一般的なケースでは、方程式をrについて解くと、次 のようになります。 平方根の前にマイナス記号を付けた解は、同じ曲線を与えます。 $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$$

放射状の線（極を通る線）は、次の式で表される。 ここで、は線の仰角、つまり、、ここで、は直交座標系における線の傾きである。点で放射状の線と垂直に交わる非放射状の線は、次の式で表される。 $${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \varphi =\arctan m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \varphi =\gamma }$ ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$$${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$$

言い換えると、接線が半径の仮想円と交差する点である。${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$${\displaystyle r_{0}}$

極ローズは花びらのような数学的曲線で、単純な極方程式で表現できます。 $${\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}$$

任意の定数 γ ₀ (0 を含む) について。k が整数の場合、これらの方程式は、kが奇数であればk 枚の花びらのバラを、kが偶数であれば 2 k 枚の花びらのバラを生成します。kが有理数で整数でない場合は、バラのような形が形成されますが、花びらが重なり合います。これらの方程式は、2、6、10、14 枚などの花びらを持つバラを定義することはないことに注意してください。変数a はバラの花びらの長さまたは振幅を直接表し、k は花びらの空間周波数に関連します。定数 γ _{0 は}位相角と見なすことができます。

アルキメデスの螺旋はアルキメデスが発見した螺旋で、単純な極方程式としても表すことができます。これは方程式で表されます。パラメータ a を変更すると螺旋が回転し、b は腕の間の距離を制御します。腕の間の距離は、特定の螺旋では常に一定です。アルキメデスの螺旋には 2 つの腕があり、1 つはφ > 0用、もう 1 つはφ < 0用です。2 つの腕は極で滑らかに接続されています。a = 0の場合、90°/270° の線を挟んで 1 つの腕の鏡像を取ると、もう 1 つの腕が得られます。この曲線は、円錐曲線の後で数学の論文で説明された最初の曲線の 1 つとして、また極方程式によって最もよく定義される曲線の代表的な例として注目に値します。 $${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$$

一方の焦点が極にあり、もう一方の焦点が 0° 光線上にある円錐曲線 (円錐曲線の長軸が極軸に沿うように)は、次のように与えられます。 ここで、e は離心率、 は半直角(焦点における長軸から曲線までの垂直距離)です。 e > 1の場合、この式は双曲線を定義します。e = 1の場合は放物線を定義します。 e < 1の場合は楕円を定義します。後者の特別なケースe = 0は、半径 の円になります。 $${\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}$$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$

第一象限（ x,y ）の四分円は、y = ρ sin θが曲線の点を通る半径で決まる半径rの四分円の割合に等しい曲線である。この割合は なので、曲線は で与えられる。^[16]${\displaystyle {\frac {2r\theta }{\pi }}}$${\displaystyle \rho (\theta )={\frac {2r\theta }{\pi \sin \theta }}}$

2 つの極関数のグラフには、次の 3 種類の交差が考えられます。 ${\displaystyle r=f(\theta )}$${\displaystyle r=g(\theta )}$

1. 原点において、方程式とがそれぞれ少なくとも 1 つの解を持つ場合。${\displaystyle f(\theta )=0}$${\displaystyle g(\theta )=0}$
2. となるすべての点は、が整数である方程式の解です。${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$${\displaystyle k}$
3. となるすべての点は、が整数である方程式の解です。${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$${\displaystyle k}$

微積分は極座標で表現された方程式に適用できる。^{[17] [18]}

このセクション全体では、角度座標φ はラジアンで表されます。これは、微積分を行う際の通常の選択です。

x = r cos φとy = r sin φを用いて、直交座標と極座標における導関数の関係を導くことができる。与えられた関数u ( x , y ) に対して、（その全導関数を計算することによって）または $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {du}{dr}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \varphi +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \varphi =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {du}{d\varphi }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \varphi +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \varphi =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

したがって、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {d}{dr}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {d}{d\varphi }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$$

逆座標変換を使用すると、導関数間の類似した逆関係を導くことができる。関数u ( r , φ )が与えられた場合、 または $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {du}{dx}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }},\\[2pt]{\frac {du}{dy}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \varphi }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \varphi {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial u}{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

したがって、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}&=\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {d}{dy}}&=\sin \varphi {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}}$$

任意の点における極曲線r ( φ )の接線の直交座標の傾きを求めるには、まず曲線をパラメトリック方程式のシステムとして表現します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\varphi )\cos \varphi \\y&=r(\varphi )\sin \varphi \end{aligned}}}$$

両方の式をφに関して微分 すると、$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}&=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .\end{aligned}}}$$

2番目の式を1番目の式で割ると、点( r ( φ ),  φ )における曲線の接線の直交座標の傾きが得られます。 $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$$

極座標における発散、勾配、ラプラシアンなどのその他の便利な数式については、曲線座標を参照してください。

極関数によって定義される弧の長さ（線分の長さ）は、曲線r ( φ ) の積分によって求められます。Lは、点Aから点Bまでの曲線に沿ったこの長さを表します。これらの点は、φ = aおよびφ = bに対応し、 0 < b − a < 2 πです。Lの長さは次の積分によって与えられます。 $${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left[r(\varphi )\right]^{2}+\left[{\tfrac {dr(\varphi )}{d\varphi }}\right]^{2}}}d\varphi }$$

曲線r ( φ )と光線φ = a、φ = bで囲まれた領域をRとする（ 0 < b − a≤2π ）。Rの面積は $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\left[r(\varphi )\right]^{2}\,d\varphi .}$$

この結果は次のようにして得られます。まず、区間[ a , b ]がn 個の部分区間に分割されます。ここでnは正の整数です。したがって、各部分区間の角度の尺度Δ φ は、区間の合計角度の尺度b − aを部分区間の数nで割った値に等しくなります。各部分区間i = 1, 2, ..., nについて、φ _{i を}部分区間の中点とし、中心が極、半径r ( φ _i )、中心角 Δ φ、弧の長さr ( φ _i )Δ φの扇形を作成します。作成された各扇形の面積は、したがって 次の式に等しくなります。したがって、すべての扇形の合計面積は次の式に等しくなります。 $${\displaystyle \left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\pi \cdot {\frac {\Delta \varphi }{2\pi }}={\frac {1}{2}}\left[r(\varphi _{i})\right]^{2}\Delta \varphi .}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .}$$

部分区間の数nが増加すると、面積の近似値は向上します。n → ∞をとると、合計は上記の積分の リーマン和になります。

面積積分を計算する機械装置にプラニメータがあり、平面図形をトレースすることでその面積を測定します。これはジョイントを追加することで極座標での積分を再現し、2 要素リンクがグリーンの定理を実現して、2 次極積分を線型積分に変換します。

デカルト座標を使用すると、微小面積要素はdA = dx dyとして計算できます。多重積分の置換規則では、他の座標を使用する場合は、座標変換式のヤコビ行列式を考慮する必要があると規定されています。 $${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[2pt]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.}$$

したがって、極座標における面積要素は次のように表される。 $${\displaystyle dA=dx\,dy\ =J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .}$$

ここで、極座標で与えられた関数は次のように積分できます。 $${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\varphi )}f(r,\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$$

ここで、R は上記と同じ領域、つまり曲線r ( φ ) と光線φ = aおよびφ = bで囲まれた領域です。Rの面積の公式は、f を1 と等しく することで得られます。

この結果のさらに驚くべき応用により、ガウス積分が得られます。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

ベクトル計算は極座標にも適用できます。平面運動の場合、位置ベクトル( r cos( φ ), r sin( φ ))とし、rとφは時間tに依存します。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$

3 つの単位ベクトル (ラジアル方向、横方向、法線方向)を持つ正規直交基底を定義します。ラジアル方向は、を正規化することで定義されます。 ラジアル方向と速度方向は、運動平面を 覆い、その法線方向は で示されます。 横方向は 、ラジアル方向と法線方向の両方に垂直です。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}={\hat {\mathbf {v} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}.}$$$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}=(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\hat {\mathbf {k} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

それから $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=(x,\ y)=r(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )=r{\hat {\mathbf {r} }}\ ,\\[1.5ex]{\dot {\mathbf {r} }}&=\left({\dot {x}},\ {\dot {y}}\right)={\dot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+r{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\ ,\\[1.5ex]{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {x}},\ {\ddot {y}}\right)\\[1ex]&={\ddot {r}}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )+r{\ddot {\varphi }}(-\sin \varphi ,\ \cos \varphi )-r{\dot {\varphi }}^{2}(\cos \varphi ,\ \sin \varphi )\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\[1ex]&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\;{\frac {d}{dt}}\left(r^{2}{\dot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$$

この方程式は、関数の導関数と単位基底ベクトルの導関数を取ることによって得られます。

パラメータがである 2D 曲線の場合、前の式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r(\theta ){\hat {\mathbf {e} }}_{r}\\[1ex]{\frac {d\mathbf {r} }{d\theta }}&={\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{r}+r{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\\[1ex]{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\theta ^{2}}}&=\left({\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}-r\right){\hat {\mathbf {e} }}_{r}+{\frac {dr}{d\theta }}{\hat {\mathbf {e} }}_{\theta }\end{aligned}}}$$

この用語は求心加速度、この用語はコリオリ加速度と呼ばれることもあります。例えば、Shankarを参照してください。^[19]${\displaystyle r{\dot {\varphi }}^{2}}$${\displaystyle 2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}}$

注: 加速度が極座標で表現されるときに現れるこれらの項は、微分法の数学的帰結です。極座標が使用されるときはいつでも現れます。平面粒子力学では、これらの加速度は、回転参照フレームでニュートンの運動の第 2 法則を設定するときに現れます。ここで、これらの追加項は、しばしば架空の力と呼ばれます。架空の理由は、単に座標フレームの変更の結果だからです。これは、これらの項が存在しないという意味ではなく、回転フレームにのみ存在するという意味です。

平面運動をしている粒子の場合、これらの項に物理的な意味を付与する 1 つの方法は、瞬間共回転参照系の概念に基づいています。^[20]共回転系を定義するには、まず原点を選択し、そこから粒子までの距離r ( t ) を定義します。粒子の運動平面に垂直で、この原点を通る回転軸を設定します。次に、選択した瞬間tで、共回転系 Ω の回転速度が、この軸の周りの粒子の回転速度dφ / dtと一致するようにします。次に、慣性系での加速度の項を共回転系での項と関連付けます。慣性系での粒子の位置を ( r ( t ), φ ( t ))、共回転系での粒子の位置を ( r ′(t), φ ′(t) ) とします。共回転フレームは粒子と同じ速度で回転するため、 dφ ′/ dt = 0 です。共回転フレームの仮想遠心力はmr Ω ²で、半径方向外側に向かいます。共回転フレームの粒子の速度も、 dφ ′/ dt = 0であるため、半径方向外側に向かいます。したがって、仮想コリオリの力は値 −2 m ( dr / dt )Ω を持ち、 φ が増加する方向にのみ向いています。したがって、これらの力をニュートンの第 2 法則で使用すると、次の式が得られます。 ここで、上の点は時間に関する微分を表し、F は正味の実際の力です (仮想の力とは対照的です)。成分で見ると、このベクトル方程式は次のようになります。 これは、慣性フレームの方程式と比較できます。 $${\displaystyle \mathbf {F} +\mathbf {F} _{\text{cf}}+\mathbf {F} _{\text{Cor}}=m{\ddot {\mathbf {r} }}\,,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}+mr\Omega ^{2}&=m{\ddot {r}}\\F_{\varphi }-2m{\dot {r}}\Omega &=mr{\ddot {\varphi }}\ ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{r}&=m{\ddot {r}}-mr{\dot {\varphi }}^{2}\\F_{\varphi }&=mr{\ddot {\varphi }}+2m{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\ .\end{aligned}}}$$

この比較と、時刻tにおける共回転フレームの定義により回転速度 Ω = dφ / dtを持つことの認識により、慣性フレームで見られる加速度（粒子の質量を乗じたもの）の項を、瞬間的な非慣性共回転フレームで見られる遠心力とコリオリの力の負として解釈できることがわかります。

粒子の一般的な運動（単純な円運動とは対照的）の場合、粒子の参照フレーム内の遠心力とコリオリの力は、極座標の固定中心ではなく、その運動の瞬間的な接触円に関連付けられるのが一般的です。詳細については、向心力を参照してください。

微分幾何学の現代用語では、極座標は、平面から原点を引いた微分可能多様体R ² \ {(0,0)}の座標チャートを提供します。これらの座標では、ユークリッド計量テンソルは次のように与えられます。これは、計量​​テンソルの変数変換の公式、または0 形式x = r cos( θ )、y = r sin( θ )の外微分を介して微分形式dx、 dy を計算し、それらをユークリッド計量テンソルds ² = dx ² + dy ²に代入することで確認できます。 $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$

この計量に関する正規直交 フレームは、双対コフレームでによって与えられます。このフレームとレヴィ-チヴィタ接続に対する接続形式は、1 形式の歪対称行列によって与えられ、したがって曲率形式Ω = dω + ω ∧ ω は消えます。したがって、予想どおり、穴があいた平面は平坦な多様体です。 $${\displaystyle e_{r}={\frac {\partial }{\partial r}},\quad e_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }},}$$$${\displaystyle e^{r}=dr,\quad e^{\theta }=rd\theta .}$$$${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}={\begin{pmatrix}0&-d\theta \\d\theta &0\end{pmatrix}}}$$

極座標系は、円筒座標系と球面座標系という 2 つの異なる座標系によって 3 次元に拡張されます。

極座標は 2 次元であるため、点の位置が単一の 2 次元平面上にある場合にのみ使用できます。極座標は、検討対象の現象が本質的に中心点からの方向と長さに結びついている状況で最も適しています。たとえば、上記の例では、アルキメデスの螺旋などの曲線を定義するのに基本的な極方程式で十分であることを示しています。この曲線の方程式は、直交座標系でははるかに複雑になります。さらに、中心点の周りを移動する物体や中心点から発生する現象など、多くの物理システムは、極座標を使用してモデル化する方がシンプルで直感的です。極システムが導入された最初の動機は、円運動と軌道運動の研究でした。

極座標は、目的地または移動方向を対象物からの角度と距離で示すことができるため、ナビゲーションでよく使用されます。たとえば、航空機はナビゲーションに極座標をわずかに変更したバージョンを使用します。このシステムは、あらゆる種類のナビゲーションに一般的に使用されているもので、0°の光線は一般に方位360と呼ばれ、角度は数学的システムのように反時計回りではなく時計回りに続きます。方位360は磁北に対応し、方位90、180、270はそれぞれ磁東、南、西に対応します。^{[21]したがって、真東に5海里移動する航空機は、方位90（}航空管制ではゼロナインゼロと読みます）で5単位移動していることになります。 ^[22]

放射対称性を示すシステムは、中心点が極として機能する極座標系の自然な設定を提供します。この使用法の代表的な例は、放射対称の井戸に適用された地下水流動方程式です。放射状の力を伴うシステムも、極座標系の使用に適しています。これらのシステムには、反二乗則に従う重力場や、無線アンテナなどの点源を持つシステムが含まれます。

放射状に非対称なシステムも極座標でモデル化できます。たとえば、マイクのピックアップパターンは、特定の方向から入ってくる音に対する比例応答を示しており、これらのパターンは極座標曲線として表すことができます。最も一般的な単一指向性マイクである標準的なカーディオイドマイクの曲線は、目標設計周波数でr = 0.5 + 0.5sin( ϕ )として表すことができます。 ^[23]パターンは低周波数では全方向性にシフトします。

• 曲線座標
• 一般的な座標変換のリスト
• 対数極座標
• 極性分解
• 単位円

• アダムス、ロバート、クリストファー・エセックス（2013）。微積分学：完全コース（第8版）。ピアソン・カナダ社。ISBN 978-0-321-78107-9。
• アントン、ハワード、イル・ビベンス、スティーブン・デイビス (2002)。微積分学(第 7 版)。Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8。
• フィニー、ロス、ジョージ・トーマス、フランクリン・デマナ、バート・ウェイツ（1994 年 6 月）。微積分学：グラフィカル、数値、代数（単変数版）。Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X。

ウィキブック微積分には、極積分に関するページがあります。

• 「極座標」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 座標コンバーター - 極座標、直交座標、球座標を変換します
• 極座標系ダイナミックデモ