ポアソン多様体

数学の一分野である微分幾何学において、ポアソン多様体はポアソン構造を備えた滑らかな多様体である。ポアソン多様体の概念はシンプレクティック多様体の概念を一般化し、シンプレクティック多様体はハミルトン力学から位相空間を一般化する。

滑らかな多様体上のポアソン構造（またはポアソン括弧）は、上の滑らかな関数のベクトル空間上の関数であり、ライプニッツ規則に従うリー代数（ポアソン代数とも呼ばれる）になります。 ${\displaystyle M}$$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle M}$

多様体上のポアソン構造は1977年にアンドレ・リヒネロヴィッチによって導入され^[1]、フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンの解析力学に関する著作に初期に登場したことから、彼にちなんで名付けられました^[2]。

古典力学では、物理システムの位相空間は、システムで許容される位置変数と運動量変数のすべての可能な値で構成されます。これは自然にポアソン括弧/シンプレクティック形式（以下を参照）を備えており、これによりハミルトン方程式を定式化し、時間の経過に伴う位相空間を通じてシステムのダイナミクスを記述できます。

例えば、次元ユークリッド空間（すなわち配置空間を持つ）を自由に運動する単一の粒子は、位相空間 を持つ。座標はそれぞれ位置と一般化運動量を記述する。観測可能な空間、すなわち 上の滑らかな関数は、と定義されるポアソン括弧と呼ばれる二項演算を自然に備えている。このような括弧は、リー括弧の標準的な特性に加えて、関数の積、すなわちライプニッツ恒等式 とのさらなる互換性を満たす。同様に、 上のポアソン括弧 は、シンプレクティック形式を使用して再定式化できる。実際、関数 に関連付けられたハミルトンベクトル場を考えると、ポアソン括弧 は次のように書き直すことができる。${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle (q^{1},...,q^{n},p_{1},...,p_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \{f,g\}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$${\displaystyle \{f,g\cdot h\}=g\cdot \{f,h\}+\{f,g\}\cdot h}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}dq^{i}\wedge dp_{i}}$${\displaystyle X_{f}:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}\partial _{q^{i}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{p_{i}}\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f}).}$

より抽象的な微分幾何学的用語で言えば、配置空間は- 次元の滑らかな多様体であり、位相空間はその余接束（次元 の多様体）である。後者は当然、正準シンプレクティック形式を備えており、これは正準座標では上記のものと一致する。一般に、ダルブーの定理により、任意のシンプレクティック多様体は、形式と括弧がそれぞれ のシンプレクティック形式とポアソン括弧と同等である特別な座標を許容する。したがって、シンプレクティック幾何学は、古典的なハミルトン力学を記述するための自然な数学的設定である。^{[3] [4] [5] [6] [7]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \{f,g\}=\omega (X_{g},X_{f})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

ポアソン多様体は、シンプレクティック多様体のさら​​なる一般化であり、 上のポアソン括弧が満たす性質を公理化することによって生じます。より正確には、ポアソン多様体は、滑らかな多様体（必ずしも偶数次元ではない）と抽象的な括弧（依然としてポアソン括弧と呼ばれます）で構成されます。抽象的な括弧は、必ずしもシンプレクティック形式 から生じるわけではありませんが、同じ代数的性質を満たします。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\times {\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle \omega}$

ポアソン幾何学はシンプレクティック幾何学と密接な関係があります。たとえば、すべてのポアソン括弧は、葉が自然にシンプレクティック形式を備えた葉脈を決定します。ただし、ポアソン幾何学の研究には、リー群や代数体の理論など、シンプレクティック幾何学では通常使用されない技術が必要です。

さらに、構造が「道徳的に」シンプレクティックであるはずなのに、そうではないという自然な例もある。たとえば、シンプレクティック多様体をシンプレクト同相によって作用する群で割った滑らかな商はポアソン多様体であるが、これは一般にはシンプレクティックではない。この状況は、対称性の下で不変である物理システムのケースをモデル化している。つまり、元の位相空間を対称性で割って得られる「縮小」位相空間は、一般にはもはやシンプレクティックではなく、ポアソンである。^{[8] [9] [10] [11]}

ポアソン多様体の現代的な定義は 70 年代から 80 年代になって初めて登場しましたが、^[1]その起源は 19 世紀にまで遡ります。アラン・ワインスタインはポアソン幾何学の初期の歴史を次のようにまとめました。

「ポアソンは古典力学のツールとして括弧を発明した。ヤコビは括弧の重要性を認識し、その代数的性質を解明し、リーは括弧の幾何学的研究を始めた。」^[12]

実際、シメオン・ドニ・ポアソンは1809 年に、運動の新しい積分、つまり運動を通じて保存される量を得るため、現在ポアソン括弧と呼ばれるものを導入しました。 ^[13]より正確には、2 つの関数とが運動の積分である場合、 で表される第 3 の関数が存在し、これも運動の積分であることを証明しました。物理システムのダイナミクスが与えられた関数 (通常はシステムのエネルギー) によって記述される力学のハミルトン定式化では、運動の積分はとポアソン交換する関数、つまり となる関数です。その後、ポアソンの定理として知られるようになるものは、として定式化できます。ポアソン計算には何ページも費やされ、彼の結果は 20 年後にカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビによって再発見され、簡略化されました。^{[14] [2]}ヤコビは、ポアソン括弧の一般的な特性を 2 項演算として特定した最初の人物でした。さらに、彼は2つの関数の（ポアソン）括弧とそれに関連するハミルトンベクトル場の（リー）括弧との関係を確立し、運動の積分に関するポアソンの定理を再定式化（およびより簡潔な証明）した。^[15]ヤコビのポアソン括弧に関する研究は、微分方程式の対称性に関するソフス・リーの先駆的な研究に影響を与え、リー群とリー代数の発見につながった。たとえば、現在線型ポアソン構造と呼ばれているもの（線型関数を線型関数に送るベクトル空間上のポアソン括弧）は、リー代数構造と正確に対応している。さらに、線型ポアソン構造の積分可能性（以下を参照）は、それに関連するリー代数のリー群への積分可能性と密接に関連している。^[16]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \{f,g\}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \{f,h\}=0}$$${\displaystyle \{f,h\}=0,\{g,h\}=0\Rightarrow \{\{f,g\},h\}=0.}$$$${\displaystyle X_{\{f,g\}}=[X_{f},X_{g}],}$$

20世紀には現代微分幾何学が発展したが、1977年にアンドレ・リヒネロヴィッチが滑らかな多様体上の幾何学的対象としてポアソン構造を導入した。^{[1]ポアソン多様体は、1983年の}アラン・ワインスタインの基礎論文でさらに研究され、多くの基本構造定理が初めて証明された。^[17]

これらの研究は、その後の数十年間にポアソン幾何学の発展に大きな影響を与えました。ポアソン幾何学は現在では独自の分野であると同時に、非可換幾何学、可積分系、位相的場の理論、表現論など、他の多くの分野と深く絡み合っています。^{[15] [10] [11]}

ポアソン構造を定義するには2つの主な観点があり、それらを切り替えて使うのが一般的で便利です。^{[1] [17]}

を滑らかな多様体とし、を上の滑らかな実数値関数の実代数とする。ここで乗算は点ごとに定義される。上のポアソン括弧（またはポアソン構造）は、-双線型写像 である。${\displaystyle M}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\times {C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$

上のポアソン代数の構造を定義します。つまり、次の3つの条件を満たします。 ${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$

• 歪んだ対称性: 。${\displaystyle \{f,g\}=-\{g,f\}}$
• ヤコビ恒等式: 。${\displaystyle \{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0}$
• ライプニッツの法則: 。${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\}}$

最初の 2 つの条件は、が 上のリー代数構造を定義することを保証し、3 番目の条件は、各 に対して、線型写像が代数 の微分であること、つまり、に関連付けられたハミルトンベクトル場と呼ばれるベクトル場を定義することを保証します。 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle f\in {C^{\infty}}(M)}$${\displaystyle X_{f}:=\{f,\cdot \}:{C^{\infty }}(M)\to {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle {C^{\infty }}(M)}$ ${\displaystyle X_{f}\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle f}$

局所座標を選択すると、座標関数のポアソン括弧 はによって与えられます。${\displaystyle (U,x^{i})}$$${\displaystyle \{f,g\}_{\mid U}=\sum _{i,j}\pi ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial g}{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \pi ^{ij}=\{x^{i},x^{j}\}}$

滑らかな多様体上のポアソン双ベクトルは、非線形偏微分方程式を満たす多ベクトル体であり、ここで ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M):=\Gamma {\big (}\wedge ^{2}TM{\big )}}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{{\mathfrak {X}}^{p}}(M)\times {{\mathfrak {X}}^{q}}(M)\to {{\mathfrak {X}}^{p+q-1}}(M)}$

は多重ベクトル場上のSchouten–Nijenhuis括弧を表します。局所座標を選択すると、上の歪対称な滑らかな関数に対する任意のポアソン双ベクトルは によって与えられます。 ${\displaystyle (U,x^{i})}$$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i<j}\pi ^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \pi ^{ij}}$${\displaystyle U}$

をライプニッツの規則を満たす双線型対称括弧（「ほぼリー括弧」と呼ばれる）とすると、関数は一意の滑らかな双ベクトル場 に対してと記述できます。逆に、上の任意の滑らかな双ベクトル場が与えられた場合、同じ式でライプニッツの規則に自動的に従う ほぼリー括弧が定義されます。${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle \{f,g\}}$$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg),}$$${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {X}}^{2}(M)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{f,g\}=\pi (df\wedge dg)}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

双ベクトル体、または対応するほぼリー括弧は、ほぼポアソン構造と呼ばれます。ほぼポアソン構造は、次の同等の積分可能条件のいずれかが満たされる場合にポアソンです。^[15]

• ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ヤコビ恒等式を満たす（したがってポアソン括弧である）。
• ${\displaystyle \pi }$を満たす（したがってポアソン双ベクトルである）。${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$
• この写像はリー代数準同型である、つまりハミルトンベクトル場は を満たす。${\displaystyle {C^{\infty }}(M)\to {\mathfrak {X}}(M),f\mapsto X_{f}}$${\displaystyle [X_{f},X_{g}]=X_{\{f,g\}}}$
• グラフはディラック構造、すなわちそのラグランジアン部分束が標準クーラン括弧の下で閉じている構造を定義する。^[18]${\displaystyle {\rm {Graph}}(\pi ):=\{\pi (\alpha ,\cdot )+\alpha \}\subset TM\oplus T^{*}M}$${\displaystyle TM\oplus T^{*}M}$

実滑らかな多様体に対するポアソン構造の定義は、複素数の場合にも適用できます。

正則ポアソン多様体は、その正則関数の層がポアソン代数の層である複素多様体 です。同様に、複素多様体上の正則バイベクトル体はとなる切断であることを思い出してください。すると、 上の正則ポアソン構造は、方程式 を満たす正則バイベクトル体です。正則ポアソン多様体は、ポアソン-ナイジェンフイス構造によっても特徴付けることができます。^[19]${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi \in \Gamma (\wedge ^{2}T^{1,0}M)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}\pi =0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$

実ポアソン構造に関する多くの結果、例えば積分可能性に関する結果は、正則構造にも拡張される。^{[20] [21]}

正則ポアソン構造は、一般化複素構造の文脈で自然に現れる。局所的には、任意の一般化複素多様体は、シンプレクティック多様体と正則ポアソン多様体の積である。^[22]

ポアソン多様体は、シンプレクティック葉と呼ばれる、異なる次元を持つ規則的に埋め込まれたシンプレクティック多様体に自然に分割されます。これらは、ハミルトンベクトル場によって張られる完全に積分可能な特異分布の最大積分部分多様体として生じます。 ^[17]

任意のバイベクトル場は歪準同型とみなせることを思い出してください。したがって、この像は、すべてのハミルトンベクトル場を各 で評価した値で構成されます。 ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM,\alpha \mapsto \pi (\alpha ,\cdot )}$${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle {X_{f}}(x)}$${\displaystyle x\in M}$

点におけるの階数は、誘導線型写像 の階数です。の階数がの開近傍上で定数である場合に限り、上のポアソン構造の点が正則であると呼ばれます。そうでない場合、その点は特異点と呼ばれます。正則な点は、開いた稠密な部分集合を形成します。写像の階数が定数である場合、ポアソン構造は正則 と呼ばれます。正則なポアソン構造の例には、自明な構造と非退化構造があります (以下を参照)。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \pi _{x}^{\sharp }}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }\subseteq M}$${\displaystyle \pi ^{\sharp }}$${\displaystyle \pi }$

正則ポアソン多様体の場合、像は正則分布です。これは簡単に反転していることが確認できるため、フロベニウスの定理により、葉への分割が可能です。さらに、ポアソン双ベクトルは各葉にうまく制限されるため、各葉はシンプレクティック多様体になります。 ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle M}$

非正規ポアソン多様体の場合、分布が特異であり、つまりベクトル部分空間が異なる次元を持つ ため、状況はより複雑になります。${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)\subset TM}$${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{*}M)\subset T_{x}M}$

の積分部分多様体は、すべての に対してを満たす経路連結部分多様体です。 の積分部分多様体は自動的に規則的に浸漬された多様体であり、 の最大積分部分多様体はの葉と呼ばれます。 ${\displaystyle {\pi ^{\sharp }}(T^{*}M)}$${\displaystyle S\subseteq M}$${\displaystyle T_{x}S={\pi ^{\sharp }}(T_{x}^{\ast }M)}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

さらに、各葉は、すべてのおよびに対する条件によって決定される自然なシンプレクティック形式を持ちます。これに対応して、のシンプレクティック葉について語ります。さらに、正則点の空間とその補空間の両方がシンプレクティック葉で飽和しているため、シンプレクティック葉は正則または特異のいずれかになります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle \omega _{S}\in {\Omega ^{2}}(S)}$${\displaystyle [{\omega _{S}}(X_{f},X_{g})](x)=-\{f,g\}(x)}$${\displaystyle f,g\in {C^{\infty }}(M)}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M_{\mathrm {reg} }}$

非正則なケースでもシンプレクティック葉の存在を示すために、ワインスタインの分割定理（またはダルブー・ワインスタインの定理）を使用することができます。^[17]これは、任意のポアソン多様体は、シンプレクティック多様体と、で消失する横方向ポアソン部分多様体の積として、点の周りで局所的に分割することを述べています。より正確には、 の場合、ポアソンバイベクトルがの和として分割されるような局所座標が存在します。 の階数が最大のとき（たとえば、ポアソン構造が非退化であるため、 となる）、シンプレクティック構造に対する古典的なダルブーの定理が回復されることに注意してください。 ${\displaystyle (M^{n},\pi )}$${\displaystyle x_{0}\in M}$${\displaystyle (S^{2k},\omega )}$${\displaystyle (T^{n-2k},\pi _{T})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mathrm {rank} (\pi _{x_{0}})=2k}$${\displaystyle (U,p_{1},\ldots ,p_{k},q^{1},\ldots ,q^{k},x^{1},\ldots ,x^{n-2k})}$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \pi _{\mid U}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n-2k}\phi ^{ij}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle \phi ^{ij}(x_{0})=0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n=2k}$

すべての多様体は、双ベクトル によって同等に記述される自明なポアソン構造を持ちます。したがって、 のすべての点は0 次元のシンプレクティック リーフです。 ${\displaystyle M}$$${\displaystyle \{f,g\}=0\quad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M),}$$${\displaystyle \pi =0}$${\displaystyle M}$

双ベクトル体は、ベクトル束同型である場合、非退化と呼ばれます。非退化ポアソン双ベクトル体は、実際にはシンプレクティック多様体と同じものです。 ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

実際、非退化の 2 ベクトル体と非退化の 2 形式の間には全単射の対応があり、 によって与えられます。ここで、 は音楽同型によってエンコードされます。さらに、は、 が閉じている場合に限り、正確にポアソンです。このような場合、括弧 はハミルトン力学からの標準的なポアソン括弧になります。連結多様体上の非退化のポアソン構造には、シンプレクティック リーフが 1 つだけ、つまりそれ自体しかありません。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \pi ^{\sharp }=(\omega ^{\flat })^{-1},}$$${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{\flat }:TM\to T^{*}M,\quad v\mapsto \omega (v,\cdot )}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \{f,g\}:=\omega (X_{g},X_{f}).}$$${\displaystyle M}$

座標 の空間を考えてみましょう。すると、バイベクトル場は、が「ほぼどこでも非退化」であるポアソン構造になります。実際、開部分多様体は、シンプレクティック形式とともに次元 のシンプレクティック葉であり、一方、次元部分多様体は、と の準位集合の交差である他の次元葉を含みます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle (x,y,p_{i},q^{i})}$$${\displaystyle \pi :=y{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}+\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$${\displaystyle \{y\neq 0\}\subseteq M}$${\displaystyle 2n}$$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{y}}dx\wedge dy+\sum _{i=1}^{n-1}dq^{i}\wedge dp_{i},}$$${\displaystyle (2n-1)}$${\displaystyle Z:=\{y=0\}\subseteq M}$${\displaystyle (2n-2)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle x}$

これは実際には、対数シンプレクティックまたはbシンプレクティックと呼ばれる特別なクラスのポアソン多様体の特殊なケースであり、余次元1の部分多様体（の特異点とも呼ばれる）に沿って集中した「対数特異点」を持ちますが、の外部では非退化です。^[23]${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle Z\subseteq M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle Z}$

ベクトル空間上のポアソン構造は、2 つの線形関数の括弧が依然として線形である場合に、 線形と呼ばれます。${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle V}$

線型ポアソン構造を持つベクトル空間のクラスは、実際にはリー代数（の双対）のクラスと一致します。実際、任意の有限次元リー代数の双対は、文献ではリー・ポアソン、キリロフ・ポアソン、または KKS（コスタント-キリロフ-スリオ）構造という名前で知られる線型ポアソン括弧を持ちます。ここで、および導関数は双対 の要素として解釈されます。同様に、ポアソン双ベクトルは局所的に次のように表すことができます。ここで、は 上の座標であり、はの関連する構造定数です。逆に、上の任意の線型ポアソン構造はこの形式でなければなりません。つまり、 に誘導される自然なリー代数構造が存在し、そのリー・ポアソン括弧 が を回復します。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\cdot ,\cdot ])}$$${\displaystyle \{f,g\}(\xi ):=\xi ([d_{\xi }f,d_{\xi }g]_{\mathfrak {g}}),}$$${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*}),\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle d_{\xi }f,d_{\xi }g:T_{\xi }{\mathfrak {g}}^{*}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{**}\cong {\mathfrak {g}}}$$${\displaystyle \pi =\sum _{i,j,k}c_{k}^{ij}x^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}},}$$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle c_{k}^{ij}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}:=V^{*}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

上のリー・ポアソン構造のシンプレクティック葉は、上の余接作用の軌道です。たとえば、の標準基底では、 上のリー・ポアソン構造はと同一視され、そのシンプレクティック葉脈は の同心球による葉脈と同一視されます(唯一の特異な葉は原点です)。一方、 の標準基底では、 上のリー・ポアソン構造はと同一視され、そのシンプレクティック葉脈はの同心双曲面と円錐面による葉脈と同一視されます(唯一の特異な葉はやはり原点です)。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}+y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$$${\displaystyle \pi =x{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial z}}-y{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\in {\mathfrak {X}}^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

前の例は、次のように一般化できます。ベクトル束の全空間上のポアソン構造は、ファイバーに対する制限が線形である2 つの滑らかな関数 の括弧が、ファイバーに制限されたときにも線形であるとき、ファイバー単位で線形であると呼ばれます。同様に、ポアソン双ベクトル場は、任意の に対してを満たすことが求められます。ここで、はスカラー乗算 です。 ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (m_{t})^{*}\pi =t\pi }$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle m_{t}:E\to E}$${\displaystyle v\mapsto tv}$

線型ポアソン構造を持つベクトル束のクラスは、実際にはリー代数体（の双対）のクラスと一致します。実際、任意のリー代数体の双対は、 によって一意に定義される、繊維方向の線型ポアソン括弧^[24]を持ちます。ここで、は による評価です。同様に、ポアソン双ベクトルは、 として局所的に表現できます。ここで、 は点 の周りの座標、は 上の繊維座標、 の局所フレームの双対、および はの構造関数、つまり、 を満たす一意の滑らかな関数です。逆に、上の繊維方向の線型ポアソン構造はすべてこの形式でなければなりません。つまり、 に誘導される自然なリー代数体構造が存在し、そのリー・ポアソン括弧 が に回復します。^[25]${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle (A,\rho ,[\cdot ,\cdot ])}$$${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{\alpha },\mathrm {ev} _{\beta }\}:=ev_{[\alpha ,\beta ]}\quad \quad \forall \alpha ,\beta \in \Gamma (A),}$$${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }:A^{*}\to \mathbb {R} ,\phi \mapsto \phi (\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \pi =\sum _{i,a}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{a<b,c}C_{ab}^{c}(x)y_{c}{\frac {\partial }{\partial y_{a}}}{\frac {\partial }{\partial y_{b}}},}$$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle y_{a}}$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle e_{a}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B_{a}^{i}}$${\displaystyle C_{ab}^{c}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle \rho (e_{a})=\sum _{i}B_{a}^{i}(x){\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\quad \quad [e_{a},e_{b}]=\sum _{c}C_{ab}^{c}(x)e_{c}.}$$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A:=E^{*}}$${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$

がリー群 に積分可能である場合、 のシンプレクティック葉は余接群の軌道の連結成分です。一般に、任意の代数軌道が与えられた場合、アンカー マップの双対を介したその余接バンドルの像はシンプレクティック葉です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightrightarrows M}$${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {G}}\rightrightarrows A^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subseteq M}$${\displaystyle \rho ^{*}:T^{*}M\to A^{*}}$

については、線形ポアソン構造が復元されますが、 については、ファイバー単位の線形ポアソン構造は、余接バンドルの標準シンプレクティック構造によって与えられる非退化構造です。より一般的には、 上の非退化な任意のファイバー単位の線形ポアソン構造は、上の標準シンプレクティック形式と同型です。 ${\displaystyle M=\{*\}}$${\displaystyle A=TM}$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle TM\to M}$${\displaystyle T^{*}M}$

• ベクトル空間上の任意の定数バイベクトル場は自動的にポアソン構造になります。実際、ヤコビエーターの 3 つの項はすべてゼロであり、定数関数の括弧になります。
• 2 次元多様体上の任意の 2 ベクトル場は自動的にポアソン構造になります。実際、3 ベクトル場であり、2 次元では常にゼロになります。${\displaystyle [\pi ,\pi ]}$
• 3 次元多様体上の任意のポアソン二ベクトル場が与えられると、任意の に対する二ベクトル場 は自動的にポアソンになります。${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle f\pi }$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• 2 つのポアソン多様体の直積は 、やはりポアソン多様体です。${\displaystyle (M_{0}\times M_{1},\pi _{0}\times \pi _{1})}$${\displaystyle (M_{0},\pi _{0})}$${\displaystyle (M_{1},\pi _{1})}$
• を上の次元の（正則）葉脈構造とし、そのべき乗がどこにもゼロにならない閉じた葉脈のある 2 次元形式とします。これにより、 のシンプレクティック葉が誘導されたシンプレクティック形式 を備えた の葉であることが要求され、上の正則ポアソン構造が一意に決定されます。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 2k}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \omega \in {\Omega ^{2}}({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \omega ^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \omega |_{S}}$
• をポアソン多様体に作用するリー群とし、上の -不変関数のポアソン括弧が-不変であるとします。作用が自由かつ適切な である場合、商多様体はからポアソン構造を継承します(つまり、それがの浸漬がポアソン写像となる唯一のものです)。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\pi )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M/G}$${\displaystyle \pi _{M/G}}$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (M,\pi )\to (M/G,\pi _{M/G})}$

ポアソン多様体のポアソンコホモロジー群は、コチェーン複体のコホモロジー群であり、演算子 はのSchouten - Nijenhuis 括弧です。このようなシーケンスは上のすべてのバイベクトルに対して定義できることに注目してください。条件は、つまりポアソンであることと同等です。 ^[1]${\displaystyle H^{k}(M,\pi )}$$${\displaystyle \ldots \xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)\xrightarrow {d_{\pi }} {\mathfrak {X}}^{\bullet +1}(M)\xrightarrow {d_{\pi }} \ldots \color {white}{\sum ^{i}}}$$${\displaystyle d_{\pi }=[\pi ,-]}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle d_{\pi }\circ d_{\pi }=0}$${\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}$${\displaystyle (M,\pi )}$

射 を使用すると、ド・ラーム複体からポアソン複体への射が得られ、群準同型 が誘導されます。非退化の場合、これは同型となり、シンプレクティック多様体のポアソンコホモロジーはそのド・ラームコホモロジー を完全に回復します。 ${\displaystyle \pi ^{\sharp }:T^{*}M\to TM}$ ${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }(M),d_{dR})}$${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),d_{\pi })}$${\displaystyle H_{dR}^{\bullet }(M)\to H^{\bullet }(M,\pi )}$

ポアソンコホモロジーは一般に計算が難しいが、低次群にはポアソン構造に関する重要な幾何学的情報が含まれている。

• ${\displaystyle H^{0}(M,\pi )}$はカシミール関数の空間、すなわち他のすべての関数とポアソン可換な滑らかな関数（または、同等に、シンプレクティック葉上で定数である滑らかな関数）です。
• ${\displaystyle H^{1}(M,\pi )}$ハミルトンベクトル場を法とするポアソンベクトル場の空間である。
• ${\displaystyle H^{2}(M,\pi )}$は、自明な変形を法とするポアソン構造の無限小変形の空間である。
• ${\displaystyle H^{3}(M,\pi )}$微小な変形を実際の変形に拡張するための障害物の空間です。

ポアソン多様体のモジュラー類は、第一ポアソンコホモロジー群の類である。有向多様体の場合、ハミルトン流の下で体積形式不変量の存在を妨げるものである。 ^{[26]これはKoszul [27]とWeinstein [28]}によって導入された。

与えられた体積形式に関するベクトル場の発散は、によって定義される関数であることを思い出してください。体積形式 に関する有向ポアソン多様体のモジュラーベクトル場は、ハミルトンベクトル場の発散によって定義されるベクトル場です。 ${\displaystyle X\in {\mathfrak {X}}(M)}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$${\displaystyle {\rm {div}}_{\lambda }(X)={\frac {{\mathcal {L}}_{X}\lambda }{\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle X_{\lambda }}$${\displaystyle X_{\lambda }:f\mapsto {\rm {div}}_{\lambda }(X_{f})}$