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物理宇宙論では、宇宙の形状は局所的な幾何学と宇宙のトポロジーの両方を指します。局所的な幾何学は主に曲率によって定義され、一般相対性理論は空間の曲率（局所的な幾何学）が重力によってどのように制約されるかを説明します。宇宙の宇宙論的トポロジーは、均質な一般相対論モデルのファミリー内の観測から推測される曲率の測定値だけでは導き出すことができません。これは、局所的に区別できない空間が存在し、全体的なトポロジー特性が異なるためです。[ 1 ]例えば、3 トーラスのような多重連結空間は、あらゆる場所で曲率がゼロですが、範囲は有限です。一方、平坦な単連結空間は、範囲が無限です（ユークリッド空間など）。[ 1 ]
観測証拠（例えば、 WMAP、BOOMERanG、およびPlanck ）は、観測可能な宇宙が曲率密度パラメータの誤差範囲0.4%以内で空間的に平坦であり、グローバルなトポロジーは不明であることを示している。[ 2 ] [ 3 ]宇宙がユークリッド空間のように単連結なのか、トーラスのように多重連結なのかは不明である。[ 4 ]
宇宙の構造は2つの角度から調べることができる。[ 5 ]
（現在の観測者から見て）観測可能な宇宙は、ほぼ球形の領域で、あらゆる方向に約 460 億光年広がっています。[ 6 ]宇宙の奥深くを見るほど、宇宙はより古く、より赤方偏移しているように見えます。 [ 7 ]理論的にはビッグバンまで遡って見ることができますが、実際には宇宙マイクロ波背景放射（CMB）（約460 億光年）までしか見ることができません。ビッグバンから37万年後）以降は不透明であるため、それ以前のことは何もわかっていません。研究によると、観測可能な宇宙は最大スケールでは等方的で均質です。 [ 8 ]
観測可能な宇宙が宇宙全体を包含する場合、観測によってその構造を決定できる可能性があります。しかし、観測可能な宇宙が小さい場合、その一部しか把握できず、観測によって全体的な幾何学を推測することは不可能です。[ 1 ]宇宙の全体的な幾何学のさまざまな数学モデルを構築できますが、すべて観測と一般相対性理論と整合しています。[ 9 ]したがって、観測可能な宇宙が宇宙全体と一致するのか、それともかなり小さいのかは不明ですが、宇宙は観測可能な宇宙よりも大きいことは一般的に受け入れられています。
宇宙は、ある次元ではコンパクトだが、他の次元ではそうではない可能性がある。[ 1 ]このようなモデルは、同じ遠方の光源の複数の像や宇宙マイクロ波背景放射の一致するパターンなどの位相レンズ効果を探すことによって検証できる。[ 1 ]小さな閉じた宇宙は、必ずしも同じ年齢ではないが、空に同じ天体の複数の像を生成する。2024年現在、観測証拠は、観測可能な宇宙が空間的に平坦であり、未知の全体構造を持っていることを示している。
曲率とは、空間の幾何学が局所的に平坦な空間とどのように異なるかを表す量です。局所的に等方的な空間（したがって局所的に等方的な宇宙）の曲率は、次の 3 つのケースのいずれかに分類されます。[ 1 ]
曲がった幾何学は非ユークリッド幾何学の領域に属します。正の曲率を持つ空間の例としては、地球のような球体の表面が挙げられます。赤道から極まで引いた三角形は、少なくとも2つの角度が90°となり、3つの角度の合計は180°より大きくなります。負の曲率を持つ曲面の例としては、鞍部や峠の形状が挙げられます。鞍部表面に引いた三角形は、角度の合計が180°未満になります。[ 10 ]
一般相対性理論は、質量とエネルギーが時空の曲率を曲げることを説明し、オメガ（Ω ）で表される密度パラメータと呼ばれる値を使用して、宇宙の曲率を決定します。密度パラメータは、宇宙の平均密度を臨界エネルギー密度、つまり宇宙が平坦になるために必要な質量エネルギーで割ったものです。言い換えると、[ 1 ]
科学者は、 Ω を実験的に計算して曲率を決定する 2 つの方法があります。 1 つは、宇宙のすべての質量エネルギーを数えてその平均密度を取り、その平均を臨界エネルギー密度で割る方法です。ウィルキンソン マイクロ波異方性プローブ(WMAP) およびプランク宇宙船からのデータは、宇宙のすべての質量エネルギーの 3 つの構成要素、つまり通常の質量 (バリオン物質と暗黒物質)、相対論的粒子 (主に光子とニュートリノ)、および暗黒エネルギーまたは宇宙定数の値を与えます。[ 11 ] [ 12 ]
臨界密度値の実際の値は、ρ critical =として測定されます。9.47 × 10 −27 kg ⋅ m −3。これらの値から、実験誤差の範囲内で、宇宙は空間的に平坦であるように思われる。
Ωを測定するもう一つの方法は、観測可能な宇宙全体にわたって角度を測定することで幾何学的に測定することです。これは、 CMBを使用してパワースペクトルと温度異方性を測定することによって行うことができます。例えば、光速では熱情報を伝播できないほど巨大なガス雲が熱平衡状態にないことを想像してみてください。この伝播速度が分かれば、ガス雲の大きさとガス雲までの距離が分かり、三角形の2辺が分かるので、角度を決定できます。これと同様の方法を使用して、BOOMERanG実験では、実験誤差の範囲内で角度の合計が180°になることが決定され、これはΩ total ≈ 180°に相当します。1.00 ± 0.12 . [ 13 ]
これらの天文学的測定結果から、空間曲率はゼロに非常に近い値であることが分かりますが、その符号は制約されません。つまり、時空の局所的な幾何学は時空間隔に基づく相対性理論によって生成されるものの、 3次元空間は馴染みのあるユークリッド幾何学で近似できるということです。
フリードマン方程式を用いたフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）モデルは、宇宙をモデル化するためによく用いられます。FLRWモデルは、流体力学の数学に基づいて宇宙の曲率を記述します。つまり、宇宙内の物質を完全流体としてモデル化します。恒星や質量のある構造を「ほぼFLRW」モデルに導入することは可能ですが、観測可能な宇宙の局所的な幾何学を近似するためには、厳密なFLRWモデルが用いられます。言い換えれば、あらゆる形態のダークエネルギーを無視すれば、宇宙内の物質の平均密度を測定することで宇宙の曲率を決定できます。これは、すべての物質が均一に分布していると仮定した場合です（銀河のような「高密度」の物体による歪みは考慮しません）。この仮定は、宇宙は「弱く」不均質かつ異方性であるものの（宇宙の大規模構造を参照）、十分に大きな空間スケールで分析すると平均的には均質かつ等方性であるという観測結果によって正当化されます。[ 14 ]
グローバル構造は、観測可能な宇宙とそれ以外の宇宙の両方を含む、宇宙全体の幾何学とトポロジーを網羅しています。 [ 1 ]ローカル幾何学はグローバル幾何学を完全に決定するわけではありませんが、可能性を制限します。特に、曲率が一定の幾何学です。宇宙は、トポロジー的欠陥のない測地線多様体であるとよく考えられます。これらのいずれかを緩和すると、解析がかなり複雑になります。グローバル幾何学は、ローカル幾何学とトポロジーの組み合わせです。したがって、トポロジーだけではグローバル幾何学は得られません。たとえば、ユークリッド3次元空間と双曲3次元空間は同じトポロジーを持ちますが、グローバル幾何学は異なります。
序論で述べたように、宇宙の全体構造の研究における調査には以下が含まれる。
宇宙に関する未解決の疑問の 1 つは、宇宙が無限か有限かということです。[ 1 ]直感的に理解すると、有限の宇宙は有限の体積を持ち、たとえば理論的には有限量の物質で満たされる可能性があるのに対し、無限の宇宙は境界がなく、数値的な体積で満たすことはできません。数学的には、宇宙が無限か有限かという問題は、有界性と呼ばれます。無限の宇宙（境界のない距離空間）とは、任意の距離dに対して、少なくともd離れている点が存在することを意味します。有限の宇宙は有界の距離空間であり、すべての点が互いに距離d以内にあるような距離dが存在します。このようなdの最小値は宇宙の直径と呼ばれ、その場合、宇宙は明確に定義された「体積」または「スケール」を持ちます。
古代の神話では、宇宙は有限であると様々に描写されている。[ 16 ]
ディオゲネス・ラエルティオスの記述によれば、レウキッポス（紀元前5世紀頃）にとって宇宙は空間的に無限である。[ 17 ] [ 18 ]エウドクソス（紀元前380年頃）は運動を考察し、星は球体の中に包含されていると結論づけた。[ a ] [ 21 ]アリストテレス（紀元前384～322年）の概念では、地球から外側に同心円状の球体が存在し、その最も遠い球体には星が含まれており、コスモスと呼ばれることもあった。最も遠い球体の境界の外側には、物理的に何かが存在する場所も時間もなく、さらに最後の球体の端の外側には虚空もなかった。[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]
アリストテレスの概念的基盤[ b ]は、プトレマイオス(2世紀)のモデルとなり、古代ギリシア語でὙποθέσεις τῶν πλανωμένωνと題された彼の著作の完成後に中世まで好まれた一般的な宇宙論は、宇宙は有限であるというものであり、これは後にアリストテレス宇宙論として知られるようになった。[ 28 ] [ 19 ] [ 29 ] [ 30 ]ダンテ・アリギエーリ(1308-1320)は『天国篇』で、地球を多数の球体の中心に置き、その外側の球体で人類が神の領域の場所を見つけることができるとしたプトレマイオス式の宇宙を描いた。これは中世の著名な思想家全員が共有していた現実の概念である。[ 31 ] [ 32 ] 14世紀のトーマス・ブラッドワーディン（1344年）とニコール・オレームは、無限の神を根拠にアリストテレスの見解に異議を唱えた。[ 33 ]
地動説の出現により、科学思想は無限の宇宙の可能性を認識した。[ 34 ]ニコラウス・コペルニクスの斬新なモデルを用いて、トーマス・ディッグスは1576年に出版された『天球の完全な記述』の中で、当時楽園として知られる天上の外界の現実という伝統から概念的に決別した、そのようなモデル宇宙の説明を行った。[ 35 ]
アルベルト・アインシュタインは、 1916年の一般相対性理論を考察し、1917年に有限宇宙を実証した。[ 36 ] [ 33 ] 1917年のド・ジッター無限宇宙は、相対性理論とユークリッド空間の不整合によって引き起こされた。[ 33 ]デイヴィッド・ヒルベルト（1925年）は、宇宙は楕円幾何学によって有限、またはユークリッド幾何学によって無限（つまり平坦）であると決定されたと考えた。[ 37 ] [ 38 ]
有限な宇宙を仮定すると、宇宙には境界がある場合とない場合がある。円盤など、多くの有限な数学的空間には境界が存在する。境界を持つ空間は、概念的にも数学的にも扱いが難しい。つまり、そのような宇宙の境界で何が起こるかを述べるのは困難である。そのため、境界を持つ空間は通常、考察の対象から除外される。
しかし、 3次元球面や3次元トーラスなど、辺を持たない有限空間が多数存在する。数学的には、これらの空間は境界のないコンパクト空間と呼ばれる。コンパクトとは、その空間が有限（「有界」）で完備であることを意味する。境界のないとは、その空間に辺がないことを意味する。さらに、微積分を適用できるように、宇宙は通常、微分可能な多様体であると仮定される。境界のないコンパクト性と微分可能性というこれらの性質をすべて備えた数学的対象は、閉多様体と呼ばれる。3次元球面と3次元トーラスはどちらも閉多様体である。[ 39 ]
1990年代から2000年代初頭にかけて、多重像を示すスケールでの測定を用いてグローバルなトポロジーを決定する経験的方法が提案され[ 40 ]、宇宙論的観測に適用された[ 41 ] [ 42 ] 。
2000年代と2010年代には、宇宙は大規模構造の宇宙網に見られるように不均一であるため、銀河の運動パターンで局所スケールで測定された加速効果は、原理的には宇宙の全体的なトポロジーを明らかにするはずであることが示されました。[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]
宇宙の曲率はトポロジーに制約を課します。空間幾何学が球形、つまり正の曲率を持つ場合、トポロジーはコンパクトです。平坦（ゼロ曲率）または双曲（負の曲率）の空間幾何学の場合、トポロジーはコンパクトまたは無限のいずれかになります。[ 40 ]多くの教科書は、平坦または双曲の宇宙が無限の宇宙を意味すると誤って述べていますが、正しい記述は、単連結でもある平坦な宇宙が無限の宇宙を意味するということです。[ 40 ]例えば、ユークリッド空間は平坦で、単連結で、無限ですが、平坦で、多重連結で、有限で、コンパクトなトーラスがあります（平坦トーラスを参照）。
一般に、リーマン幾何学における局所幾何学と大域幾何学の関係定理は、局所幾何学と大域幾何学の関係を示します。局所幾何学の曲率が一定であれば、サーストン幾何学で説明されているように、大域幾何学は非常に制約されます。
最新の研究によると、宇宙曲率パラメータの真の値が 10 −4より小さい場合、最も強力な将来の実験 ( SKAなど) でさえ、平坦な宇宙、開いた宇宙、閉じた宇宙を区別することはできない。宇宙曲率パラメータの真の値が 10 −3より大きい場合、現在でもこれら 3 つのモデルを区別することができる。[ 46 ]
2018年に発表されたプランクミッションの最終結果によると、宇宙曲率パラメータ1 − Ω = Ω K = − Kc 2 / a 2 H 2は、0.0007 ± 0.0019であり、平坦な宇宙と一致している。[ 47 ]（すなわち、正の曲率：K = +1、Ω K < 0、Ω > 1、負の曲率：K = −1、Ω K > 0、Ω < 1、ゼロの曲率：K = 0、Ω K = 0、Ω = 1）。
曲率がゼロの宇宙では、局所的な幾何学は平坦です。このような大域的な構造で最もよく知られているのは、無限に広がるユークリッド空間です。有限に広がる平坦な宇宙には、トーラスやクラインの壺などがあります。さらに、3 次元では、10 個の有限な閉じた平坦な 3 次元多様体があり、そのうち 6 個は向き付け可能で、4 個は向き付け不可能です。[ 48 ]これらはビーバーバッハ多様体です。最もよく知られているのは、前述の3 次元トーラス宇宙です。
ダークエネルギーが存在しない場合、平坦な宇宙は永遠に膨張し続けるが、その速度は徐々に減速し、漸近的にゼロに近づく。ダークエネルギーが存在する場合、宇宙の膨張速度は重力の影響で最初は減速するが、最終的には加速する。宇宙の最終的な運命は、空間が永遠に膨張し続けるという意味で、開いた宇宙と同じである。
平坦な宇宙は総エネルギーがゼロになる可能性がある。[ 49 ]
正の曲率を持つ宇宙は楕円幾何学によって記述され、3次元超球面、あるいは他の球面3次元多様体（ポアンカレ十二面体空間など）として考えることができ、これらはすべて3次元球面の商空間である。
ポアンカレ十二面体空間は正の曲率を持つ空間で、俗に「サッカーボール型」と表現されます。これは、3次元球面を二元二十面体群で割った商空間であり、サッカーボールの対称性である二十面体対称性に非常に近いからです。これは、2003年にジャン＝ピエール・ルミネとその同僚によって提案され[ 41 ] [ 50 ]、2008年にこのモデルの天球上の最適な向きが推定されました[ 42 ]。
負の空間曲率を持つ双曲宇宙は双曲幾何学によって記述され、局所的には無限に広がる鞍型の3次元アナログと考えることができる。双曲3次元多様体は非常に多様であり、その分類は完全には理解されていない。[ 51 ]有限体積のものは、モストウ剛性定理によって理解できる。双曲局所幾何学では、可能な3次元空間の多くは非公式に「ホーントポロジー」と呼ばれ、これは双曲幾何学の標準モデルである擬球の形状に由来する。例として、負の曲率を持つ空間であるピカールホーンがあり、これは口語的に「漏斗状」と表現される。[ 52 ]
宇宙論者が宇宙を「開いている」または「閉じている」と言うとき、最も一般的には、それぞれ曲率が負か正かを指しています。[ 14 ]これらの「開いている」と「閉じている」の意味は、位相空間の集合に使用される数学的な「開いている」と「閉じている」の意味や、数学的な「開いている」と「閉じている」多様体の意味とは異なり、曖昧さと混乱を生じさせます。数学では、閉じた多様体（つまり、境界のないコンパクトなもの）と開いた多様体（つまり、コンパクトではなく境界のないもの）の定義があります。「閉じた宇宙」は必然的に閉じた多様体です。「開いた宇宙」は、閉じた多様体または開いた多様体のどちらでもあり得ます。たとえば、フリードマン-ルメートル-ロバートソン-ウォーカー（FLRW）モデルでは、宇宙は境界がないと考えられており、その場合、「コンパクトな宇宙」は閉じた多様体である宇宙を表す可能性があります。
トポロジーの明確な指標はまだ検出されていませんが、... 空間のトポロジーを発見したり、制約したりするために、さらに多くのことができます。
コスモイ
を形成する可能性があると主張した。
これらは彼の一般的な教義である。特に詳細には次のとおりである。彼は、私がすでに述べたように、宇宙は無限であり、その一部は充満であり、他の部分は真空であると述べている。
第 2 段落の 1 行目と 2 行目。 Google翻訳者による翻訳を確認しました。ギリシャ語原文: iask.ai/q/Aristotle-Metaphysics-Book-I-Greek-original-39nedig 経由: Perseus カタログ (入手不可): www.physics.
ntua.gr
/mourmouras/greats/aristoteles/meta_ta_physica.pdf
この球体は単にコスモス、つまり宇宙または世界と呼ばれることもあります。この球体の外には「場所」も物質的なものもありません。
したがって、天の外には場所も虚空も時間もないことは明らかである。なぜなら、あらゆる場所には物体が存在し得るからである。虚空とは、物体の存在が実際ではないものの可能である場所であると言われ、時間とは運動の数である。
ギリシャ語原文: iask.ai/q/Aristotle-Metaphysics-Book-I-Greek-original-39nedig 経由: Perseus カタログ (入手不可): www.physics. ntua.gr /mourmouras/greats/aristoteles/meta_ta_physica.pdf
空間的に無限の世界は、その性質上、世界（つまり天体）が円を描いて回転するため、不可能である。アリストテレスは、そのような運動は無限の速度につながるため不可能であると指摘した。最も外側の球に囲まれたものが、すべてを構成していた。
プトレマイオスの宇宙観（2世紀のアレクサンドリアの博学者プトレマイオスにちなんで）。これは中世の思想家全員に広く共有されていた。
:The Infinite Universe" . st-andrews.ac.uk . 2025年10月4日のオリジナルからアーカイブ済み。 2025年12月16日取得。a
天球の1日の回転という仮説は、地球の自転という仮説に取って代わられた。これにより、恒星が同じ距離にあり、一緒に回転するという必要がなくなり、恒星が地球から異なる距離にある可能性や、宇宙が無限の大きさである可能性が開かれた。
「Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitätstheorie」これらの議論の成果が、1917年に発表されたアインシュタインの論文「宇宙論的考察」である。彼の独創的な発見は、私たちが閉じた空間幾何学を持つ宇宙に住んでいると仮定したことだった。相対性理論は、宇宙が空間的には無限でありながら内容的には有限な三次元球体の幾何学を持つと仮定すれば、既知の宇宙の満足のいくモデルを提供できるというのである。
アインシュタインは、ユークリッド幾何学は放棄されなければならないことを示した…天文学のすべての結果は、宇宙が楕円形であるという仮説と完全に両立する。
ドイツ語タイトル: jamesrmeyer.com/infinite/hilbert-uber-das-unendliche)